IIV. On peut établir le théorème autrement

Soit F(X,T) ce que devient f(x^y) après la substitution

Dans les équations dijfërentielles dérivées de Téquation

savoir,

on pourra considérer dx^ dy comme des nouvelles variables et leurs coefficients comme des constantes.

En effet, on a par [6]

dx=^pdX-^qdY^ ^'^^ dy=p'dX+q'dY,

d'où Ton voit que les accroissements dXj dy sont entièrement arbitraires et' indépendants, et que d'ailleurs ils sont liés entre eux par la même substitution linéaire que les variables ellesmêmes. Ils continueront donc de Têtre dans les équations différentielles. On pourra ainsi de deux d'entre celles-ci déduire les valeurs de dx^ dy^ lesquelles devront coïncider avec celles qui sont tirées des équations de substitution. Cela étant, rien n'empêchera de considérer dx^ dy comme des nouvelles variables et leurs coefficients comme des constantes relativement aux variables. Par conséquent, tout ce qu'on pourra tirer de

(*) Ce qui sait aurait pu être mis de c6té ; mais nous Tavons laissé pour faire entrer un peu dans notre cadre l'histoire de la science ; car je crois que c'est par cette voie que Sjlvester a entrevu les émanants.

ces équations différentielles, regardées comme des équations entre deux systèmes de variables ((to,(2y), (c2X,e{Y), sera légitime. Un exemple bien simple éclaircira ce qu'on vient de dire.

Soit m = 2 et

[8] ax^+ 2hxy + cy^= AX«+ 2 BXT + CY« ,

où A=:ap*4-2&PP'+cp'*,

B = apq-{-b {pq'-\-p'q) + cp'q', C = û(?* + 2 l)qQ'+ cq'* ;

on aura

[9] {ax+l)y)dX']-(l)X+cy) dy = (AX+BY)dX+(BX+CY)(fY,

[10] ada?«+2&da?dî/ + cdî/*=AdX«+2BdXdY+CtfY*.

On pourrait tirer de ces deux équations les valeurs de da et de dy en fonction de e^X, dY: valeurs qui coïncideront avec les formules [7]. Mais il est plus simple de substituer celles-ci dans les formules [9, 10] et de vérifier qu'on a une identité parfaite. Ce calcul ne présentant aucune difficulté, nous le laisserons de côté.

Puis donc que dans toute équation différentielle, qui d'ailleurs peut se metU*e sous la forme symbolique

[11] [<lx^^dy^)nœ,y) = [dX±-^-dY^]*F(X,Y),

dXy dy peuvent être considérées comme des variables quelconques, liées aux accroissements dX, dY par les mêmes substitutions que a?, y et X, Y, on pourra les appeler respectivement 0?', y' et X', Y', et alors l'équation

aura encore lieu entre ces variables. C'est ce qui du reste

se voit immédiatement ; car puisqu'on a simultanément par hypothèse

on aura

rfX"^ efY"" l dx dX.^ dy efxj"^^ \^dœ rfY "T* dy d^J

d'où l'équation [12] est évidente.

lis. Théorème. Tout invariant d^un émanant de la fonction <p est un covariant.

DÉMONSTRATION. Supposous, en effet, que afy y' soient seules variables et que x^ y soient constants. Alors, si nous faisons dans rémanant la substitution ordinaire, eu égard seulement à â/, y\ il viendra par transformatibn

où a^ P sont des fonctions des coefficients de â/, y'- (c'est à dire de -^ , ^, et par suite des coefficients et des variables de la fonction donnée), et des coefficients p, g, p', q' de la substitution. D'autre part, a, p, sont des fonctions de or, y, qui se changent eu

lorsque x^ y sont à leur tour transformées par la substitution [2].

(•) Otaervon., en effet, qu'on . ^^^-^4-=

(pX'+^')£+(p'X'+^')J=(p£+p'J)x'+(,£+4)y'=x'^+Y'^.

Sî donc I est un invariant de la forme [^'JZ^V''^) f^ ou aura, en appelant A le déterminant de la substitution.

Changeons maintenant les variables â?, y par la substitution [1]; rinvariant I deviendra

I (a, P, T ,...) = I —7 ' ^ /,| » • • Donc

VdX' rfX'~'rfY / \dx^ dx^^Uy I

ce qui prouve que I —4 ' — tA — > • • • 1 est un covariant.

Veto' dx^^^dy I

Exemple !•'. Soit

f(œ,y) = 0^ 4- 3&a?*î/ + 3ca^*4- dy» ; on aura l'émanant (*)

L'invariant de cette fonction, savoir,

(ax+ by) (cœ+ dy)— (2/a?+cy)*=(ac— &*)a?*+(ad— &c?)a?y+ (M— c*)y*,

sera un covariant, ce que nous avons déjà appris ailleurs. Exemple 2*. En prenant l'émanant \^''T"^^''dv) ^®

(^) Nous faisons toujours abstraction dans ce qui suit des facteurs numériques introduits par la di/Térentiation.

et en cherchant son invariant, on a le covariant de la forme biquadratique

+ (<?« — rf*) y*.

Exemple 3*. Soit

En prenant Témanant du 4^' ordre, on trouve

af^ (oa? + &y) + 4:afY(dx + c^) + 6œ^y^(cœ + dy) + 4:xY (dx + ey) + y'* {ex + fy) ,

et par suite l'invariant du 3* degré

ax-^-hy

hX'\'Cy

ex-}- dy

hx-^-cy

cx-f-dy

dx-^-ey

cx'\-dy

dx'\'ey

ex + fy

d'où Ton tirera le covariant du 3* ordre

Zx*y

ace

+ acf

■j-adf

+ àdf

— ad*

— ade

— ae*

— bcf

+ 2bcd