FORMES SYMBOLIQUES DES COVARIANTS
169. Depuis quelques années MM. Clebsch et Gordan ont introduit dans Tétude des covariants des formes symboliques spéciales avec un immense succès (*). Aussi Gordan a-t-il réussi à démontrer que le nombre des covariants fondamentaux pour toute forme est limité, et dernièrement il a poussé la détermination des covariants indépendants jusqu'au 7* et au 8* degré.
Donner ici leur théorie, ce ne serait que reproduire leurs travaux mêmes et sortir du champ d'une exposition élémentaire où nous nous sommes restreints. C'est pourquoi, nous bornant au rôle d'être utile aux étudiants des sciences mathématiques, nous nous contenterons d'en donner une idée, afin que le lecteur puisse ensuite par lui même entreprendre la lecture assez difficile de ces ouvrages.
Représentons en général symboliquement par (a jO: + «»!/)* la forme a^ccr" + >i«i ^"".V + + û* ? ^^ posant
aj" = a^ , a|"-*a, ^=^ a^ , a"-'a, = a, ,.... a\ = a,
et convenons de représenter la môme forme par les symboles
(*) La notation adoptée par ces auteurs ne difTôre en réalité que par la forme de celle qu'avait déjà adoptée en 1846 Cajlej dans son Mémoire, à jamais célèbre, sur les byperdéterminants, inséré dans le Journal de CrelU.
(&ia? + ^iy)*^ (^i^+^«y)% (^i^ + tf«!/)*» etc., de sorte qu'on ait indifféremment
L'avantage de ces représentations symboliques successives de la même forme est de nous permettre d'opérer algébriquement sur les mêmes formes algébriques sans altérer le résultat final. C'est tout là le secret de la méthode donnée d'abord par Aronhold et suivie ensuite par M. Clebsch. Ainsi si l'on peut poser (a,a? + a,î/)* = aaî* + 2&a?y + cy*; il ne s'ensuit pas que l'égalité subsiste en élevant au carré les deux membres, ou que (a^œ + a,!/)* = (aœ* -{- 2hxy + Cf^*)*, car les opérations algébriques que l'on est amené à &ire dans le premier membre altèrent la nature des coefficients symboliques. Mais, si au contraire, d'après les conventions ci-dessus, on fait le produit (a^œ-\-ajfY {^i^-\-àtVYi sauf à remplacer ensuite les coefficients symboliques par leurs valeurs, il est évident que les opérations algébriques n'altéreront pas la nature des coefficients, car chaque facteur restera tel quMl est par la convention faite auparavant. Ainsi on aura, en restant dans Texemple ci-dessus,
= a^x^ + iabxy + ^Zac H- ib'lx'y' + Abcxy^ + cV* - («^* + 2bxy + cf\^ Cela posé, en adoptant ces notations symboliques, le discriminant ac — &' de la forme quadratique ax* -{- 2biry -j- ey'
sera représenté par
en supposant que l'on ait
(a, &, cï,/% !/)* = [a, .r 4 «, y)^ = (&, ^ -f b^ y)\
Celui de la forme cubique ax^ ■\- 2hxy^ -\- {iccy^ -^ dy^ , qu'on sait être —
pourra être mis sous la forme
d, rf.
a, a, ! rf, rf, i
en supposant que Ton ait fait successivement
Par exemple, le terme,
a*, fe% c', rf'i a, c, rf, &, == a^ &% c*, c, rf% rf, = a & c rf,
reproduira un des termes du discriminant, etc. Pareillement en passant à la forme biquadratique
(a, &, c, rf, e ï œ, vY = (a,a? + a,2/)*= (&,^ + M*= (^i^+^jV)*, on aura
I, ae —
4&rf + 3e* =
/> c» rf — 1
f rf e 1
La même chose a lieu pour les covariants.
Ainsi le covariant quadratique de la forme cubique, en adoptant les mêmes notations, sera
et le cubique
Voici maintenant les invariants et coTariants pour la forme quartique
I» = (a A — aAY ,
I, — (a A — a,?;,)' (a.r?, + a.f,)» (&,c, + fc,c,)* ,
C«,!,= (a,'',— Oi'^i)' (c,b,— Ci&,)(a,.c-|-a,y)'(ft,a;-f&,jj) (c,j;4-c,v).
Si Ton adopte d'écrire avec M. Clebsch, x^ pour œ^ x^ pour y
(àb) pour (afi^ — ajb^)^ {pc) pour (ft^c, — &t^t)v^ ax pour ^1^1 + «4^1, &« pour &ta?t + ^r^« v m
alors les formes quadratiques, cubique et quartiqae, et en général de n* degré, deviendront
[1] f= (a^)«, f-= ax', f= ax\ f= a«* = &«• = c,», etc.;
et les invariants et covariants susdits seront représentés simplement par
I, = (û&)« (cd)* {ac) M ,
[3] { C^,^ = (ab)ax bxy
Cs izz: (a&)* (Cb) Ca? «x ,
I, =(a&)S I, = (a&)« (ae)M&c)»
C„ , = (a&)* ax» &«* , C4 , 3 = (a&)« (c?>) a^:* i;, c, .
Par ces notations les dérivées s'expriment aussi facilement. Il est aisé de voir en effet qu'on a:
<V.., .n-l^ . df
- - — 71 . ûf^-* a ; ,^ = n . az~ b ;
Pareillement
[5] ^^n(n— l)...(n— /i+Da^J-" ; ^^;^— '? h— !)...( n—/i-}-l)a;-'
[6] —,— * = ^^ (^^-1) - (^^-'^-'^ ^1) Ox~*~* a'' ?>* .
rfa?i dxi
IG3. Une fois compris le mécanisme de ces notations, passons à voir par quels principes M. Clebsch arrive à déterminer les covariants.
Supposons que la forme f soit [7] /•= oa?, -{- &a?, ,
et faisons-y les substitutions
on aura
i^=pq'—p'q;
[9] f= (ap + &!/) x\ + (a(Z + 2>«') .^, = aW, + &'^, , en posant
[10] a' = ap-^bj[/, V^aq-^-Jytf.
Mais par les équations de substitution [8] on obtient t^x\=:q*x^ — qx^
et de même en vertu des équations [10] on a
tJ>=pV + q(-a:),
Si Ton observe de près les équations [8] et [10], [11] et [12] on voit que les équations [12] se déduisent des équations [11] de la même façon que les équations [10] des équations [8], c'est à dire, par rechange des coefficients d'une ligne avec ceux d'une colonne et par l'échange de (x^ , a?,), (a/,, a?',) en (a\ &'), (a, h) respectivement. D'ailleurs les déterminants des substitutions [8], [10], [11], [12]
Aa ^=q*a* — p'I/ [12] l,ou [13]
Aô — — qa*-\-ph'
sont les mêmes, quoique le second soit transposé (*) par rapport au premier et le 4* par rapport au troisième.
(*) Nous appeUerons ainsi ua déterminant dont les lignes sont identiques aux colonnes d*une autre et réciproquement.
On voit encore que les variables œ^ ^x^ (à un foctenr près) se transforment dans les af^^ x\ par les mêmes formules, par les quelles les quantités & et — a se transforment en fr' et — a'. Or, comme Tintroduction du facteur A dans les transformations n'altère pas la propriété fondamentale des invariants, il s'ensuit que Ton aura ce théorème :
Une fonction Y, qui contient les variables x,, x, et Jouit de la propriété des invariants y continuera encore à Jouir de la même propriété^ si on change respectivement les vatHables en b et — a.
Au moyen de ce théorème, M. Clebsch observe qa^on peot fiiire rentrer Tétude des covariants dans celle des invariants. Car, par la considération d'invariants simultanés, on peut, à la place de chaque covariant, introduire autant de formes linéaires qu'il y a de séries de variables dans le covariant. Et alors on reviendra au covariant en changeant les coefficients
«11— ût,; &,, — ^i; etc.,
des formes linéaires introduites par les séries des variables
»^*i 1 '^il Vit Vit
iOi, M. Clebsch établit ensuite ce théorème fondamental: Chaque invariant de formes linéaires est une somme de produits formés par les invariants relatifs à deuœ quelconques d^entre elles.
L'invariant de deux formes linéaires a^Xi-^-a^x^^ &j.ri-|-^iJ!^i est leur déterminant afi^ — (^^h^r=:(ab). Ainsi pour trois formes «i-r, -|-<^/j/'j, ?>,ur, + '^'i. <^r^i + ^V^*i les fonctions
Uab)(ac)(?jc)Y , [{nb) (ar)t -^ [(ah) (hc)]^ -\- l{ac) {hc)^
seraient autant d'invariants.
Cette somme est évidemment un invariant, puisque chaqae élément (ab) se reproduit. Mais il fallait démontrer que tout
invariant peut se réduire à cette somme; c'est ce qu'a fait voir M. Clebsch dans son ouvrage Théorie der binaeren algehraischen Formen. En ayant ensuite recours au théorème N" 163, il montre que
Tout covariant d'une série de formes linéaires est un aggrégat de produits^ dont les facteurs auront un des trois types suivants:
1 (ab), invariant formé par deux quelconques des
formes linéaires,
2 (ajXj4-ftiXj), une des fonnes linéaires données quel-
conques.
3 (xy), déterminant formé par deux séries de varia-
bles x,yi; x^y,; etc.
i05. Kn s'appuyant ensuite sur un théorème sur les invariants simultanés donné par Cayley (N* 78), M. Clebsch arrive à son théorème fondamental qu'il avait déjà donné dans le Journal de Crelle^ t. 59.
Soit TT, dit-il, un invariant ou un covariant d'une forme f de n* degré, dont Oo, a, ,..., an sont les coefficients. Soient a^, a, ..., «n ; Poi Pi ••^ Bn , etc., les coefficients d'autres formes de même degré.
Alors, par le théorème de Cayley ,
et
L16] n, = P„S + p/^+ etc.
seront autant d'invariants. Mais en continuant de la sorte, il est évident qu'à bout de r opérations semblables on finira pour faire disparaître de TT les coefficients (a) si TT était de jriitne degré, et on parviendra à une fonction TT^ qui ne contiendra plus que les coefficients (a), (P), etc. de r différentes formes. Réciproquement, on peut de la fonction TT^ remonter
à TT. Remplaçons, en effet, dans tt, les coefficients de la dernière forme par ceux de Tavant-dernière ; on aura TT^-t' Si dans celle-ci on remplace les coefficients de TT,^, par ceux de la forme qui précède Tavant-demière on arrivera à 1,2 ... TTr-i . En procédant de la sorte on parviendra à 1.2 ...r.n.
Remplaçons maintenant les coefficients a» By etc. par leurs expressions symboliques fournies par les r'<««» puissances de ax^ &x, etc. La fonction TT^ ne contiendra plus les coefficients
de la forme /*,' mais les coefficients a^^ &|, de r fonctions
linéaires.
Si la fonction TT contenait des coefficients d'autres formes f^ on pourrait par la môme méthode la réduire à ne contenir que les coefficients a\ V^ etc., d'autres fonctions linéaires. Il s'ensuit que :
Tout invariant simultané ou covariant (Vune série de fondions peut être exprimé comme invariant ou covariant d'une série de fonctions linéaires^ dont les puissances représenteront symboliquement les formes données.
Mais comme nous avons donné plus haut la forme générale de tout invariant ou covariant des formes linéaires, nous pouvons établir ce théorème fondamental:
Tout invariant peut être représenté symboliquement par un aggrégat de produits de déterminants symboliques (ab); et tout covariant par Vaggrégat de produits de déterminants symboliques (ab) associés à des facteurs symboliques de la forme Cx .
Ainsi donc tout covariant simultané d'un système des formes binaires
[16] A=r(a,ir,+^j.r,)^ Bi==(fe,.r,+i;,a?,)^ C-'-ic^x^+c^œ^)^,... peut être représenté par une somme de termes de la forme
[17] L (abr {nef (hcf a^r bx cî.
OÙ L est une constante. Il va sans dire que Tordre du cova-
riant devra Être égal à la somme des exposants, r-f-^-j-^-f- ,
et que l'expression susdite devra être homogène et de degré a par rapport aux a ,
id. P id. b,
id. T id. c .
D'ailleurs le degré du covariant sera donné par le nombre des symboles a, &, c, ... qui y figurent.
i60. On peut former directement des covariants d'après Clebsch par une opération qu'il appelle uéberschiébung ^ et que nous traduirons par translation^ en attendant un nom plus propre. Cette opération est représentée par l'expression
[18] n.-3((pHi)*(pr*Yr*,
où <p=(Px, ^='^x désignent deux covariants, et (cpip) désigne la puissance symbolique diflférentielle ( t^ ^ — i^ Z«" ) • En ayant égard aux expressions (6), la formule [18] est équivalente à celle-ci
fioi nj= V.- .-. \ •
*- ^ m (fi-lj ... [n-k+l) n (it— l) ... [n-k+l)
[ d(p éTv __. d<Q rfni , . .Jt dtp rf <|i "]
\-dXi dXi dXi dXf dX\ dXi dXo dXi J
Ou aurait en particulier, pour ft=ril, 11 = 2,
"~"^^^' ^* ^^ ~m» Ldx^ dxt dx, dxxA
«PVl» (P"-' v'*-'= î f— ^^ - 2 -^- - ^-^- 4- ^ !
\^^) ^x ^x ^ (^i) ^ (^ij Lito^i etoi^ ^ ^j rfa-i rf4?i dxt^dxf (
Cela n'est qu'une transformation d'une application de nos intermutants aux émanants.
Formons en eflfet l'émanant de <p, l^'i SS" ^'^*rf~) ^ <p étant toujours un covariant. Si on change par la théorie
des intermutants ic'i, x\ en
autre covariant, il viendra pour nouveau covariant
M. Clebsch montre ensuite -comment tous les co variants d'une forme peuvent être engendrés par la translation fueberschiébung) de la forme donnée sur elle même ou sur quelques covariants déjà formés.
iOl. Nous n'insisterons pas davantage sur ces recherches; car pour les approfondir il faudrait plus que reproduire les ouvrages des auteurs môme, Clebsch et Gordan. Nous n'avons voulu qu'en donner une idée suffisante pour éclairer le jeune étudiant dans la lecture de leur savants mémoires et pour leur faire savoir ce dont il s'agit par ces recherches. Nous terminerons ce rapide aperçu par la comparaison des formules de Clebsch et Gordan relatives aux covariants de la sextique avec nos propres formules N* 141. Cela servira aussi à faciliter l'étude de leurs représentations symboliques.
Désignant par f la forme donnée, voici leurs notations avec les nôtres en regard
Notons que 13 et C sont les invariants de la forme biquadratique i; que A est l'invariant de la forme quadratique l' D est l'invariant de la forme quadratique m; et que F est le déterminant des coefficients des trois formes quadratiques /,
Cela posé voici ponr la sextique les
5 invariants fondamentaux
U; B=i4; Cei«; DeIio, ou D=(A(AWe^2D-| nc-| | ab«
EeI,5, ou E = ((/•,/), f^),; et les 21 covariants fondamentaux
'•MÎ H — Cg,,; F —
i^^s^aî (H,0^-
g),r=mEC,,5; (^«*):
lî(^) H(y)
— ''ii'si ^i-^'4»ii ^ ^ ^'ï î 3 i ^ — '^eu
CiomÎ (^0 —
eC,,,; (A/)-=
fi^) f{y)
:f CflM
cr,o, a -=2
CAO, i\ =
/ V i ' fi *'* 12^4'- T «r^4ii=:^'4î» »
O I^> aiguës f, ff ne servent qu*à différentier eotr'eux les deux ooTariants Ce,e, ainsi trou?é8, qui sont essentiellement distincts.
— — *^N/v\AAAAAAAAA/NA^*-^
