Y;, — (2m — 1) (P — 1) on doit donc avoir

2J' — Y/ — (2m — 1) (P — 1) ^ /■ + 1 ou

Voilà donc la limite inférieure cherchée du nombre ./'.

Maintenant nous allons pouvoir résoudre une question importante (jui se pose tout naturellement. Nous aNons vu que toutes les expressions

Méiiiiiiiv sur les Fonctions Fuclisicnncs. 269

de l;i forme [[')) ijiii ii\)iit pus d'iiitin'u-; ]K'Uvoiit :^"e.\[iriiiR'i- liiiôaircint'ut k

l'aidt' de 7/ + {2»i — 1)(/^ — 1) dentre elles. Les séries tliétai'iiehsicn-

lies de la Ibniie (-4) § 1 et de la 2''° esi)èce pouvant toutes se mettre sous la forme (6) pourront donc s'exprimer linéairement à l'aide de

^ / + (2/« — ^){i' — 1) J'entre elles. Mais nous ne savons pas encore

si toutes les expressions de la forme (6) qui n'ont pas d'infinis peuvent s'exprimer par une série (4) § 1. Dans le cas où il n'en serait pas ainsi, toutes les séries de la forme (4) § 1 et de la 2''"' espèce, s'exprimeraient

linéairement à l'aide de > / + (2j« — 1)(P — 1) — 1 d'entre elles. Je

mÊÊÀ

vais démontrer que cette hypothèse est impossible.

En effet, nous avons vu dans le paragraphe précédent (pages 244 sq) que si toutes les séries de la forme (4) § 1 et de la 2'*' espèce s'expriment linéairement ;i l'aide de q — 1 d'entre elles on pourrait construire une fonction

F{2) réprésentant une fonction fuchsienne de z admettant q infinis donnés et n'en admettant aucun autre. Donc si l'hypothèse faite au début était

possible, on pourrait construire ime fonction .l(^) admettant J' ^ N / +

-\- {2i)i — 1)(^ — 1) infinis donnés et n'en admettant aucun autre. Le nombre J' ne satisferait pas alors à l'inégalité (9) ce qui est contraire à ce qu'on a vu plus haut.

En conséquence, toute expression de la forme (6) (|ui n'a pas d'infinis peut se mettre sous la forme d'une série (4) § 1 de la 2''' espèce; donc toute expression de la forme (6) avec ou sans infinis, pourra se mettre sous ht forme d'une série (4) § 1 de la 1"" ou de la 2""° espèces.

Passons à une propriété importante des fonctions de la forme A{z). Ces fonctions auront toujours une infinité d'infinis; soient z^, ^j, .... 2^ ... . ces infinis, que nous supposerons tous simples pour fixer les idées, A^ , A^, Ai, les résidus correspondants. Soit ç{z) une fonction rationnelle n'ayant pas d'infinis k l'intérieur du cercle fondamental. On aura identiquement:

270 H. Poinearé.

Cela se dcniontre de la iiièine inaiiière (juc dntis le paragraphe précédent; la première démonstration peut se réjiéter sans qu'on y change un mot; la seconde demanderait pour être appliquée quehjues mcKlifications légères.

Les divers termes du second membre de l'identité précédente peuvent être groupés d'une manière plus avantageuse. Soient en effet q le nombre des infinis distincts de /l(^); z^, z.^, ... z^ ces infinis; A^, A^, ... A^ les résidus correspondants, nous pourrons écrire:

2, j — ;r I les di-

verses substitutions du groupe G. En difterentiant la relation (10) 2m — 1 fois par rapport à z, on arrive à une formule tout à fait analogue à la formule (16) du paragraphe précédent. Le premier membre est une expi-ession de la forme (6) et le second membre est une série de la forme (4) § 1.

g 7^ ;gme FuinUle; genre 0.

Considérons un polygone i?„ dont les sommets, au nombre de 2n, sont tous situés sur le cercle fondamental et dont les côtés sont des arcs de cercle coupant orthogonalement le cercle fondamental. Tous les angles de notre polygone sont donc formés par deux arcs de cercle tangents l'un à l'autre et par conséquent, il sont tous nuls. Je supposerai que les côtés de rang j) et 2n -\- \ — j) sont conjugués; les cycles seront alors au nombre de « + 1) dont deux formés d'un seul sommet, le premier du sommet de rang 1; le second du sommet de rang n -\- \. Les n — 1 autres cycles seront formés de deux sommets, à savoir des sommets de rang 2^ et 2n + 2 — j>.

J'appelle *S'^, la substitution qui change le côté de rang p en celui

de rang 2n + ] — p. Nous aurons ainsi n substitutions S\, S^, S„

qui seront les substitutions fondamentales de notre groupe G.

Mémoire sur les Fonctions Fuclisiennes. 271

Je définis ensuite les substitution-; S\ S'„ par )es égalités

suivantes :

et je pose pour plus de symétrie dans les notations:

J'appelle maintenant a, le sommet de rang /; il est clair que ot, sera l'un des points doubles de 5',. Je supposerai que les n + 1 substitutions

S\, S\, 5'„4., sont paraboliques. Cela ne serait pas possible si les

2h points et, étaient choisis arbitrairement sur le cercle fondamental. Il faut qu'il y ait entre eux la relation:

= (a:i «•)) («5 «4) («2;. + l f^-lf] (»\ «2/.)

Dans ces conditions notre polygone R^ est du genre 0 et du 1"'' ordre de la 2'''' famille; notre groupe G et les fonctions fuchsionnes qui en dérivent sont du genre 0 et de la 2'* famille. Nous poiuTons, comme dans le § 5, choisir parmi ces fonctions fuchsiennes une d'entre elles que j'appellerai ./• = f(z) et en fonction de laquelle toutes les autres s'expriment rationnellement. Pour achever de la définir, je supposerai que l'on a:

f{aj = 0 yia,) = 1 /{«„+,) = œ

Je poserai en outre comme dans le § 5

d'où

Si l'on pose

dx dz

V satisfait à une équation linéaire:

(3 bis) 'P,= n-^

dx

272 H. Poineaié.

c(.r) étant rationnel en x. Quelle est ici In forme de la fonction ç{r)? On trouve aisément:

Q{x) étant le produit {.r — «,) (.r — n^) (.r — a,,) et P(.r) étant un polynôme entier de degré 2n — 2. Le polynôme P{t) doit satisfaire aux conditions suivantes :

coefficient de x-"~- dans P(.j) = — -^

Ces conditions ne sont pas suffisantes pour que x soit une fonction fuchsienne du rapport des intégrales de l'équation (3 l)is). Il faut en outre assujettir F{x) à 2n — 4 conditions transcendantes.

Nous démontrerons dans nn autre mémoire que l'on peut toujom's choisir le groupe G de telle sorte que les nombres ft, , r/., , .... a,, aient des valeurs données quelconques.

Dans le cas particulier où le polygone 7?,, est symétrique par rapport au cercle qui joint otj à «„+i en coupant orthogonalement le cercle fondamental, les coefficients de la fonction rationnelle ç{x) sont tous réels.

Si de plus n = 2; fiz) se réduit à la fonction modulaire A•^ . Voyons comment se comportent les intégrales de l'équation (3 bis) dans le voisinage de l'un des points singuliers ft, , tr^, .... a„. Les intégrales seront réffidières et logarithmiques, pour employer les expressions de M. Fucus et de ses disciples. Les deux racines de l'équation déterminante

seront ^•, de telle sorte que les intégrales pourront se mettre sous la lormc:

y, = {x — a,Y[P, -f Q, log (x — a,)] et

■y, = (.'• — n^i'Qi

Pj et Qi étant des fonctions holomorphes en x — «, dont la 1 '"'■'' s'annule et la 2""" ne s'annule pas pour x = r/,.

>[L'miiiio sur Io« Fonctions Fuchsiennos. 273

Pour .*• = ce, on a de iiu'ine:

V, = x\P„+i + Q„+i\ogx)v,

J\i+i "^^ Qn+i étant des fonctions holomorphcs on —, dont la prcmirro

s'annule et la seconde ne sannule pas pour r =: oo.

Exprimons maintenant dans le voisinage de chacun de ces points singuliers, z on fonction de .r. On devra avoir dans le voisinage de x ^^ a,:

, = ^-Q' +/4<?.log(^ — q.) + Pi]

/'Ç. + /t'IQi log {X — ff.) + Pi]

l, 11, ).'. fi étant des constantes convenablement choisies. Supposons que la substitution *S", s'écrive

et posons :

exprimons ensuite que s se réduit à (Xi pour r = o- et subit la substitution S\ quand log (.r — a^ se change en log (:r — «,) + 'IrrY — 1. Xous verrons que la relation qui précède peut s'écrire:

-^1^ = P', + log- (,.■ - «,)

P', étant une fonction holomorphe en .r — a^. On tire de là:

Ç', étant une fonction holomorphe en (r — r/,); le développement de Q\ suivant les puissances de (r — a,) commence par un terme en (x — a,) dont le coefficient ne peut jamais être nul. On tire de là :

,r = a, + 0i(ti)

0i désignant une fonction holomorphe en /, et dont le développement suivant les puissances de cette variable commence par ini terme du 1"

Acfft tnathfntatica. T. 35

274 H. Poincait!.

degré dont le eoëffieieiit n'est jamais nul. Telle est la forme de l'expression de x en fonction de z dans le voisinage du point singulier x = ft,. De même dans le voisinage de z = a„^i, x = co, on aura:

(Z*,,^, désigne une fonction holomorphe en /„^, et son développement suivant les puissances de cette variable commence par un terme du 1" degré cpii n'est jamais nul. On peut encore écrire la relation précédente sous la forme:

fn + l

'/'' désignant une fonction holomorphe de ^„^] ne s'annulant pas avec cette variable. Quant à la dérivée -r- , elle pourra se mettre sous une forme analogue. Dans le voisinage de z ^= n,, on aura:

<I>\ étant une fonction holomorphe de /, qui ne s'annule pas avec cette variable. De même dans le voisinage de ,î :=^ 3t„ + i> <^ii îiura:

dx 1 r(/„ + ,)

dz {z «n + l)'. tn

W désignant une fonction holomorphe de ^„^, ne s'annulant pas avec cette variable.

Passons maintenant à l'étude des fonctions thétafuchsiennes.

Toute fonction représentée par une série de la forme (4) § 1 pourra toujours se mettre sous la forme suivante

F désignant une fonction rationnelle de r. Mais la réciproque n'est pas vraie. En effet nous avons vu au § 2 que toute série de la forme (4) § 1, peut dans le voisinage de z --■- cl^ se mettre sous la forme:

Mémoire sur les Fonctions Fuchsicnncs.

R désignaur nue iuiictiou holouiorplu' de (, qui &'ii.iiiulf avec cette variable. Il en résulte que pour x — «,, la fonction (,r — ff,)"'F(.r) doit s'annuler et (jue quand x augmente indéfiniment, x"'F{x) doit tendre vers 0. Telles sont les conditions nécessaires auxquelles doit satisfaire l'expression (2) pour pouvoir représenter une série de la forme (4) § 1.

Nous les appellerons les conditions A.

Supposons maintenant que la fonction (2) n'admette pas diuHni à l'intérieur du cercle fondamental. F{ji-) devra être de la forme:

//(./•) désignant un polynôme entier en .r. Mais à caiise des conditions A, les nombres /, , /j, .... ?.„ sont au plus égaux à m — 1 et le degré de n{x) au plus égal à n(m — 1) — m — 1. Par conséquent toutes les séries thétafuchsiennes de la forme (4-) § 1 et de la 2''° espèce s'expriment linéairement au moyen de «(»« — 1) — m d'entre elles.

Mais nous ne savons pas encore si toute expression de la forme (2) n'avant pas d'infini et satisfaisant aux conditions A peut se mettre sous la forme d'une série (4) § 1 ; ni par conséquent si toutes les séries de cette forme et de la 2^^ espèce ne peuvent pas s'exprimer linéairement à l'aide de «(wj — 1 ) — »? — 1 d'entre elles.

Pour reconnaître s'il en est ainsi, considérons une fonction de la forme:

F désignant une fonction rationnelle et cherchons quel est le minimum du nombre J' de ses infinis distincts, à supposer qu'elle tende vers 0 quand s tend vers et,.

^ous pourrons écrire:

n{x) et 0{x) désignant deux polynômes en ,)■. Pour que yl(--) tende vers 0 quand z tend vers a,, il faut et il suffit que

27G H. Poincaié.

<?(«,), <t>i.a,) <I>{an)

ne soient pas nuls et ([ue le degré du lunnérateur surpasse au plus de m ■ — 1 celui du dénominateur. Or le degré de 'P(.r) est le nombre </' des infinis distincts de 'A{z). On a donc:

Je dis alors qu'il est impossible d'exprimer linéairement toutes les séries de la forme (4) § 1 et de la 2''" espèce à l'aide de n[m — 1) — m — 1 d'entre elles; car, si cela avait lieu, on pourrait construire une fonction de la forme A{z) ayant n[m — 1) — m infinis distincts, ce qui ne se peut pas comme nous venons de le voir. On en conclura donc (comme dans les deux paragraphes précédents) c^ue toute expression de la forme (2) satisfaisant aux conditions A peut être exprimée par une série de la forme (4) § 1.

La formule (10) du paragraphe précédent s'applic^ue aussi aux fonctions c\\\\ nous occupent. On la démontrerait comme dans les deux paragraphes précédents; la première démonstration demanderait quelques modifications légères, la seconde peut s'appliquer sans qu'on y change rien. Toutes les conséquences que nous avons déduites de cette formule (10) dans les deux paragraphes précédents, et entre autres la formule (16) du § 5, sont encore vraies dans le cas qui nous occupe.

On voit aisément comment on étendrait les principes qui précèdent aux fonctions de la 2'"' et de la G"" familles et de genre quelconque.

Nous pouvons donc passer à l'étude des fonctions fuchsiennes qui existent dans toute l'étendue du plan.

§ 8. 5'»e Famine.

Parmi celles-ci les plus simples sont celles de la S'"" famille dont nous allons parler d'abord.

Supposons c[u'on nous donne n paires de cercles (c^ et c\), [c^ et c'J,

{€„ et c'„).

Je suppose que ces 2k cercles soient tous extérieurs les uns aux autres, qu'ils coupent orthogonalement le cercle fondamental et soient par

Mt'iimirc sur los Fiinctions Fuchsienncs. 277

conséquent synK'tri(|UC's par rapport à ce cercle. -le snp[)OSL' rpie l'on considère n substitutions S^, S.^, .... S„, telles ipie .V tout en conservant le cercle fondamental change c\ en c',. Le groupe dérivé des substitutions Si sera un groupe fuchsien G dont le polygone générateur B^ se composera de la partie du plan qui est intérieure au cercle fondamental et extérieure aux divers cercles c et c'. Le polygone R^ aura 2» côtés de la r'" sorte, formés par les arcs des cercles c et c' intérieurs au cercle fondamental et 2m côtés de la 2'''^ sorte formés par les arcs du cercle fondamental extérieurs aux ditïércnts cercles c et c'. Tous les sommets de Rg sont de la 3"" catégorie. Quant au polygone lî'^, symétri(|ue de jf?p par rapport au cercle fondamental, ce sera la partie du plan qui est extérieure à la fois au cercle fondamental et aux cercles c et c'. Le groupe G et par conséquent les fonctions fuchsiennes qui eu dérivent seront de la 3"" famille et du «renre n.

Toutes ces fonctions fuchsiennes pourront s'exprimer ratioimellement à l'aide de deux d'entre elles que j'appellerai .r et // et entre les(pielles il j' aura une relation algébri(|ue de genre n:

Si l'on pose de plus

»-Vè

dz

la ffinction v satisfera à l'équation (3) du § i, à savoir:

(f étant rationnel en x et en y.

Le groupe G ne dépendant (pie de 3« — 3 paramètres réels distincts, on ne peut en disposer de manière que la relation <p{.r, .?/) = 0 soit quelconque. Combien, en effet, reste-t-il de paramètres arbitraires dans une relation algébrique de genre n:

lorsqu'on convient de ne pas regarder comme distinctes de cette relation celles que l'on en déduit en ij remplaçant x et ij par des fonctions ration-

278 H. Poincarc.

iielles de ./•' et de ij'. On sait (ju'il reste 'in — 8 punimètres (jue l'on appelle les modules de la relation (1) et qui sont pour ainsi dire des invariants à Tégard de eette relation et des opérations qui consistent à y remplacer .r et y par des fonctions rationnelles de x' et y'. En nous proposant d'obtenir entre nos deux fonctions fuchsieinies x et // une relation algébrique donnée, nous nous imposons donc 3w — 8 conditions complexes qui équivalent à Ow — 6 conditions réelles. Ce nombre surpasse de 3h — 3 celui des paramètres dont nous disposons. Ainsi le premier membre de la relatiim (1) est assujetti à 'in — 3 conditions réelles, il est aisé de les trouver.

En effet, on peut supposer. Cj[ue Ion fasse une opération qui consiste à changer s en son symétrique par rapport au cercle fondamental. Cela revient à changer ^ — 1 en — y — 1 et à faire ensuite un changement linéaire de variable. On change ainsi R^ en It\ et réciproquement de sorte que le groupe G et le système des fonctions fuchsiennes c^ui en dérivent ne changent pas. Les 8» — 3 modules de la relation (1) ne changent donc pas non plus. Mais quand on a changé y— -1 en — V — 1 , ces modules ont dû se changer en leurs imaginaires conjugués; puis, quand on a fait un changement linéaire de variable, ils n'ont pas changé. Par conséquent les 3n — 3 modales de la relation (1) ne différent pas de leurs imaginaires conjugués, (7s sont donc réels.

Il en résulte qu'on pourra toujours choisir x et y parmi les fonctions fuchsiennes dérivées du groupe G de telle sorte que tons les coefficients de la relation (1) soient réels. Alors les coefficients de ç{x, y) seront aussi tous réels.

Je suppose de plus (jue l'on ait choisi x et y, ce qui est toujours possible, de façon que la relation (1) satisfasse aux conditions que nous avons imposées à la relation (1) du § 6, au commencement de ce paragraphe (page 255).

Cela posé, la fonction ç(,''. y) satisfera aux conditions suivantes:

1" Quand ,(■ devient infiniment grand du 1" ordre, elle devient infiniment petite du i" ordre.

2° Les seuls infinis de la fonction ^'(.r, y) seront les points singuliers de la fonction y de ,r, définie par la relation (1) en n'y comprenant pas les points doubles de la courbe algébrique ^''(.r, y) = 0. Si l'un de ces points est x = a, y = h, on aura:

Mémoire sur les Fonctions Fuclisienncs. 270

liiu. (// — ^)M ^ I fK.»-, .)/) = —

|)oiir X = a, y == h.

Ces conditions qni, on le renifirqnora, sont les mêmes rjne relies que iKJUS avions trouvées d-ans le premier exemple, exiiminé an § {'), ne suffisent pas [)()iir déterminer la foiietion rationnelle ç{x, y). Cell(i-ci est en outre assujettie à n conditions transcendantes. Voici sous quelle forme on peut présenter ces conditions transcendantes:

La fonction ç{x, //) devra être choisie de telle sorte qu'en faisant décrire au point analytiipie (,r, //) n cycles convenablement choisis (correspondant à H périodes convenablement choisies d'une intégrale abélienne de l'"''' espèce j g{x, y)dx) on voie revenir les intégrales de l'équation (8) à leurs valeurs initiales.

Passons maintenant à l'étude des séries thétafuchsiennes:

c'est à dire à l'étude des séries de la forme (4) § 1, et d'abord cherchons comment il peut arriver que la fonction définie par cette séri(> ne présente aucun infini en dehors des points singuliers essentiels.

En général la série ft[z) admet comme infinis, ainsi qu'on l'a vu au § 3: r les points correspondants du point oc, c'est à dire les points

les infinis de la fonction H{z) et les points correspondants. Supposons pour fixer les idées que la fonction H{z) ne devienne

infinie pour aucun des points —'^. Quelle est d'abord la condition pour

que les points — :7 ne soient pas des infinis de «(,'•)? Pour cela, il faut

et il suffit que le degré du dénominateur de la fonction rationnelle II{z) surpasse de 2m unités celui du numérateur.

Considérons maintenant un infini « de la fonction H{z) ellc-iM(''me. Dans la série R{.z), le terme

280 H. Poincaré.

(correspondant à et, = 1, o, = 1, /9, = 0, ;-, = 0, c'est à dire à la sub^;titution nnité) deviendra infini pour 2 = a. Pour que S{z) reste fini i>our z = a, il faut donc qu'un autre ternie de cette série devienne infini, de façon c|ue la somme de ces deux ternies (qui séparément croissent indéfiniment quand s tend vers «) tende au contraire vers une limite finie, il faut pour cela cjue parmi les infinis de H{z) il y en ait un autre s = h, tel que:

aa + /?

"~ ya + >)

2, ; — ^ étant une des substitutions du groupe (t. Il est clair aiors

que le terme:

deviendra infini pour â = a. Mais il faut que la somme de ce terme (>t du terme H{z) reste finie pour z = (i. Soient donc A et B les résidus de H{£) cpii correspondent à x" = « et ^ ^= h. On aura:

Il'{z) et IJ\{z) étant- des fonctions rationnelles de z qui restent finies pour s = a. ()ii devra donc avoir:

A + Biya + fif-^'" = 0

Telles sont les deux conditions nécessaires et suffisantes pour que (-l[i) reste fini pour ^ = a et par conséquent aussi pour les points corresjioiulants.

Cela posé, voici comment il faudra s'y prendre pour construire une fonction 9{;z) cpii n'admette aucun infini. Prenons une fonction rationnelle H(z) admettant 2/i infinis a^, b^, a^, h^, rr, , /^, , ff^,, h^,, et

ayant pour résidus correspondants A^. B^, yl.^, 7? ^ , A.^, /?,, , A^,, B^,.

Mémoire sur los Ponctions Puchsienncs. 281

Je suppose de plus que l'on ;iit:

I, ^ «.«1 + A ,, ^ «a«i + A ^ ^ apCp + fip

' r/'i + '', ' ' -/-/', + «". ' ' " rpf'p + ^P

( a,z+ ,%\ I a,z + i3,\ ( a,z + ft,\

étant jj substitutions du groupe G. d'assujettis de plus les 2p résidus à deux systèmes de conditions. D'abord:

^1 + /?! + A., + Bj + + A,, + B,, = 0

Aini + Bihi + A.oo + B.h + + A,,ap + B,\ = 0

Ain'i + Bih\ + A-iol + Bihl + + Apo; + B^b], = 0

4 2m— 2 , Tj 7 2m— 2 , , , 2m— 2 , t. 7 2m— 2 ^

pour que le degré du dénominateur de T-/(z) surpasse de 2iii unités celui du numérateur. Ensuite:

A, + B,(na, + rî, )'--"• = 0 (Z- = 1, 2, ....... p)

ptjur c[ue a^. et h,, ne soient pas dos infinis de H{z).

Ces jj -)- 2)» — 1 conditions seront compatibles pourvu que:

et si elles sont remplies, la série 0{s) formée à l'aide de la fonction rationnelle

^\z — at z— btj

n'aura aucun infini. Je dirai alors qu'elle est de la 2''^ espèce, de sorte que nous avons ici, comme dans les trois paragraphes précédents, la distinction entre les deux espèces de séries thétafuchsiennes.

Acta mathematica. I. 30

282 H. Poincaré.

Tonte série de la forme 6{z), h quelque espèce qu'elle appartienne, peut se mettre sous la forme

ldx\"

F{.r, ji) désignant une fonction rationnelle d'.r et d'/y. Celles des fonctions de la forme (2) (|ui n'admettent pas d'intinis, s'expriment linéairement, ainsi qu'on l'a vu au § 6, à l'aide de (2m — 1)(« — 1) d'entre elles. Il résulte de là que toutes les séries S{z) de la 2''' espèce s'expriment linéairement à l'aide de (2>w — \)[n — 1) d'entre elles. Il nous reste à démontrer, comme dans les trois paragraphes précédents, fpi'il est impossible de les exprimer linéairement à l'aide de {2in — 1)(« — 1) — 1 d'entre elles. Posons pour abréger:

Supposons que toutes les séries 9[z) de la 2''^ espèce puissent s'exprimer linéairement à l'aide de q — 1 d'entre elles que j'appellerai (-^^ , B.^, ^,-i; je vais montrer que cette hypothèse est absurde.

En effet choisissons nu hasard q points, ^, , s^, .... ^,; on pourra toujours trouver q nombres A^, A^, .... A^ tels que:

A^e.izi) + A,9,(z-2) + + /l,0i(«,) = O

jU 9-2{zi) + A, 0.2(«2) + + A, 0,{z,) = 0

Ax 0,i(«,) + A. 0,^i{z,) + + Aç 9,x{z,) = 0

et par conséquent tels que:

(5) A, e{z,) + Ai e{zo) + + A, 6(z,) = 0

ft{z) désignant une série quelconque de la forme (4) § l et de la 2''" espèce.

Soit ]) un nombre entier plus petit que 2m. Je pourrai toujours

former une fonction ^^,(,?) qui satisfasse aux conditions suivantes: elle

n'ailiiictti'a d'auti-r infini (jue les points z = — — ; ces inliiiis seront d'oi-drc

^Irni:iiro i-\ir les Fonolinns I'"uclisicnncs. 28ÎH

2in — p. Dans res conditions k' jioint z -^ c^ n'est pas un infini i\v iidIi'c fonction âi{z), c'est pour elle un zéro d'ordre i^. Je suppose (jue:

lim. z''Oj,{z) = 1 pour ^ = CC

lim. 3-"'^'"''[«''*'y(«) — l] = *' P*'"'' •S = CO

Ces conditions ne suffisent pas pour définir complètement la fonction â[z), car si 8{z) est une série de la forme (4) § 1 et de la 2''" es[)èce, ^ji~) "I" ^{^) y S'^tisfera comme âj,{z). Mais nous choisirons poiu* notre fonction âp{£) une quelconque des séries de la forme (-Ij § 1, qui satisfont aux conditions énoncées.

Considérons une série quelconque de la forme (4) § 1 et de la 1*^^" espèce.

Supposons (juc la partie entière de la fonction rationnelle

z'"'H{z) se réduise à:

on verra aisément que le point s ^ oo est pour la lonction tliétafuchsienne

V'<a) — B,0^(z) — BiHi{z) — B.M^} — — B,,„H.,,„(z)

un zéro d'ordre 2ni au moins et par conséquent que cette fonction tliétafuchsienne ne devient pas infinie pour z = — - . Cela posé, envisageons la fonction suivante

284 H. Poincaré.

Considérée comme fonction de 2, elle n'a d'autres infinis que les points

c'est à dire les points correspondants de a.

Considéi'ée comme fonction de a, c'est une série thétafuchsienne et elle admet comme infinis:

1° les points «= "'^ "^ ' ' , c'est à dire les points correspondants de ^.

2° les points a = — -, c'est à dire les p(nnts correspondants de

a = oo. Ces points sont des infinis d'ordre 2ih — 1 . Quant au point a = oo lui-même, c'est pour notre série un zéro du premier ordre. Clierehons la partie entière de la fonction rationnelle

nous trouverons:

On en conclut que la fonction thétafuchsienne:

i2(2, a) = (Piz, a) + z-"'~'t),ia) + z""'-ffi(a) + + zH-j,„.,{<i) + H->,n-i{a)

n'admet pas comme infinis les points a = — -.

En conséquence elle n'aura d'autre infini (|ac les points

rr^ + 0.

le résidu correspondant sera:

— (n« + Oi)

Soit (z '"M une substitution quelconque de notre groupe G. V ' r» + o) La fonction:

Méiiloiro sur k» Fonctions Fuclisionnos. 285

sera coimiio t.i{z, a) une fonction thétafuchsicnnc d« ^f; cllu u'aduiottra connue elle d'autre infini que les puiiits

«|2 + /îi

et avec les iiionies résidus; donc, on pourra écrire:

fi[(i) désignanf une i'onction thétafuchsienne de a, susceptible d'être mise sous la forme (4^) § 1 et de la 2'''' espèce. Posons maintenant:

(7) A{z) = AJi{z, 2.) + AJi{z, z.;)+ + A,,Q{z, z.,)

En rapprochant les équations (5), (G) et (7) on trouve aisément l'identité suivante:

qui a lieu pour toutes les substitutions |«, "'' ' \ du groupe G. Il suit

de là que ,i(^) peut se mettre sous la forme:

F(:r; il) désignant une fonction rationnelle de ,r et de //. Or la fonction

.I(^) admet q intinis distincts s^, z.^, z,^, (jui ont été choisis au hasard,

et n'en admet pas d'autre à distance tinie. Un pourrait donc construire une fonction de la forme (S) admettant q intinis donnés et n'en admettant pas d'autre. Ur nous avons vu au § 6 i[ue cela était impossible. Donc l'hypothèse faite au début était absurde.

On en conclut comme dans les trois paragraphes précédents: 1° que toutes les séries de la forme (4) § 1 et de la 2'''' espèce ne peuvent s'exprimer linéairement à l'aide àa q — 1 d'entre elles.

286 H. Poiiîcaré.

2" que toute expression de lu ionue ('Jj qui lùi pas (i'iiiliui> peut se mettre sous la lornie (4) § 1.

3° que toute expression de la tornie (2) peut être exprimée par une série de la forme (4) § 1 (pourvu (jue m > 1).

4° que toute fonction fuchsienne peut être égalée d'une infinité de manières au quotient de deux séries de la forme (4) § 1.

Considérons la fonction:

Supposons quelle admette une iniinité d'infinis z^ , x.,, z,,,

avec les résidus A^, A^, A,,, Suppcjsons de plus (|ue l'on ait:

A{z) = Bn-J' + i'.-i/"' + +B^z + A^{z)

A^[z) tendant vers une limite finie quand z croit indéfiniment. On aura identiquement:

Cette identité se démontre de deux manières comme l'identité correspondante du § 5.

Un cas particulier bien remarquable est celui de m = 1.

Dans ce cas les substitutions du groupe G se réduisent à:

\cz + d' cz + d)

n, h, c, d étant des constantes, K étant un nombre réel positit et plus grand que 1, et l'exposant p pouvant prendre dans les diverses substitutions toutes les valeurs entières positives ou négatives.

Voici comment on peut former les fonctions fuchsiennes dans le cas qui nous occupe. Soit f{ç) une fonction doublement périodique admettant

les périodes 2/~ et \o"^ K. La transcendante /"lloçl^'^ ^1 sera alors

une fonction fuchsienne.

Mdnioiro sur les Fonctions Fuchsiennos. 287

Posons par exeinplc:

/ nz + b\ ( az + h\ ( nz + h\

.(• = Sn I loo; r I . // = cil I lOO- I I II 1 logr I

Les expressions de la forme

pourront s'écrire:

•' \ " cz + d)

(oz + h)"\,-z + d)"

f{ç) (lésio;nant. toujours une fonction doublement périodique.

Les séries 8[z) de la forme (4) § 1 deviendront ilautre part;

' V cz +d)

^i {cz + dy

(S étant l'alfïorithme d'une fonction rationnelle.

Egalons les expressions (10) et (11) et faisons y

az + h :

cz + d

il viendra :

On obtient ainsi le développement d'une fonction doublement périodique de c suivant une série dont les termes sont des fonctions rationnelles de e\ Si au lieu de f, on avait pris pour variable indépendante 7j = ç V — 1, le premier membre serait une fonction doublement périodique de )j, et dans la série du second membre, tous les termes seraient des fonctions rationnelles de sin rj et cos jy. Nous retrouvons par une voie détournée un résultat auquel Jacobi est parvenu directement et d'où il a tiré tant de belles conséquences.

288 H. Poincaré.

Voyons maintenant ce que devient la formule (9) clans le cas particulier qui nous occupe.

On a:

f{$) étant toujours une fonction doublement périodique.

On a d'autre part dans lé second membre:

1" un polynôme du degré h en s; mais il est aisé de voir (]ue dans le cas général, c'est à dire à moins que:

le degré h ne peut dépasser 2ni — 2. On peut donc le regarder comme un polynôme homogène de degré 2m — 2 en {az -f ^) ^^ {c~ + ^0- ^' on le divise par {az + h)'"''^ {rz + d)"'^\ il prendra la forme suivante:

P„, et P',„i désignant des polynômes de degré m — 1 en e" et en e~^. 2° Un ensemble de termes > — que l'on peut grouper de la façon

suivante; soient 2, , z^, /-,, les q infinis distincts de ;1(^~) et supposons

qu'il n'y en ait pas d'autre; soient A^, A^, A,, les résidus correspondants; soient $^, ^.,, ç, les valeurs correspondantes de f. Groupons ensemble tous les termes de la forme - — - — qui correspondent à des

Z Zt

infinis qui ne sont pas distincts de 0 = s^,. Leur somme sera:

^-'i[cK e P — a) e — K e ''

Comme on a d'autre part:

(rt« + h) [cz + d) = e (ce — a)

on trouvera pour la fonction doublement périodique f{z) l'expression suivante

Mémoire sur les Fonctinns Kuclisiennos. 289

0 = 1 1 = — se > '

§ U. ô'"« Famille: tjeure 0.

Je crois inutile de multiplier davantage les exemples. Ceux que j'ai étudiés jusqu'ici suffisent en effet pour faire voir comment on doit appliquer les principes généraux à cha([ue cas particulier.

Je veux cependant, sans traiter complètement les questions ([ui les concernent, dire quelques mots de certaines fonctions remarquables de la ô"" famille.

Considérons un polygone B^ limité de la façon suivante: Il aura 2« côt«s de la T'* sorte et 1 côté de la 2'^'' sorte; je suppose que ses sommets soient en suivant le périmètre dans le sens positif a^, <x^, a^,

«nj ««+0 «n+î, ot.,„. Je suppose que le côté ct„c(„^.l soit de la 2'"*

sorte et les autres dv la 1*^^"" sorte, de telle façon que les côtés a^otj et

«0*2"' *i*2 ^^ «2.>a-2n-i> «..«a ^t ot3„__,a,„o , ■a,,i,cc^,^, et a,„,,a,„/,, ,

et enfin a„iît„ i-t 'x„j.iOi„j..2, soient conjugués et par conséquent congruents. Si on laisse de côté ot„ et ot„+,, tous les sommets seront de la l'"^* catégorie et se répartiront en n cycles fermés. L'un des cycles ne comprendra que le sommet ol^ ; les autres seront form(''S respectivement des sommets

otj et 5(„,, c(j et a,„i, ci., et «..,„., enfin o(„, et ot,,^.,'? de sorte que

les angles curvilignes ot^, 'x^ + «a,,- x. + 'y-2,,-11 "^«-i + ^,,+2 devront

être des parties aliquotes de 2- Quant aux angles a„ et ct„^^, ils seront forcément droits puisque les côtés de la V" sorte !z„ia„ et a,,^,^,,^, coupent orthogonalemeiit le cercle fondamental, dont le côté a„0L„^.-i n'est qu'un arc. Nous construirons ensuite un polygone E'„ symétri<iue de 7?^ par rapport au cercle fondamental. J'appellerai a', le. sommet de B'^ qui est symétrique de a, par rapport au cercle fondamental.

On voit aisément que le polygone B.^ est de la .5"" famille et du genre 0, et qu'on peut s'en servir pour définir un groupe fuelisien et

Acta inathfinaliea. I. 37

290 H. Poincaré.

une infinité de fonctions fnrhsiennes. Celles-ci peuvent toutes s'exprimer rationnellement à l'aide de l'une d'entre elles que j'appellerai:

Comme on peut choisir d'une infinité de manières parmi nos fonctions fuchsiennes une d'entre elles à l'aide de laquelle toutes les autres s'expriment rationnellement, la fonction x = f[s) ne serait pas complètement déterminée si nous n'ajoutions quelques conditions de plus.

Soient ^ et y deux points du côté de la 2'''' sorte G(„ct„+i; je supposerai que l'on a :

Je poserai ensuite:

f{ai) = ttj /(«',) = a'i

Le polygone B^ + R\ étant symétrique par rapport au cercle fondamental, on peut voir par un raisonnement analogue à celui du paragraphe précédent que les nombres «, et a'; sont imaginaires conjugués.

Posons maintenant

dx dz

la fonction v satisfera à une équation différentielle de la forme (3 bis) § 4 puisque le groupe fuchsien correspondant est de genre 0. Cette équation, comme on le voit aisément, peut s'écrire:

(3 bis) -— = y.

dx' \Q{x)Y

Q{x) étant le produit (.r — ffj (.r — a\) {x — «,) (.>• — a',)

[x — «„j) (.r — «'„i) et P(.r) étant un polynôme de degré 4» — 4 en x, ayant tous ses coefficients réels.

Mémoire sur les Fonctions Fuchsionncs. 291

§ 10. Késumé.

En ctudiant les exemples ])récédents, j'ai rencontré dift'crcnts résultats qui sont communs à toutes les fonctions fuclisienncs. Je ne crois pas utile d'en donner la démonstration dans le cas le plus général; car elle ne différerait pas de celles que nous avons données dans les divers cas particuliers et je serais entraîné à des redites sans intérêt. .Ti' nie bornerai donc à les énoncer ici sous forme de résumé.

Formons avec une fonction rationnelle quelconque U{z) la série thétafuchsienne

Cette série pourra toujours se mettre sous la forme

F{x, >j) désignant une fonction rationnelle de ces deux fonctions fuchsiennes X et y, à l'aide desquelles toutes les autres s'expriment rationnellement et entre lesquelles il y a une relation algébrique:

Pour qu'iuie expression de la forme (2) puisse se mettre sous la forme (1), il faut qu'elle s'annule quand z vient en un des sommets de la 2^^ catégorie du polygone B^ .

A cette condition, tonte expression de la forme (2) peut se mettre sous la forme (1) pourvu que m soit un entier 2)1 us grand que 1.

Il en résulte que toute fonction fuclisienne peut se mettre d'une infinité de manières sous la forme du quotient de deux séries telles que (1).

Les séries de la forme (1) sont de deux espèces: celles qui ont des infinis et celles qui n'en ont pas. Ces dernières peuvent s'exprimer linéaire-

DEPAV,

292 H. Pc.incarc.

ment à l'aide d'un nombre fini d'entix- elles. 11 y a done entre les séries tliétafuehsiennes de la 2'"^ espèce une infinité de relations linéaires.

Voici une de ces relations qui peut servir de point de départ pour trouver, sinon toutes les autres, au moins un grand nombre d'entre elles.

Soit Iz ^^^ M une substitution quelconque du groupe G. On aura \ ' yz + o)

identiquement :

Considérons maintenant une fonction de la forme suivante:

F{.r, !/) désignant toujours une fonction rationnelle et m un entier plus grand (|ue 1. Je suppose de plus que cette fonction s'annule quand z vient en un des sommets de la 'i''*" catégorie de B^ .

Soit fj le nombre des infinis distincts de .l(^); soient z^, z,^, z^

ces iniinis distincts; A^, A.,, J,, les résidus correspondants; soit (f[z)

une fonction rationnelle quelconque de z n'ayant pas d'infini à l'intérieur du cercle fondamental.

On aura identiquement:

Lu jL^ "-i^k + pi

•fi^k + Oi

si les fonctions fuchsiennes n'existent (ju'à l'intérieur du cercle fondamental, et

k = ti ) = 00

(4 bis) j(^) = y y — ^^^^^-li^r^'^k + ''.)'""" + ^\^)

r,Zk + «i

{P{z) étant un polynôme entier en z) si les fonctions fucîhsienni'S existent dans tout le jilan.

Mémoire sur les Fonctions Fuchsicnne.'-. 293

Il l'ii résulte que toute luiiL-tiuii luclisiciiiic peut d'uin' infiuité de manières se mettre sous la forme du ([uotieiit de deux séries telles que (4) ou (4 bis).

§ 11. Hifftoriqne.

Si ou laisse de eôte les foiietions doublement i)ériodi([ues, les ])remiércs fonctions fuchsiennes qui aient été signalées sont les fonctions modidaires. Elles se présentaient poui- ainsi dire d'elles-mêmes dans l'étude des transcendantes elliptiques, et leurs propriétés principales, en particulier celles d'être uniformes et d'admettre une ligne singulière essentielle, ont été remarquées depuis longtemps. D'ailleurs les travaux dont elles ont été l'objet et les résultats remarquables obtenus dans ces derniers temps par MM. Hkhmite, Dkdekim), Flchs et Klein sont trop connus pour que j'aie besoin d'insister.

Mais il est une autre catégorie de fonctions fuchsiennes dont l'existence a été signalée dès 1872. Ce sont celles auxquelles donne naissance l'équation liypergéométrique de Gal'ss; ces fonctions ne sont qu'un cas particulier de celles que nous avons étudiées dans le § 5 et on les obtient quand le polygone B^ considéré dans ce paragraphe est symétrique et se réduit à un quadrilatère.

Dans un mémoire inséré au Tome 75 du Journal de Borchardt, M. ScHWAiîz annonce sans démonstration que ces fonctions sont uniformes et admettent un cercle comme ligne singulière essentielle. C'était du même coup annoncer la discontinuité du groupe correspondant, comme je l'ai déjà fait remarquer dans l'historique du mémoire sur les groupes fuchsiens. Malheiireusement, détourné de ce sujet par d'autres études, M. SciiwAKZ s'est borné aux quelques lignes qu'il avait consacrées à ces transcendantes et n'a pas poussé plus loin ses recherches.

Dans un autre ordre d'idées, M. Schwahz avait obtenu d'autres résultats qui se rapportent indirectement à notre sujet. Dans divers mémoires insérés aux Tomes 70 et 74 du Journal de Borchardt et aux Monatsberichte de l'Académie de Berlin, M. Schwarz a démontré d'une manière rigoureuse le principe dit de Dirichlet et la possibilité de VAbbildtoig du cercle sur une figure plane quelconque et en particulier sur

294 H. Poincaré.

un polygone limité par des arcs de cercle. S'il avait connu les conditions de discontinuité des groupes, il aurait pu être conduit ainsi à démontrer l'existence des fonctions fuchsiennes dans le cas particulier où le polygone B^ est symétrique.

J'aurais donc pu me servir de ces résultats, mais j'ai préféré suivre une autre voie:

1" parce que je n'aurais pu démontrer ainsi l'existence des fonctions fuchsiennes dans le cas, où le polygone 7t'^ n'est pas symétrique.

■ 2° parce que les développements en séries dont j'ai fait usage me donnaient non seulement la démonstration de l'existence de la fonction, mais son expression analytique.

Paris 23 Octobre 1882.