zg r s s 8 'S
(OL (!»)«'• (p) î-^'- « (P)-»-'' '^ ç+(p) (P)-*-î'+d
et si maintenant on a égard à la règle symbolique admise, on retrouvera la valeur [16] de 94. Comme de 93 on est passé à (P4 on verrait aisément comment de 9^^ on passerait a (ply en suivant généralement la décomposition que nous avons faite en déterminants d'un ordre inférieur d'une unité; d'où il résulte évidemment qu'il ne peut pas s'ajouter un exposant à l'indice sans un changement de signe et sans que le nouveau terme soit multiplié par le nombre (l - 1) de déterminants mineurs qui sont multipliés successivement par les symboles s^^^, s^^^, s^^^, etc.
Remarque 2* . La formule [21] nous conduit à une relation intéressante. Elle donne en effet:
c'est à dire
122] ^ = 2(-ir(^-l)<P,,
<P^ étant ce que devient 9 lorsqu'on y néglige les facteurs
contenant les exposants qui figurent dans Tindice X^. Ainsi, on aura (voir les exemples [17] et [38])
,, ^ =1.2. {Sp Sq — Sp^q) = 1.2. 9, = 2 Sia^P ojî
car dans ce cas g ne peut avoir que les valeurs 1 et 2.
Lorsque, par suite de la nature des exposants, il arrivera que deux ou plusieurs des indices X^ , X;^ , etc., seront numériquement égaux, il faudra ajouter au second membre de la relation [22] autant de termes semblables eu 9^ , 9^^^ ^tc
Remarque 3*. Si Ton proposait de trouver le nombre de termes dans la fonction 5. s^^ Sy^ ... ^x^ , ce nombre, en supposant gyhyk . . . i difTérents entre eux, sera évidemment
car la série des indices dans un terme sera une combinaison des exposants pris gkg^ suivie d'une combinaison des {l — g) exposants différents des premiers et des seconds pris 7c à ft , et ainsi de suite.
Mais lorsque g' nombres g^ h^ 7t, etc., deviendront égaux à ^, la série des indices X^ , X;^ , X» , . . . , se trouvera répétée 1. 2. 3. . . ^' fois de trop, et dans ce cas il faudra encore diviser le nombre N par 1. 2. 3. . . g\ pour avoir le nombre correspondant des termes dans la fonction susdite. Supposons
ainsi g^ grroupes d'exposants en nombre g^ U groupes d'exposants en nombre h^ etc., dans la série des indices dont la lettre s est affectée, le nombre N sera
W (*)*' . . . W \gl m . . . [il
sous la condition g' g + /i' 7i + . . . iW = Z.
Cherchons maintenant ce que devient la formule [21],. lorsqu'on suppose tous les exposants égaux à ir.
Alors, comme dans
tous les termes se réduiront à
gv hir iT^
cette fonction se réduira elle-même à
(^y (A)V . . . w* fj') [h') . . . (<') gît ^hir iir
B'ailleurs , comme nous Tavons déjà observé , il faudra , dans la même hypothèse, diviser le second membre [21] par 1. 2. 3. . . I. On aura donc.
ou
8oas les conditions
a = g' + h'-i-... + f et g' g + h' h + . . . -i- fi = 1.
Application. On peut exprimer à l'aide de cette formule un coefficient quelconque d'une équation en fonction de»
sommes des puissances semblables des racines. Le coefficient 4Xi en effet d'une équation, en supposant a^ = 0, est égal à
{—y la^ o, . . . ai
et si Ton pose ir = 1 dans la dernière formule [25] et si nous supposons, ce qui est toujours permis,
g =1, h =2,. , ,i = 1, et g' = \, h' =\, . .f = \i ; il viendra
^ (Xi)(x,)...(x,) [îj [2] \TI '
sous la condition \ + 2Xj + • • • • '^« = ^•
On aura, par exemple, ^
Remarque 4*. La somme des coefficients numériques de <Pi
£st (— 1) (1), divisée par les fonctionelles [g], [h], e/c, 5/ dans la fonction <Piily a g, h, etc. y exposants des racines égaux entre eux.
En eflTet si l'on pose ao = «« = «t» ^^-^ = 1? *P^ se transformera en cette somme, et les s qui figurent dans la formule [21], se changeront tous en — 1. Par conséquent le signe des
coefficients deviendra partout (— l)'"' X (— 1)' = (— 1 )\ et la valeur de 9i ne dépendra que de l. Or dans cette hypothèse la fonction 9/ , en remontant à son origine [18], comme s est toujours = — 1, deviendra 9^= —^<P^p et 9j.i=— (l — 1)<p,.2? etc., d'où enfin
Mais lorsque dans la fonction 9{ il se trouve g exposants =Py h exposants = 9, etc., évidemment ces combinaisons se trou-
vent répétées (h)^ (g)j fois de trop; ainsi il faudra diviser (— 1)' (l) par {g), (h) ^
On trouvera, par exemple, que les fonctions
2«'P, 2a«pT. 2a'p*T, 2a»p»Tô, 2a«pV&€q)X
se réduisent respectivement à
Les formules [4] et [21] cependant, quoiqu'elles conduisent au but désiré, ne cessent pas de donner encore lieu à des calculs assez longs. Il en est ainsi de toute expression qui s'appuie sur les sommes des puissances semblables des racines. Cela dépend de ce que Ton a k tenir compte, dans ces sortes d'eipressions , d'une multitude de termes qui, finissant nécessairement par s'entredétruire dans le résultat final, ne servent qu'à prolonger inutilement les calculs. Supposons , pour fixer les idées, qu'on ait à calculer la fonction la* p*, et posons pour un moment ao = l.
On aura, d'après ce qui précède,
2 Za«p« = s^ s\ - 5, «4 — 25, ^3 + 2^5,
Si = — ai, 5,= a\, — 2^1, «3= — û^ + SajO, — 3a8, s^ = a\ — 4a*, a, + 4a| a, + 2^% — ^aj s^ = — a*| + 5a'i a, — 5a j a', — Sa*^ a^ + Sa, a^ + Sût «3 — Sa», et Ton trouvera Za* p« = — a, a, + Sa^ a^ — 5a^.
Ainsi, les quatre premiers termes de ^5, les deux premiers de s^ et le premier de ^3, étant étrangers au résultat, n'ont eu d'autre effet que de rendre le calcul plus pénible. Mais on peut maintenant éviter l'introduction de ces termes et écrire même d'avance la forme littérale de la fonction des
ooefflcients, qni représente une fonction donnée des racines^ à r^ide d'un théorème important, dû à M. Cayley et à M. Sylvester,^et dont j*ai déjà donné, dans les Annales de Tortolini (1855), une démonstration extrêmement simple. Voici le théorème.
5» Trosième propriété. La foncliaix des coefficients qui exprime la fonction des racines
[27] 9 = la/ a,^ a,"" . . . = ZCa,'^* a^^* a^""^ . . .
est de degré égal au plus grand des exposants p^ q, r , . . , et les indices avec les exposants qui figurent dans chaque terme satisfont à Véquation
[28] X|+2X,+3X8+. . .==P+^-f^+. . .= somme des exposants.
Pour le démontrer, nous partirons de cette remarque aussi simple que féconde, à savoir, que les coefficients de Téquation donnée [1] sont des fonctions linéaires par rapport à une quelconque des racines. En effet, quel que soit i, le coefficient ai sera, en général, de la forme
[29] ai = M(0 oy + N(0,
M(*'), N(') désignant les fonctions des autres racines, hormis la racine o/ , choisie arbitrairement parmi les racines o^, a,, 03... Par conséquent , si dans la fonction exprimée par rapport aux coefficients
9 = Ca!"^ a^^ a^^ . . . an^*"
on remplace les coefficients a^ , a,, an , par leurs valeurs [29]^
on aura
et le plus grand exposant dont sera affectée la racine quel-
conque olj sera la plus grande valeur de la somme des exposants
^I + ^ + ^3 + • • • ■+- Xit 9
qui devra être égale à la valeur maximum, des exposants p, ^, r , . . . , que nous appellerons , pour plus de clarté , ir. D'un autre côté, la' somme Xi+^ + X9-f--.. + Xn, représente précisément le degré de la fonction % considérée par rapport aux coefficients ; donc le plus haut degré de ces termes, ou , en un mot, le degré de la fonction, sera bien égal au plus haut exposant de la fonction donnée des racines.
L'autre partie du théorème se démontre avec la même facilité. Supposons que les racines a, p, t, . . • deviennent respectivement fex, Ap, At, . . . ; la fonction <p deviendra 9 ftp-^-^-^^-^■ .; mais en même temps les coefficients de Téquation proposée se seront changés en
et ils auront gagné autant de facteurs h qu'il y a d'unités dans leurs indices. Par conséquent, chaque terme de la fonction <p des coefficients aura gagné le facteur
n faudra donc bien, pour que l'égalité [27] continue à subsister, que l'exposant de h dans le second membre soit constant et égal précisément à la somme des exposants des racines dans le premier.
Bemabqub. La fonction Xj + 2x, + 8X3 + . . . + nXn , c'està-dire, la somme des produits des exposants par les indices des coefficients appartenants à un même terme d'une fonction donnée, joue un grand rôle dans l'analyse que nous allons exposer, et en général dans tous les développements réels ou symboliques des fonctions. Il sera donc convenable, pour
FaI dz Bruno — Théorie des formes binaires. 2
mieux préciser et faciliter par suite le raisonnement, de lui assigner un nom spécial. Nous rappellerons le poids de la fonction^ et quand ce poids sera constant, nous dirons d'après M. Cayley que la fonction est isobarique. Ainsi, dans le cas actuel, on dira simplement que la fonction <P des coefficients est isobarique et de poids p + î + r -{- . . .
En se rappelant ce que nous avons dit au N. 3, on en conclurait aussi que la fonction q> des sommes s est isobarique et de poids p + î + r + • • •
Nous appellerons aussi équipollence la propriété dont jouit une fonction d'avoir son poids constant , c'est-à-dire, d'être isobarique.
Application. Prenons , par exemple, la fonction 2<»* P. Ici, le plus grand exposant est i^ = 3, et la somme des exposants p4~^ + ^+-«' = *- Donc la fonction des coefficients, qui la représente, sera de degré 3, isobarique et de poids 4.
Donc elle sera de la forme
Aa*ja, + Bajûa -|- Ca\ -f- Da^.
Les coefficients numériques A, B, C, D pourront se déterminer de plusieurs manières. On peut se servir des sommes des puissances semblables, si elles sont connues, en y négligeant tous les termes qui seraient d'un degré supérieur à 3, conune on aurait pu le faire dans le cas de la fonction 2a*P*T, traité ci-dessus, si l'on avait connu le théorème en question. On peut encore employer des équations dont les racines soient connues. Ainsi, les équations
a?*— 2=0, a?*— 2a?-fl=0, a^— 3a?*-l-ar+l=0, a?*— 2a?'-[-l=0
nous auraient fourni les équations de condition
d'où A = l, B = — 1, C = — 2, D=4.
Si Ton introduisait de nouveau le coefficient ao, alors 9 deviendrait
[31] 9 = [^) ^^Ca,'' a.'* a,^ a,'» . . . «^%
et Ton pourrait énoncer le théorème précédent sous cette forme :
La fonction q> , par rapport aux coefficients ,est^ à une puissance près de ao, homogène et de degré ir, isobarique et de poids p + q + r . . .
tt.RBMÂRQUB. Si au lieu d'exprimer les fonctions des racines à Taide des coefficients on exprimait les combinaisons des coefficients à Taide des fonctions symétriques des racines, on trouverait des propriétés analogues ; c'est-à-dire, que le plus grand exposant qui figure dans ces fonctions ne peut pas dépasser le nornbre des coefficients qui figurent dans la combinaison^ et que le nombre des racines est au plus égal au poids de la combinaison (*). Cela résulte encore de ce que les coefficients de Téquation proposée sont des fonctions linéaires par rapport aux racines. Ainsi soit
^1 a, a, . . . a^ la combinaison donnée. On aura évidemment, en appellant ir le poids de la combinaison = Ip + 2g[ + 3y'-|- • • • + ^i
^î'^« «3 '(^l =(— I)*(2a)^(2a,aj'(2aiaja8r...(2aia,a8... a/; et comme, au plus dans le développement des produits, chaque racine ne pourra se répéter qu'autant de fois qu'elle se trouve dans chaque 2, et que d'ailleurs par les mêmes raisons d'auparavant les deux membres doivent être isobariques, il en résultera évidemment la propriété énoncée. Ainsi on aura
/ + a, = 2 «lO, — a» = 2 Cl
(») C« théorème est dû à M.' Cayley (v. Philosophical Transactions, 1857); et Ton aurait pû,*toiit aussi bien, en faire dépendre le théorème da N. 5.
— Ûîj = 2 otiCiias
— a^a^ = 2 a*!», + 32 ai^aa
— a3^ = 2 a\ + 3 2 a^a^ +6 2 a^ajO,
a 4 = 20ia,a3a4
«3^1 = 2 a*ia,a8 + 42 «iai«304
a\ = 2 a*iaS + 2 2 a'ia,a3 + 62 aïO^Oja,
a»a\ = 2 a'i», + 22 o*ia% + 52 oSc^aa +122 010,0304
a\ = 2a'i+42«'ia, + 62o\a% + 122a\o,03+242aiO,030,
Il est aisé aussi de voir que, comme les deux membres doivent être isobariques, soit par rapport aux coefficients qu'aux racines, il y aura dans chaque groupe d'équations le même nombre de combinaisons de racines à droite qu'il y a de combinaisons de coefficients à gauche, c'est-à-dire, qu'il y a d'équations. Donc chaque groupe fournit un système d'équations linéaires par rapport aux fonctions <p, propre à déterminer n'importe quelle fonction <p de poids donné.
Ainsi on pourra tirer de là successivement
2aia,08=—Û3> 2a%a,=— «i^j+Sag, 2«'i=— a^+3a^a,— 3^3.
