HT -~* 1H
donc iT. = — - — + ^ ^ 9^^ démontre le théorème.
Posons, par exemple, n=4, r=3, m=6: les poids successifs des termes du covariant d'ordre 6 de la forme biquadratique seront 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
CoROLLAiKE. Connaissant les poids et le de^é des coefficients d'un covariant, la forme littérale des termes successifs peut être écrite d'avance. Il ne restera plus qu'à déterminer les coefficients, ce qu'on apprendra à faire par la suite.
I08. 3« Théorème. Dans un covariant les termes équidistants des extrêmes s'échangent entre eux par Véchançe mutuel des coefficients équidistants des extrêmes dans la fonction génératrice.
Démonstration. En eflFet si Ton changée x en y, ce qui revient à faire la substitution a? = Y, î/ = X, la transformée du covariant quant aux coefficients ne différera du covariant que par l'échange des coefficients équidistants des extrêmes : et ainsi il faudra que
ce qui n'est pas possible, à moins que le coefficient de X**"^* ne devienne égal à celui de Y*""" X* par l'échange des coefficients a^ en a^__^^ qui s'est opéré dans la forme même à cause de la substitution ci-dessus. On ne tient pas compte du signe + qui peut aflFecter le covariant et n'altère nullement la forme littérale. Seulement par cet échange les termes changeront ou non de signe, selon que l'indice du covariant est impair ou pair. ■OB. 4« Théorème. Tout covariant <P satisfait à Véquation aux dérivées partielles
DÉMONSTRATION. En effet, si on fait la substitution:
par définition on aura
<D(A,B,C,...,X,Y) = 9(a,&,c,...,X + €Y,Y), ou
d) (A, B, C, . . ., OG—ey,y)=i<p (a, &, c, . . ., œ, y).
Maintenant, si on développe le premier membre selon les puissances de c à l'aide de la série de Taylor, Téquation deviendra
et pour que cela ait lieu quel que soit €, il faudra que le coefficient de e soit nul, ce qui est précisément Téquation [8].
Ck)ROLLAÎRE. D'après le 3« théorème le co variant satisfera aussi & réquation
[9] x^J^ = a p- +2a.p + 4-na.$.
APPLICATION. Soit
9 = Coo;" + mC,a;"- V + *^^^^ C^*"" V + + C^y"
le covariant: les équations de condition du 1" système [8] seront
rfCi, dC^ dO^ dC^
(*} Il soffit d^obseryer que Topération y -j^ donne
et les équations de condition du second système seront
'dai
dC,
na,-v^+(n-lM.-:5^+ + « t^^
na
da^
M — 1 dG^^i
dCt . . ,, <fCt , dGo I / -Il (^C/o I
+ an^=(^-l)C.,
= mCi .
D'après la forme de la première des équations [10], on voîtque
Cq est un péninvariant dont le calcul n'offrira aucune difficulté.
ExBMPLE. Supposons n=3, r=2, m =2; la forme cubique
aura pour covariant une expression de la forme
et les poids de Co,C4,C, seront, d'après le théorème (N. 107),
On aura donc
Co
et le premier système d'équations donnera
dC, da*
dCi
dC.
0, Co,
2aoai(Lo+W = 0, L, = — Lo = — 1, si Lo = l,
aoa»(M,+3Mo)4-2a,M,* = aoa4—a,%
Mo = 4
Par conséquent le covariant quadratique sera
fl lO. Observons maintenant qu'une fois le premier coefficient connu, on peut obtenir tous les autres par des simples différentiations.
En effet d'après les équations [11], on voit que,
dCt
^'=^iS<"-*)'*
^■^^da^
dC^
+1 da^
Exemple. Les coefficients du covariant de la forme de degré 5
afip
xY
xy^
+ ac
+ 3ad -Sbc
+ 3ae + 3bd
+ a/ + lbe Scd
+ 3bf + 3€e
+ 3cf '-'3de
se déduiront de C,= ac — &* par les équations
da
da
dCt da
rfC,
dCt
(fc
dd
dd
de
et nous n'écrivons pas les 04,05,05,0^: car ils se déduisent des autres par le simple échange des coefficients équidistants des extrêmes.
Remarque. Si on représente par b Topération représentée par le second membre [8] le covariant <p=(Oo,Cj,0„...,0^)(a:,î/)'*
devra s'annuler si on y applique l'opération b — î/j~- De là on tirera évidemment l'équation
(bOo,bO„bO„ . . . ,bO J(^,I/r-m2/(Oo,0„ . . . ,0^g,0^^j)(a?,y )'*^'=
d'où les relations
bCo=0, bOj=Oo, bO,=20„ •..,bO,^=(m-l)0^__jj,bO^=m0^j^
qui nous permettent de déduire du dernier terme 0^ tous les autres coefficients du covariant. Quant au dernier terme, on l'obtiendra en échangeant dans Oq (qu'on peut calculer d'avance aisément puisque il est un invariant), les coefficients équidistants des extrêmes.
Si on appelle 5' l'opération [9], il viendra semWablement
yOo=mO„ 5'0.=(m-l)C„ ..., 5'0^.2=(m-2)C^^, 5'0^^=0^, 5'C^=0.
flll. 5« Théorème. En désignant par U, V les opérations
[13] U=pA+p.^ , v = ,A+,.|,,
les équations [8], [9], c'est-àrdire
relatives à la transformée <t> de ç, sont égales à [15] U(0) = O , • V(<D) = 0.
Démonstration. Observons, en effet, que les coefficients de la transformée ont (voir n* 69) les valeurs suivantes
. 1 / d^t fd(p\^
r— n(n-l){«-2)...(n-r+l) Vdp'^^ dp') '
ou encore
f^'^^ ^r=n(n-l)(n-2)...(r+l) [^dq'^^'dr] '
De sorte qu'il viendra, en ayant égard aux valeurs susdites de U, V,
[18] rA^^=U(A^) , (n-r)A^^^=V(A^).
Quant aux opérations sur les variables, observons que des équations
[18]' hX = q'x — qy , KY=py—t^œ , n=pq^—fq
on tire facilement les valeurs
nU(X)=— Y , V(X)=50, U(Y)=0 , V(Y)=:— X.
désignent les dérivées de et Topération U par rapport seulement aux quantités p, g',.,- 9 contenues dans les variables X,Y, il viendra
(•) En effet.
Par suite, en se rappelant que (|> est fonction des coefficients et des variables de la forme, et ayant égard aux équations [18] et à ces dernières, les équations [14] deviendront
et en étendant le symbole U aux coefficients ainsi qu'aux variables de (D, on aura
[21] U(cD)=0 , V(0) = O.
Ces équations, si on se rapporte au second membre de Téquation [7] qui sert de définition au covariant, sont évidentes, <5ar U(ft) = V(ft)=0. Mais il faut noter ici que nous avons voulu établir cette proposition indépendamment de toute idée préconçue sur la nature de la fonction <p, et seulement en partant des équations aux dérivées partielles [14]. •
. En vertu de ce théorème, on peut démontrer aisément que toute fonction qui satisfait aux équations [8, 9] est un covariant, ce qui nous montrera que ces équations aux dérivées partielles sont vraiment caractéristiques des covariants, car elles fournissent les conditions nécessaires et suffisantes pour les caractériser.
119. 6« Théorème. Si la fonction ^[a^^a^^a^^.^.^anX^y)^ homogène des degrés m, p respectivement par rapport aux variables et aux coefficients^ satisfait aux équations
elle satisfera à l'équation
Ce théorème, qui constitue la réciproque de la proposition, a été donné pour la première fois par M. Cayley en 1855 (•).
DâMONSTRATiON. Si Ics équations [21] sont satisfaites, il en sera de même des équations [14] et par conséquent des équations [21]. Mais, en vertu des équations [21], et en observant que
on conclut que
Observons d'abord que partout, Ao, A„ ... étant des fonctions homogènes de p, q^ p\ q' du n^ degré, on a
dXf, dkj. dk^ dkf, [25] ^^ + «1^ + PV+«V="'^^-
D'ailleurs, en vertu des équations [18'1 on a (•*) [26]
et par conséquent, en multipliant la formule [24] par j^ ,
(*] V. Second Memoir on Quantics — Philosophical Transactions, (•«) En se rappelant le théorème connu sur les fonctions homogènes, on pourrait encore établir la [26J en partant des équations
dX . dX, , .dH , ,efX ^
dY . dY . fdY , ,dY «
que Ton déduit directement des équations [18'].
et en sommant toutes les équations pour les divers indices de r et y ajoutant l'équation [26], les premiers membres représenteront les dérivées de o tant par rapport aux coefficients que par rapport aux variables, et par suite il viendra
Cette' équation, jointe à l'équation [24], donnera
L'intégration de ces équations et d'une des équations [21], considérées comme simultanées, fournira l'expression de 0,
X désignant une constante par rapport à jp, q^ p\ çf^ fonction de «0, a„...,ûf^^ ^» î/- A.fin de déterminer la forme de cette fonction x, posons dans l'équation susdite p=^=l, q=p'=iO^ auquel cas Aq, A,, ..., X, Y deviennent respectivement ao, a„ ..., a;, î/ ; nous trouverons
et, en substituant.
Partant, comme cette équation sert précisément à définir les covariants (**), le théorème est démontré.
(*) Chaque coefficient de est une fonction des A, homogène et de
degré p. Ainsi Topération Z A -^ ne fait que reproduire 4> répétée autant
de fois, qu'il j a d'unités dans les exposants.
(**] Y. Brioschi^ Annali di matematica, 1858; d'où nous avons emprunté cette démonstration.
1 13.7* TBÈouÈuE.Toutefonctionquisatîsfiaitauœ équations aux dérivées partielles (8) et (9), de degrés m,r, par rapport aux variables et auœ coefficients^ aura pour poids de chaque coefficient Cj en x°* "" y la valeur tTj = — ^ [^ i .
DÉMONSTRATION. Posons avcc M. Cayley :
Y = na,^ + (n-l)a,-^ + ... + 2a ,3-^ — ^-a—^. ' rfOo ' ^ ' • «tel ' ' «-irfa„2 ' "rfa»-!
Si Ton désigne par X (T) , Topération de X sur T en tant que Y contient explicitement les coefScients a , et ainsi Y (X) pour X , il viendra X. Y=XY + X(Y) , Y .X=YX + Y(X), d'où X.Y — Y.X = X(Y) — Y(X).
Mais on trouve aisément:
X) = „a.^ + 2(«-l)a.^ + ...+ 2(„-l)a„,5^4-««„^: Par conséquent :
Or si le covariant est réduit à par chaque opération X — y -j- , Y — X -^ , il sera aussi réduit à par les opérations successives :
En posant donc
le covariant s'annulera par l'opération T + î/-^ ^"5" •
Fa\ db Bruno — TfMoriê des forme* binairên, 13
Soit maintenant a^ a^,^ a\..a^ x y un tenne du covariant ; en y appliquant Topération susdite, on aura :
ou 2/— /— 74-n(€o+€t+€,. . .+€^^i+€^)-2(€,4-2€,+. . .+(n-l )€^j+n€^),
c'est à dire, puisque le degré r = ir^>4-iTi4-^«+ ; et
i-^h = m\ €i + 2€»+... + (n — l)€^i + n€^ = n. 2i — m + wr — 2tt. = 0; d'où tt = — "^ |-i.
Corollaire 1*. La seule opération X . Y — T X donne nr — 2Tï^ = m — 2i .
CoROLLAiBB 2». Pour Ic 8 invariants, comme z = yi = , on a nr — 2tt^ = ; donc dans ce cas 11.= -^ • Donc toute fonction des coefficients qui satisfait aux deux équations aux dérivées partielles X = , T = , aura pour poids -g- .
Remarque. On pourrait raisonner plus simplement ainsi. En posant œ = y\ y=^ay ^ et appelant X' , Y' les nouveaux X et Y, il est aisé de voir qu'on a X'= — X,Y'=aY; et -j-T = -j— > rrr = ^ -3— • Partant la fonction proposée
do) dx ' dy dy ^ ^^
est encore réduite a par les opérations X' — 2/'-^p- , Y'— jr;'-j-7 ; car on a
Afin donc que le paramètre a disparaisse du résultat il faut que dans chaque coefficient C. de œ^^*y* le poids soit constant ; car a s'y trouverait élevée à une puissance indiquée précisément par la somme :
d'où l'on voit que si ir^, est le poids du Cç, celui de C^ sera i^^^-j-i.
Nous avons vu qu'au moyen des équations (12), en partant du premier coefficient Cq , on peut former tous les autres coefficients du covariant. Mais en opérant ainsi est-on bien sûr d'avoir un covariant? C'est à cette question que répond le théorème suivant dû à M. Catley.
fl 14. 8<^ Théorème. Étant donnée la forme (Sq, ai, a,, ..., an) (x,y)" , si C., est une fonction de degré retde poids -s-imr — n), assujettie à la condition XCo = , et si on détermine C| , C, ... C^ par les conditions
[27] C, = YCo , C. = I YC, , ... . C^=-^TC^i, la fonction (Cq , C, ,C, , .. ., C 5 x , y)" sera un covariant.
Démonstration. Observons, en effet, que Topération T Go fournira, à un coefficient numérique près, la valeur de G< d'après
les équations ci dessus, et qui sera de poids îr^= — ^ 1- 1 .
En poursuivant les opérations Y sur C, on doit tomber sur un terme . Car puisque le plus grand indice est n le poids de Y(0 peut être tout au plus nr; et par conséquent, quand on aura — ^ ['i>nr (d'où i> -s (^^-{'m)^ il
faudra trouver y'Co = .
Cela posé, d'après le corollaire premier, on a généralement
XY — YX = m — 2/ :
et en particulier, pour C^ ,
(XY — YX)Co = mCo ; d'où XYCo = YXCo + mCo = mCo puisque XCo = d'après l'hypothèse.
Pareillement (X Y — YX) YC^ = (m — 2) YC^ ; partant XY*C«=: YX YCo+ ( w-2) YCo=»iYCo+ (m-2) YCo=2(m-.l )YCo
De même (XT — YX) T»C, = (m — 4) Y*Co ;
d'où XY»C„=YXY»Co+(«l-4)Y«C«=2{«-l)Y'Co+(«l-4)YH3,ii3(«H-2)YîCp,
et généralement ' •
XY*c; = ^(m — <+l)Y*Co .
Alors en posant î = m-\-l , m-\-2, etc., nous aurons :
XY"*'Co=0, XY""^'c«=-(«+2)Y"'^'c,, XY"^Co=-(«+3)2.Y"'^*C„etc.
équations qui prouvent qu'on doit avoiif ¥•»-*■! Co = ; car si Y"*"^* Co est diflFérent de , la seconde équation donnerait aussi Y Co différent de et ainsi de suite, ce qui est impossible d'après la remarque faite au commencement. De ce qui précède on déduit les relations:
XCo=0, XYCo=wCo, XY«Co=2(w-l)YCo,...XY*Co=wY*~^Co, y"^^Cq=0 lesquelles, en vertu des équations [27], deviendront
XCo=0 , XC=wCo , XC,=(i»-l)C, , XC =C , , YC =0 ,
w^i III— 1 n
et Ton obtiendra ainsi le système complet d'équations auxquelles doit satisfaire un covariant, comme nous avons vu au N"" 110.
Émanants, Intermntants et éveotants.
115. D'après ce qui précède nous avons appris à former les covariants et démontré quelques-unes de leurs propriétés. Mais nous possédons des méthodes plus expéditives pour les former, fondées sur la considération de fonctions particulières, que nous appellerons émanants^ intermutants et éveclants.
Supposons qu'on ait les deux systèmes de substitutions
Ces deux systèmes, où figurent les mêmes coefficients de substitution, s'appelleront congrédients^ et les valeurs mêmes de x^y\ af, y' congrédientes.
Cela posé, si par la première substitution on avait trouvé par hypothèse [3] n^,f/) = F(X,Y),
on aura encore, en appelant X une constante auxiliaire quelconque,
[4] f(a^-h\^. î/+Xy')=F(X.f XX', Y-f XY%
puisque des équations [1 , 2] il viendra
a? 4- Xa7'=:p (X4- XXO + g (Y-f xY'), y + \y'= p' (X + XX') + «' ( Y + XY') ;
équations qui lieût les quantités a?-[-Xa/, y-^-Xy' aux autres X-(-XX', Y + ^Y' par les mêmes relations qui lient les a?, y aux X, Y.
Or, si on développe Téquation [4] par la série de Taylor, il viendra i d d \^ l d rf \'
on a donc ce
116. Théorème. Si les variables x\ y\ x, y sont congredientes, on a
Dans le premier membre les coefficients sont des fonctions des a et des variables â?, y, tandis que dans le second membre les coefficients de X', Y' sont des fonctions des A et de X, Y.
D'après M. Sylvester nous appellerons émanant la fonction [^-jz'{-y''T'] • Dans un sens plus large on pourrait dire que cette fonction est un covariant. Mais alors il faudrait entendre que les variables aient été changées simultanément en X, Y, X', Y'; et alors l'émanant serait une fonction telle que sa transformée serait un émanant de la forme transformée.
Exemple. Soit
f= ax*+ 2 bxy + cy* ;
on aura \ [x'-^ + 1/' — j /•= (ax + hy) x'-^- (bx + cy) y',
dont la transformée est un émanant de la forme
= (AX + BY)X'+(BX+CY)Y'=i(x'^+Y'A^F,
En eflTet,
(PX'+^Y') (p'X'+«'Y')
a{pX-{-qY)^b{p'X^q'Y)
b(pX-{-qY)-{^c(p'X + q'Y) = (ap*+ 2bpp'+cp'*) XX' + (apq+b {pq'+p'q}+ cp'q') (YX'+XY') + (aq^+2bqq*+cq'*) YY' = (AX + BY) X'+ (BX + CY) Y'.
