Exemple. Soit

(a,&,c,dïa?,l)»=0, 2; = (aa?+&)u+(ûk»«H-3&a7-|-2c)r. En multipliant la seconde équation par rr, et en ayant égard à la première, on a

xz = (ao?' 4- ^^) ^ "4- (~ c^ — ^) ^^ ou

aux'^ + (bu — z — cî?) d? — di? =: .

Par le même procédé, on tirera de celle-ci

(z4-2&u + cî?)a?*+(3cu + di?)^ + urf=0 .

Maintenant les trois équations :

ax^v 4- (3 hv + du) x + 2cî; + &tt — a; = 0, aua?*+ (&u — cy — ;î)a7 — dv =0, {^hu -\- c\j -\' z) x"^ {^cu-\-6,v)x ud =0

fourniront, pour Téquation finale,

z—'bu — xv —au — 3^1? av

d -^ud

z — bu-^cv au

— 3cu — dv z-\-2bu-{'Cv

qui sera de la forme (1 ,0 , C,Dïa?,î/)' , où l'on a -1- C = (ac — b^) u* + {ad — bc) uv + {bd — c«) v\

On voit que C, D sont bien des invariants des deux formes

(a,&,e,d][X,Y)» , (uY-î^X),

ou encore des covariants de la forme (a , & , c , d j u , i?)' .

i50. Les coefficients Ao, A,,.-) A^ représentent en général des fonctions de ^^^p ^^^,,...,<o) ^^9 lorsqu'ils sont des in variants, ne seront plus que des fonctions simplement de ^^u, '^3i-»^o' Proposons-nous, par exemple, de trouver le coefficient dans A^

de r ^ • Comme ^ ,""0 '"J^"^^ A est le coefficient de n-i 1 . 2 . 3 . . . r »•

z^"^ dans l'équation proposée, on aura

n(ii — l)...(fi-r + l) ^ ^Y Y Y

Or le coefficient de fn-t dans ce 2 s^i^ft évidemment

2(«o^i + ^«i)(ûo^« + ywii) («o^^ + ^wii)» c'est à dire le

coefficient de x^""^ dans Téquation ^f^\~ — } H

« L ^ a« '--i^ 2 \ao/ '•-*

ISO. Cette méthode de calcul pour la transformation de Tschirnhausen qui après tout est fondée sur la forme particulière d'un résultant nous suggère de donner ici en passant les équations caractéristiques d'un résultant trouvées par Brioschi.

THéoRBME. En appelant S le résultant des équations

16] 9 (X) = aoX»+a,x»-ï + a,x»-«4- . .. + aa=0 ,

et X les quantités définies comme au N* 43j an aura

DÉMONSTRATION. On H (N* 43)

Mais, d'après le théorème N*" 47, on a auBsi

Partant Téquation [9] pourra se transformer en celle-ci

Or il est évident que le premier membre de cette équation devra s'évanouir avec R et le contenir par conséquent ai facteur, car il ne peut pas y avoir d'autre condition entre les coefficients que la condition R = 0. Il viendra donc

q étant un facteur algébrique qu'on déterminera très-aisément. Il suffit pour cela d'observer que le premier membre est de degré n-|-l par rapport aux coefficients &, et de degfré n par rapport aux coefficients a. D'ailleurs son poids est celui de B plus m + r-j-l — r— l = m; donc q ne pourra être que de la forme

q* étant un coefficient numérique, qu'on trouvera égal à n — m, en comptant combien de fois le coefficient hm entre positivement et négativement dans les quantités a.

{*) Nous supposerons, pour plus de clarté, que de sorte que la première valeur de r soit 1.

Sbmabqub. On peut vérifier directement Téquation [8] pour les cas de m = 0, w = l.

Si Ton introduit daos la première des équations [28], N"" 43, les relations [8], N* 47,, on aura

Mais, sauf à ajouter (^oKjr — ^oK 7~ = ^» ^* quantité dans la seconde parenthèse n'est autre chose que nR, et la première est égale à [voir (15), N" 47] ; donc

Pareillement on trouvera

/^ (fR , , rfR\ . / rfR , rfR\ , ,. rfR ^ i«R ^

niais a.(&«^ + ^^^|-^(«o5^^ + «tà,J+ao^^~M.^= Donc, en ajoutant,

, „ . rfR . dK , l dR , dR , \

. / <iR , dR , dR , \ ▼érifier, et y]6.S; =0(*) •

(•) Voir ma Théorie de Vélimination, page 72.

PaX pk BitTiMo — Thèorii des [omut WnairM. IV

Par conséquent

Ce théorème a été donné par M. Brioschi dans le Journal

de Crelle^ T. 53. Mais pour la démonstration nous avons reproduit celle que nous avons donnée dans le même Journal^ Tome 54, qui nous paraît beaucoup plus simple.

Si dans Téquation [8] on fait successivement m = 0,1,2, 3, ...,n — 1, on obtiendra n équations qu'on pourrait nommer les équations caractéristiques du résultant, savoir ,

^ dR , dR, , . dR ^,^ ^

\ dR , . dR ^ j^ . dR . i\f,o

dR,^ dRy .^ ^^,. 1,

161 «Voyons maintenant ce quedeviennent les équations [11] dans le cas du discriminant, c'est-à-dire, lorsque <p(œ) et ¥(;r) sont respectivement les dérivées par rapport à a? , y de la même forme

en supposant que le coefficient binomial soit représenté par ptn= ---T-K- Q-^ ^ , et qu on ait fait ensuite y=l. Los dérivées seront de la forme

ou plus explicitement a„:,;"-'-i-(n-l)«..r"--+i^'f=^a,.i-«-='-L...+a„,=0,

Or observons, en envisagreant la question directement, que, le discriminant s'anoulant pour des racines égales, si x est une de celles-ci, il faudra qu'on ait, comme au N* 47,

d'où Ton tirera

\ id'R 1 k<^R

Pi ^^l Pk ^k

da^ ' Pi dai ' p^^^ da^^i' pi dai

D'ailleurs Téquation [10], dans le cas du discriminaot, devient

et alors, en remplaçant œ^"^" , x^^^' par leurs valeurs tirées des équations [12], il viendra

OÙ les derniers termes seront respectivement en ^ — , ^- — .

En partant maintenant des équations [8] comme type et en leur appliquant les équations [8], on aura

(^) Le coefficient qai est associé à a^^| dans cette équation est (fi — l)(n — 2)...n — m 1