AC — B«) AC — BD AC — BD 2(BD — C

2(ac — b*) ac — M ac — M 2{bd — c^)

relation donnée par la première fois par ce géomètre, où

da • ' 3 de ' '

C=^=—ad}+3bcd—2c^ ; D = ||i=— acd+2&*d— &c«.

n est aisé de voir de même qu'en comparant un invariant d'un

covariant aux invariants fondamentaux de la forme, on trouvera

^ une foule de relations entre les coefBcients. Ainsi en mettant le

covariant N. 2 des tables de la forme biquadratique sous la forme

Aa?»+ 6 Ba;*!/ + 13 Ca?^î/«+ 20 Da^y»+ 15 Ea?V+ 6 Fa^+ &!/• ,

il faudra que AC— 6BF+15BE— 10D*=XI%+mP, ,

X et M étant des coefficients numériques qu'on déterminera aisément, et par là on trouverait qu'il est le discriminant même de la forme biquadratique.

11S3. Au moyen de l'intermutant on peut, d'après une méthode donnée par Cayley, déterminer en général la forme canonique pour un degré pair, ce qui précisément nous nous étions réservés de faire au N. 66.

Soit

[18] f= («0. «il -M «2nia?, yf"

la fonction donnée, que nous nous proposons de mettre sous la forme canonique que voici

[19]Ai(â?+aiy)*"+A,(a?+a4^)*"+...+Ai^(a?+a^)*"+XT(^+aiy)...(a?+a^),

T étant un covariant de degré n de la forme

Comme on voit les indéterminées A|,...,A , 0|,...,a i k aoùt bien en nombre 2n-{-l égal k celui des coefficients de la forme. Pour les déterminer et pour plus de clarté, nous poserons d'abord ce lemme.

Si on prend pour intermutant la fonction

Pl] (»o,a,,...,a^5^,-^) ,

et si on l'applique à un des binômes quelconques [2], A(a^-ay) , le résultat de Vopération sera nul.

En effet, ce résultat aura pour expression

[22] (ao, a,, ..., a^Ja, — 1)**.

Mais, en vertu de Téquation [20], un des facteurs du second membre s'annulera par la substitution a?=a, y=z — 1; donc, la fonction [22] se réduit à 0.

Supposons maintenant que le covariant T soit tel que Topération [21] faite sur T(a? + <»iî/) — (^'\'^^) soit proportionnelle au produit même (a? + a4Î/)...(a?4-«^y)- Alors, si on applique rintermutant [21] aux deux membres de Téquation

on aura, par la comparaison des coefficients homologues et en observant que Topération sur la partie 2 se réduit à zéro en vertu du Lemme, les équations de condition suivantes

aoa^-na,a^^j+-p2-a,a^j^-+...=^ao,

ao ^n^g^ ^ ' ^ ^n-i+ 1-2 ^ ^n — h... = ^a, , aoao — na,a|+~^T2-^a,a, . . . =Xa^ ,

d'où, en éliminant Sq, ai, :.., a^, on aura Téquation

a^-hX

fH-l

Sn-l

Exemple. Soit n=3. Alors on aura

/= Ao (iP+a,y)«+A|(^+aiy)«+A,(iP+ei8y)«+XT (a?+aiy) (ay+aïf) (â?+a»f ).

Or, en posant

(ao, a», a,, a^ïo?, i/)^^ (^+ «iV) (^+«»y) (^+asl/) ,

on trouve que le covariant T, propre à la solution, est Tévectant de la forme (ao,a„aj,aJ[ir,î/)'(*), c*est-à-dire le covariant N. 2 des tables, et la forme canonisante sera

ao a, a^

(*) Pour le proQTer il sufSra, d*aprèi Salmon, de le Térifier lur la forme caDODique de la cubique, qui est 0:* + ^, dont rëTectant est afi — y*. Or dans ce cas le produit T(a?-f-aiyX*+«iy)(*+«iy)> ©u ap*— y*, deyient,

après aToir subi Topëration ^ — ^, la même fonction qu^auparaTant,

^+y^* Cela parce que le résultat est indépendant des transformations linéaires qui ramènent la forme canonique à la forme primitiTe,

EXEMPLE 2™«. Pour n=l, rintermutant devient

^d dy

En rappliquant à Téquation

on trouve que la 2™« partie donne 24(4aoa, — B}^)^x+a^y){x+a^y). Si nous posons x=2(4aoa, — a*i), les équations de condition fournies par Tintermutant en comparant les coefficients de ^, ^§/, !/* seront

aoa,— 2a4a,+a,ao=X'ao ,

^0^3 — 2aia»+a,ai=:X'a| ,

dg a^ — 2 ai a^-^ a, a,= x'a, ,

d^où Ton tire, en éliminant ao, a^ a,, ...,

Ûj X' ttg

c'est-à-dire la même équation canonisante de la forme quartique que nous avions trouvé au N. 65.

Govariants considérés par rapport aux racines.

1!94. Nous avons vu que les covariants d'une forme binaire satisfont aux deux équations aux dérivées partielles

Or des équations

^ effli ' ' da^ ' ' '»-i da^ da

* dao

+'"-')«.ê+- +''~è.r^"tr- <■'•"'

que nous avons démontrées N. 83, il s'ensuit que les équations susdites prennent la forme

On aura ainsi obtenu les équations aux dérivées partielles relatives aux covariants exprimés en fonction des racines. Soit, par exemple, le covariant

(") On 80U8-entend que r est le degré du covariant par rapport aux coefficieAts et que «| = £o .

Posons pour un instant

q> = 2A(a,-a.)* ; q> = 2B (a? — yaa)' - On aura évidemment

en reportant les différentiations -™- seulement sur le facteur ^ — y^zi et cela se répétant d'une manière analogue pour a^^o,, etc., il s'ensuit que pour chaque forme du covariant Topération

d(x dy

reproduira le covariant X2(a44-a, + a3 + oi4H-Œ5 + -") ; c'est à dire que pour le covariant cp'on aura pour le résultat de cette opération 2<(>5,. Or, comme dans notre cas r=2, il viendra 2q>^i — 25|q>=0, ce qu'il s'agissait de vérifier.

195. Remarque. Il se présente dans la transformation de Tschimbaus une belle application des principes posés, due à M. Betti. A cet effet posons

les équations [1], [2] deviennent

[5] Xq> = , [6] Xj(p~r5,q) = 0C).

Soit maintenant

r(x,y) = (ao,a^, a,, ..., aj[œ,yf=0

une forme binaire de degré n; et %(œ,y), 9i(^,y), "y^f(^,y) des covariants de cette forme d'ordre m et de degré r .

{*) Lorsque q) est de de^é par rapport aux variables, ces deux équations reproduisent celles du N. 83 relatives aux invariants.

Posons

ip (Z)=Z <Po (X, \)+Z^^ <Pi (co, 1) + 2''^<Pi(^,l)+...+<P,(û?,l)=0 .

Supposons que Ton élimine œ entre ces deux équations, de sorte qu'on ait pour résultant

e U) = Ao^s'** + A, ^j'**"^ + ... + A^= ;

les coefficients A^, A|,...,A , qui seront des fonctions rationnelles de x, seront tous des invariants de la forme donnée. En eflFet, puisque <P^(â?,î/) est un covariant, on aura

si Ton applique les opérateurs X et Xi à i|i {z).y en considérant z comme fonction de x en vertu de Téquation e (js) = , X et Xi se réduiront à

Mais si par hypothèse \^{z) = n'a pas de racines égales, —3- ne pouvant pas s annuler, il faudra avoir

X« = , X,(«) = 0, ce qui fournit les relations