I. En eliet

soit i^^^p'-g {q premier kp). Gomme, poury'-jr,, la plus haute puissance de p divisant J et r^ — y est la même, la plus haute puissance de p divisant

I =/>p-' .' II]""! -^ — r^ est T,/>p-'-'. Supposons k — i -\- l'^'/i p — i)

et > ( V — i) { p — I )• Gomme k en '2^ p(p — 1), la derniéie inégalité donne

p — V >> — > — d ou s — '. -V, Des lors la seconde égalité (1 ) élevée

à la puissance/??-' donne c^^l'' =1 pour k^'j(p — 1).

Posons maintenant j' = 6,., j: ' è^^-i j; = è/^^-i 6/,(6^-i = f'^J, ). Gomme

A/, 57^ est normal dans G j A/;, on aura k/iX"^.b/,^\x'^— A/^FIj i>Y l^.^^ — A/^ 6^4.1, et, comme tout à l'heure, puisque é,i = cjjj et que G | \/i est de spécialité 5 — /i, A/jc|/;;^~' = A/, pour * — h — i--p{p — i ). En élevant donc à la puissance J/>p-i l'égalité A/i-ij^-'c^-ij/ = A/,, c^, c,,--2, on aura, cj^^^'^ étant dans A/,, A/i^-iC^P^~'^ = A/j i et de même généralement A/^-j cl/'jp^ =: A/,-y.

D'où, en faisan ty == h, s— h — i = k, c|p^~' = 1 pour A" % p( p — 1 )• Mais alors la première égalité (i) où l'on fait u = ^/>P-' donne successivement, pour A = I. 2, . . ., ^-'ca-hi r = c/,4.1. Donc y^P'^~\ permutable à x, est normal dans G et Tj divise ^/>''-*.

2i9. Si G = ^z a un g/Z'-P abélien -A) et si s — 1 '^ r( p — i), tout zP''^ est dans A {et réciproquement si ji = ij.

174 NOTi'; m.

Soit d'al)or(l 9 = i , a:- = c, dans d., )' liors de cli et jk^' cam-, / = c/,^iC/, {A — s — 1, .... i). Les c étaiil peniintables, on aura encore ( i ), r, étant loujouis l'ordre de r niodA. Or ici Tj = />, puisque j'/' esi dans X et que G = «^ ) / j. Donc c//.f' = 1 pour k - p( p — i ) ( ' ), et comme y-^xy =xcg i, xP' est normal.

Si inversement tout zP'' est dans A, la lelation 7'^' c/.^-i j>' = ca-j-iC/,, élevée à la puissance/;'', donnera successivement c/'"^ i = i, .. , 0^''^/,+ ) = i. Supj>osons |)rouvé que Ion a

pour les valeur^ de A inférieures à celle considérée. En élevant la seconde égalité ( 1) à la puissance/?''^'' et en faisant k = s — (h — i) p -h h — 2, ..., s — /?/»-!-//, on o!)tient successivement les égalités (■i) (r^ étant ici égal

à />, /) est la plus haute puissance de p divisant chaque exposant (

i<Cp)- Si alors s — \ était > /( p — i), la première égalité {■i) donnerait, pour /i = /•, t'i = I que/ que soit x, ce qui ne se peut (!216).

Soit fi > 1 et supposons le théorème vrai pour les valeurs de ^ inférieures à celle considérée. -L divise un gp»-' H de G. Soit^ un élément de H; ^Z'''**"'' = a^ = c.v est normal dans H. Soit y un élément de G hors de H et jK"' c/ +1^ = c/,H-i t.'>;(, A" = i' — i, 5 — ■ -i, ...). .r étant normal dans H et y permutable à H, tous les c sont normaux dans H et par suite permutables. Doncj)'/\ étant dans H, est permutable à tous les c, et l'on a encore la seconde égalité (i ) en y remplaçant r^ par p Or on en tire c^ j = i. Donc

arP'' — tl''^ est permutable à y et normal dans G. D'ailleurs, j^'' étant dans il, yi,^-t '■(•(.- \, ^^ jjj^j, suit^j; jr/'''i* est dans A.

(') Soit alors a^, ..., a,^ une base de A», a, étant d'ordre /j'^i^y>*.+i et a,|, = i. Si s'^p, tout commutateur est d'ordre p. Donc C, qui divise ^A>, divise

/ «'j , ...,aP'' ) «t+i» • •■ , «V '• Comme d'ailleuis tout y est dans A, le p. g. c. d. D de A, C, est d'ordre -2^ (a, — i). Donc l'ordre du commutant AC | A de G|A(G3) est = />""''. Donc la spécialité de G|A est - v — t -i- i (134) et s ^ V — t -I- 2. Ainsi s est, ou ^ v — -c -f- 2, ou > p.