SUR LES MATRICES ET LES SYSTÈMES LINÉAIRES

rtMliliro iui\ /-(</() pnMnièrcs équations. Les déler/tiina nts d'ordre n — /■ de la itKilrice h ={bj/,) de type {n — r.n) sont proportionnels aux déterminants correspondants (184) de a.

En eflet soit d\e, diviseur de a ; e = (e,) la toi me normale de « = ^er, = ^r/, ^ et Y) étant deux matrices d'ordres respectifs «, /• et de déterminant ±1 [t] =. {■r^'jj) est une matrice de type (r, n) où 1 ;y = "^i /y ^/ pour ./='• et r;|-, = o pour />/■); 'r" la matrice d'ordre /■ formée des /• premières colonnes de v)'; r/" la matrice d'ordre n produit des matrices composantes r", £„ (\r"\ = ± d); ir = (a-,-/,) une matrice d'ordre n où Xii.-= <iik pour il r et Xii;= '^iic pour iy> r : on aura x = ^r", \x\^=± d.

Comme S/^a/^Xy/, = o (y > /"), X,/ étant le coefficient de .r,/, dans \x{, les systèmes (Xy,, . . . , Xy„ ) (/=:/• -h 1 ,...,/* ) forment // — /■ solutions indépendantes (|a"| 5?= o) de S. Or les déterminants dordre /; — /• de leur matrice sont proporticjunels, d'une part à ceux de b (207), d'autre part, d'après une proposition connue sur les déterminants, aux déterminants correspondants de a.

On observera que, d'après S^ «//.ôy/, = o, les {an, ...,a,„) forment /• solutions indépendantes de Zb//,.r/,^^ o.

209. Étant donnée une niatrire a =(a,/,) de type (/-,/«)(/• <7i), de rdng r et de diviseur d. il est dès lors aisé de trouver toutes les matrices premières a de même type dont les déterminants d'ordie r sont proportionnels à ceux de a. Soit b =^{bji^) la matrice des n — /• solutions indépendantes bj = (bji, ...,bj,i) de ^a//,.r^=o La matrice de /• solutions fondamentales quelconques de 22 6y/,.r/.= o sera une matrice a.

Pour trouver toutes les autres, remarquons d'abord que l'on a a= a^, ^ étant une matrice dordre /• et de déterminant d, complètement déterminée par les équations a//, = S',^/y ay^ (d'après l'hypothèse, les déterminants caractéristiques de chacun des systèmes d'équations répondant à une des r valeurs de i sont nuls et a est première; de plus le diviseur de a^ est dzl^l; donc :jz|^l= d). Si donc a" est une détermination de a, toute autre détermination a sera fournie par a = a"M, u étant une matrice première quelconque d'ordre /•.

210. Cherchons encore toutes les matrices entières a = (a//,) de type (r, n) {r<in), de rani; r et de diviseur d, dont les déterminants d'ordre r soient donnés. Tout d'abord ces déterminants ne peuvent pas être pris arbitrairement. Soit en effet A le déterminant des a,/, où k%r, que je supposerai ^ o, et A/p le déterminant obtenu en y remplaçant la t'*™* colonne par la p"""' ( p > /•) île a. A et les A/p sont indépendants; car, une fois choisis les an, où / - /• de manière que A ait une valeur donnée ?^ o, «ip, . ., a,.p sont déterminés par /• équations ayant pour seconds membres Aip, ..., A;.p et po ur déterminant A'— 1. Ces équations donnent A a/p = ^','«4/; A/^p. Tout autre déteruxinant A' d'ordre /■ obtenu en remplaçant les colonnes i'i, ..., is de A par les colonnes p,, ..., p^ de a (pi, ..., p^- étant > /•)

s'exprime par les /■(« — /■)-}- i drliM-niinnnts A, A,^, car la formule précédente donne A' = =h Ai-'(Ct, (0 étant le (Iciciininaiit des \i,^rj^{lt, k = \ , ....s). W faudra donc que les valeurs données pour les déterminants d'ordre r de a v(''rifienl ces identités, et que celles des A, A/p rendent les A^-'CD cniicrs. Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes, car, en prenant les a,/, coninic tout à l'heure et en les multipliant par A (pour qu'ils soient entiers), i>n ohiiciit d'abord une matrice a' dont les dt-tcrminants ont des valeurs proportionnelles aux valeurs données. Soit a une matrice première de type (/•,«) dont les déterminants d'ordre /• soient proportionmds à ceux d(^ d' (209). Toutes les déterminations de a seront de la forme a =2//, // l'tant une matrice quelconque d'ordre r et de diîterminant ± d.

211. a =:(aii) étant une matrice de type ( r, n) (r < n). de rang r et de diviseur d, cherchons enfin toutes les /natrices entières .^=(.^,7) d'ordre n et de délertninant d dont les r premières lignes sont celles de a. f^e |)roblème se ramène de suite au cas d =^ \ \ car on sait formel' une matrice pi'emière a' de type ir,n} dont les déterminants d'oi'dre /• sont proportionnels à ceux de a (20'.t) : il est clair qu'à chaque matrice .r répondra une matrice x' ayant les mêmes n — /• dernières lignes, résolvant le problème "proposé où a est lemplacé par a' et réciproquement. Soit donc r/ = i. On a trouvé incidemment (208) une (h'termination de t. Pour les avoir toutes, il suffit de connaître toutes les matrices u = ^~'.p, ^ =(^,7,) ('tant une détermination quelconque de x (u est entière de déterminant ± i). Dans ^ ' J7 =: if, les/' premières lignes forment évidemment une matrice diagonale où les éléments diagonaux sont égaux à 1 et les u//, où / et /îsont > /• foi'ment une mati'ice d'ordre n — /' et de déterminant 1. Inversement, si l'on prend pour u une matiiee entière d'ordre n véiifiant ces seules conditions, j- =^ ^u sera une solution du |)roblème.

Congraences linéaires.

212. Le syslènie S des //icongruences linéaires j^,- = ^'} a,/,a;/,-^ a, niod M (i = i, . . ., //i) équivaut au système S' des m équations linéaires à m -+- n inconnues j^,-|- M a7/;i,- =: a/. Soit /' le rang de a =(a,/,): e,- sou i"'""' diviseur élémentaire; tf le p. g. c. d. de e,-, M = t/q/ie,- divisant e,-,,, //divise /,-Hi et //=M pour t > /• ; q, est multiple de <ji^^}\ d, le |). g. c. d. des déterminants d'ordre ide a; A la matrice a complétée par la colonne des «/ ( le rang de A est '^r-^-i.)\ E/. T, D, les nombres jouant relativement à A le rôle de e/, f,, dj relativement à a\ r/' la matrice des coefficients des premiers membres de S' ; e'i, t'j, d'j, A', D'i les éléments jouant relativement à a' le rôle de e,, /,, d,, A, D, relalivement à a. Il est clair (|ue d', est le p. g. c. d. de M*', M'-' r/,, . . . , M <://i, d, : ce p. g. c. d. est /, . . . t,- (cela est clair pour i = i et, si on l.idmet pour i^ p — i, dL sera le p. g. c. d. de M /] . . . /p i, c/p = «1 • • • eç,, c'est-à-dire /, . . . /p).

SIJK LKS MATRICES ET LES SYSTEMES LINEAIRES. I7I

D'après ce qui précède, la condition nt-ccssairc et snt'fisaiitc de lesolubilité de S' est d'abord que le raiii,- de A' soit C(dui de ,'/', condition toujours vérifit'e, puisque le rang de a' est m, et en outre que /, . . . t „, = T] . . . I ,«; condition (|ui se ramène, pour m > n, a t\ . . . t,- — T, . . . T,. ( e, étant niullipie de K, puiscpie (t l'est de A (198), T, divise tj pour i<^r: ti= M pour />/•; T/=:VI p(.ur ?■>/•+!; l'égalité ^, . . . ^,„ = T, . . . T,„ exige <lonc (|ue T,.+ i = M ).

Il est clair que, si .-/'i, ..., x,i est une solution de S, toutes les solutions incongrues mod M sont de la forme X\->f-U\, .... .r„+»„, où ?/,, ....u,, parcourt les solutions incongrues du système obtenu eu reuipiaçaul dans S les a, pai' o.

213. En remplaçant j,- par y'i = Z'l'-r\uyt et en posant xj, — ^'l^/./x'j, <+i= ^T'^ilXa+i, «;•= SÎ'-Ai//a/, i =(i/,,/)i^t -'i = (r,,/) étant deux matrices d'ordres respectifs « et /rt et de déterminant ± (, on obtient un système (S") y'i=za'i oii la matrice des coefficients des x} est \ar^-h Mt„f 1^" choisissant ^ et Tj tels que f «tj r= g = ( g, ), S" devient e,-^',-f- M.r'„^, = «',, x'n^j = o ( i = 1 , . . . , /■ ; y = /• -T- I , ...,//?)•

214. Supposons désormais les a,- nuls, l-a solution générale de S" est ^■'ic = y/. -/. > ^;,+/ = — y -/, '?■«+,/ = o {/■ = 1 ,....//:/- I ,...,/•;,/=',.-• . "t j, les .; étant des entiers arbitraires et <//. = 1 pour/i>/-. On voit que S a <] . . . t II := 'Za solutions incongrues mod i\l.

Supposons en outre que /• = m •< /i, c'est-à-dire que les m premiers membres de S sont linéairement indépendants. Le système S| des ni congruences e/j;J = o mod M équivaut à S moyennant les équations de liansformation a;'/, = S'/ ;/,/a7}. Soient d^, ..., du premiers à M, f//,4-i ne l'étant plus, eest-à-dire /,, ..., tj, égaux a i et //,+i>i. Les solutions de Si seront ./ j^ = o |ioui- 0=1, ...,/', •f'i,^^= (Ji,+fj^i,+a l"*»"' or = 1 , . • ., n — k. (les solutions (x\, . . . ^ x',i)— x forment donc un grou|ie abelien X,'j d'ordre t,,, le produit de deux éléments («1, .... a„J, {Vi, . . . , t\, ,1 étant ( i<i -t- 1^1, . . ., a„-(- i'„ ) (X/j est complètement déterminé par a). Les « — /i éléments x' pour lesquels les x'^ sont tous nuls sauf ;z"/,^(y = g/j+0 sont évidemment des générateurs absolument indépendants et forment une base normale. Donc le rang de X', est n — h.

215. Considérons le transformé X^ de X^, par a/, = S'/ ;A/.ry, loriné des éléments X = (a:-] , . . . , .r„ ) , la loi de composition étant la même. Soit 6(j = ( bn\, . . ., Orra) ( 7 = 1, . . . , v; V = /i — h ) une base de X^ et b la matrice des b^/,, de type (v,«j. X„ divise le groupe A- — ^Xx des M" points X =(37], ...,x,i,) mod M (la loi de composition étant toujours la même), et chaque élément de \x donne un point {yt, . . ., y,,,) mod M distinct,

M" en sorte que le nombre w^ de ces points est — = ll"^j- Les q, étant les

mêmes pour la matrice a transp(isée de a, on a to^j = co-.

Pour que les 6^ forment une base de X^. il faut et il suffit que les points (ri, ..., 3"„) définis pav x/,= 'Z\bfj/,Zrj où z,, ..., :;., parcourent indépendamment des systèmes des restes mod M fournissent t„ points distincts niodiM. c'est-à-dire que Ta=w^=to^.

Comme, par hypothèse, ^fc^i/cb(j/, = o mod M, les m points {'tu, ..., ain) forment autant de solutions de I.b,j/,x/^= o mod M. D'ailleurs, pour ce système comme pour S, on a Mh-:(,=: \I". Donc -z/i^z oj^ et les (an, ..., «,«) forment une base de X/,. Le système I. b^/.x/,-'^ o n)od M est dit adjoint de S.

NOTE m.

Sur certaines propriétés des ffp"-.

216. Les indications données aux n'"' 103-104, 132-139, peuvent être complétées comme il suit (i). Dans toute cette Note, G désignera un gp». (p premier) de série spéciale Ao= i, A.i = A, Aa, . . . , A.,- = G et de commutant G.

Soit H u/i diviseur de G ayant la série spéciale i, Bi. ..., B<=H, et Dj le p. g. c. d. de A,, H. Supposons prouvé que B/i est ^ Dj i (Bi est évidemment ^D,j. Tout élément de Dj étant normal dans G modA,i, l'est dans H modD,i, donc modB/i. Donc B/ est î D/ et tSs.

Soient 37 = Cg, y deux éléments de G et^-' c/.-j' = c/, c/,i (X: = s, s — i, ■•.)• G étant i^A^i, c/. est dans A^t (donc Co= i), et, si c/^= i, c^-i, c/.— 2, ... seront tous égaux, à i. Donc le nombre des c difterents de i est ^s — i. Si G a un gp"--^ abélien c^Id, il y a dans G des éléments x tels que, pour un choix convenable de y (^évidemment hors de cAo), c^ soit toujours hors de A>t i. Gela est clair si 5 = 2. Supposons-le vrai pour les valeurs de s moindres que celle considérée, et soient A:r, Ky deux éléments de G|A tels que A^-' c/.j^ = AcaC/i-i, Aca étant hors de Aa.i|A pour A" ^2. Ci étant hors de A ne peut être permutable 'A y, car il serait normal dans 0A9 \y\ = G. Donc y^'^ c-iy = c^Cx^ Ci étant ^ i.

217. La spécialité t^ de C est ^js. En efl'et, soient t, la spécialité du commutant A/G|Ajde G|A,(G3); Eo=i, Ei, ..., E/^ = C la série spé-

(') FiTE, h. S. M. A., l. L\, p. i'|0 (1902); l. X, p. 346 (1904;

SUR CERTAINES PROPRIETES DES G/j».

ciale de G; D K; p. g. c. tl. de A2, C. Le groupe AjCj Ao esl isonioiplie -^ ^ - ( tout éléincnl de Ao esl perimiLablt- à tout élément de C).

un élément E^ 1 D.Da;' de

Or D est S Ej. Donc à cliaque élément EiX normal de G | E/ (i = i) ié|)ond G I E,-

et réciproquement. Donc la série spéciale

de C| D est i, Ej | D(^ i), E2I D, ... et ^2= ^u ou ^0 - 1 • iJe même tiSti^-> -+- 1. En ajoutant celles de ces inégalités où i est pair et en observant que ^i.2 = ^i 3 = 1 (94j. on obtient Iq^^s.

1218. Si G est abélien et si s — i -î r(p — i), L'ordre de ehaque générateur de G\ \- divise le produit de l'ordre de cliaque autre générateur par /)'■"'. Soient en elTet x = Cg, y deux éléments de G d'ordres ^, Tj modA respectivement tt y~^ c/^^xy = c'^^-l c^ ( A- ^ v — 1, s — 2, . . .;. On aura

(I) 7-"c/,+ ,7"= H;'ca.,+ i et, pour a = r^, Il ,' c/,.,-^! = 1.

En faisant A=: i , ...,/> — 1 on obtient successivement c[' ^ 1 , c^)-\ = i-

Supposons prouvé que, pour les valeurs de k intérieures a celle considérée,

on a c^.''

i si k - p (p — I}. Je dis d'abord que C/..^^'^