bce
+ Me
+ 2cde
-\-bd*
— cd*
119. Théorème. A toute fonction de degré impair correspond un covariant du 2* degré par rapport aux coefficients et du degré 2n— 4, 2n — 8, ... par rapport aux variables.
DÉMONSTRATION. Eu effet, si on prend Témanant
de la fonction, on aura successivement des fonctions 4^ degré linéaire par- rapport aux coefficients et de degré n — 1, n — 2,... par rapport aux variables de la fonction donnée. Les invariants du 2® degré, qui existent toujours pour des fonctions de degré
pair, ou pour des émanants d'ordre pair p, seront précisément les covariants cherchés, d'ordre 2» — 2p. Évidenftnent la série des covariants terminera par un covariant quadratique ou par un invariant de 2^ degré, selon que le degré n est impair ou pair.
Corollaire. A toute fonction de degré impair correspond une série d'invariants de 4* ordre, •
DÉMONSTRATION. On peut en effet prendre les invariants quadratiques des covariants susdits qui seront de degré pair, et alors on obtiendra des invariants du 4* ordre.
Ainsi du covariant de degré 2=2.3—4 de la forme cubique
(ac — V^) ûs*-\-(ad'—l)c) œy-\-(M — c*) y* , on tirera Tinvariant
(ac — &*) {bd — c«) — (ad — cb)^
de la forme binaire susdite.
iSO. Remarque. D'après ce théorème les invariants du second ordre des émanants d'ordre pair, d'une forme q>, c'est-àdire les fonctions
d^vd^ I d^q> y dx* dy^ \dxdy]
d^^ rf*<P A d*q> d*q>
dx^ dy* * dx^dy dxdy^ 'V dxHy"" ]
dx^dy^ dxdy^'do^dy'^ dx'dy^dx'^dy' [dx^dyV '
seront autant de covariants de la fonction <p. La première de ces fonctions prend le nom de Hessien du nom du Géomètre (M. Hesse) qui le premier l'a trouvée.
Exemple. La 2* fonction donnera pour la forme binaire du 5* degré le covariant
iSl. Une source féconde de covariants se trouve dans les. fonctions que nous appellerons intermutants ^ et dont nous allons maintenant nous occuper.
Théorème. Soit F{X,Y) ce que devient f(œ^y) par la substitution :
on aura
({) étant la transformée de la fonction homogène quelconque (p^ obtenue à Taide de la même substitution.
DÉMONSTRATION. Ou déduit des équations de substitution
X = 1 l^çfx^ qy) , Y = \ [-p'x^py] .
Maintenant on a généralement, pour Texpression des dérivées en fonction dçs nouvelles variables,
dx~dXdx^ dY dx ' dY^dX dy ^ dY dy ' d'où, en vertu des équations [1]
dx~k[^dY ^dX) ' dy~kVdY ^ dxj '
Or oji reconnaît aisément que ce système aurait pu se déduire du système [1] en changeant respectivement
Si donc ce changement est légitime sur le système des équations [1] il le sera aussi sur tout autre déduit de celui-ci. Hais par ce système on trouve précisément
donc on aura encore :
fl± -A.\ -v(L± -L±\.
mais , comme f est de degré m , on aura enfin :
Par conséquent l'opération indiquée dans le premier membre, appliquée à une fonction de X et de T, donnera le même résultat que celle' du second membre, appliquée k une fonction de Xj y avec laquelle est liée comme X , Y à a?, y .
Nous désignerons cette fonction, /* ( ^— » — -jz] ' P*^ ^® nom d'întermutant (*).
Si on applique Tintermutant fi-r-» — ^ ) à la fonction même
nfT j» ♦* I n — 1 , Hitl — 1) n — 2 « ■ • ^n
[15] f=aoa; -\-naia) y-\ — 'j-^a^x y*,-{-—+a^V> pourvu que n soit pair, on obtient Tinvariant de second ordre
Ainsi, pour ni=4, n=:6, on aura les invariants aQa^'^^aia^-\-3a\ , ao^o^^^i^s + l^aja^ — 10a%
(*) Nous employons ce mot dans ce sens, bien que peut-êti*e il ait été employé par d^autres auteui*s dans un auti^e.
ce qui prouve d'uue autre façon que toute forme binaire de degré pair a un invariant du second ordre. Il est aisé de voir que, si a, est impair, les termes s'entredétruisent deux à deux. Si pour la fonction f on prend un covariant, Tintermutant donnera évidemment un autre covariant. En continuant de la sorte, on voit qu'on peut engendrer à Tinfini des covariants.
Exemple. Si on change le covariant quadratique de la forme quintique en intermutant
^ae-AM^^c^)^,^{flr^^\>e^^cd)-^^
et qu'on l'applique à la forme quiûtique elle-même
aoi?'\-h loc^y + IQcaf'y^ + 10da?V + 5 eocy^ + A^, on obtient le covariant
— (af+ 3 &ô + acd) (fto;» +3 cx^'y -}- 3 dary* + ey») + (&/•— 4ce -f- 3d*) (aod' + 32>a?V + ^cxy^ + dy»)
qui est précisément, sauf un facteur numérique ( — 3), le covariant qui, égalé à zéro, fournit l'équation canonisapte de la forme quintique.
Remarque. Si q> est un covariant de la forme /", et qu'on le change en un intermutant, en l'appliquant à un autre covariant Vf de la même forme, on aura un autre covariant. Il faut pourtant, afin que les difforentiations soient possibles, que l'ordre du second soit supérieur à celui du premier. La différence exprimera l'ordre du covariant auquel on aboutira. 11 s'ensuit que toutes les f07^nies qui possèdent des covariants ne différant que d'une unité dans leur ordre ^ ont un covariant linéaire. Ce principe appliqué aux deux covariants, quadratique et cubique, de la forme cubique, donne un co-
variant o; mais si on l'applique k ceux de la forme quintique, on obtient de suite de la façon la plus aisée le covariant linéaire N"" 8 des tables.
fL99. On peut, à Taide des fonctions appellées évectantSj trouver encore des covarîants.
Si I désigne un invariant de la forme :
la fonction
riiiT f n d n— 1 d . n— 8 ^ d \P -r
c'«3 [yii;-y ^rf^+^ ^'rfs;- ) ^
est appellée un éveclant.
En effet nous allons démontrer ce
Théorème. Tout évectant est un covariant de la forme proposée. ♦
Démonstration* En nous bornant au cas de p=lj observons d'abord que, si les variables Xj y; x\ y' sont congrédientes, c'est à dire, si
x=pX + qY œ'=pX' + qY'
y=prX+çtY ' i/'=p'X' + 3'Y' '
d'où
xy'—afy= (pq» - pTq) (XY' — X'Y) ;
on pourra établir l'équation :
f {x,y) + X (iCi/' - ya/r = F (X,Y) + X' (XY' - YX')" ;
et, en développant les deux membres, il viendra :
= (Ao+ V Y") X"+ «X""'y (A,— XY"*"* X') + ...
Pour former maintenant Tinvariaqt quelconque de cette fonction,
il suffira de changer les coefficients ^0,^1, a,, de la fonction
r(oo,y) respectivement en ao^-xy'^û|— Xî/'**~'a7',a,+Xy''*~V%..., et si on le développe suivant les puissances ascendantes de X, on aura :
Cette expression en vertu de la propriété connue des invariants doit être égale à celle que Ton obtiendrait du second membre de réquation, k ime puissance près de pçf —j/Çj c'est à dire qu'on aura :
= ft»*[l(a.,a.,...,a.„)+x(i/'"^-î/"-V^+...)|.
Mais I (Ao,A|,...,aJ=:/i^I («o»^i»--îûtJ ; donc, en observant qu'on a X' = x/t, il viendra
donc la fonction proposée est bien un covariaut. Il en sera de môme évidemment pour n'importe quelle valeur de p. EXEMPLE. Supposons que
[17] f^zax^ + Sbœ^y + Scxy^ + dy* ;
on aura
I — a^dP 4- 4 ac* + 4&*d — 3 &V - 6al)cd .
L'évectant
Fki Dk Bbomo — Théorie i4$ formés binairêt. U
fournira le covarlant
+ aH
^-^àbd
— "Saed
-^ orf*
—Zabc
— eac'
+ Qb'd
+ 3bed
Pareillement, en ayant recours à Tinvariant I^ de la forme binaire du 5* degré, on obtiendra le covariant du 5« ordre et du 3e degré par rapport aux coefficients qu'on trouvera dans les tables au N** 2.
Corollaire l»^. Il s'ensuit en général qu'à toute fonction de degré impair 2n + l correspond un covariant d^ ordre 2n + l et du 3« degré dans les coefficients. Car (N. 119) toute fonction de degré impair a un invariant du 4* ordre.
De même toute fonction de degré pair 2n a un covariant d'ordre 2n et du n* degré dans les coefficients. Il suffit de se rappeler que* toute fonction de degré pair 2n a un catalecticant ou un invariant de n+l degré.
Corollaire 2°»®. Tout Invariant d'un évectant est un invariant de la foi^me proposée. Il suffit en eflfët d'observer (voir N*" 129) que tout invariant d'un covariant est aussi un invariant de la forme donnée. Ce corollaire démontfe immédiatement un théorème d'Kisenstein.
Supposons que ka^-\-ZBxtj'^'\-ZGxy^-\-J)y^ soit le covariant cubique trouvé tout à Theure. Nous savons que
