V^[,«(.-1)-X^-^] d'où la relation
i\ = q + «'(w — i) — 2j — j^ — Ce nombre 2>o c^es zéros intérieurs à B^ est entier à cause des con-
2), + m = 0 mod. Ki .
gruences :
Mémoire sur les Fonctions Fuchsiennes. 223
Exprimons maintenant le nombre p des zéros réellement distincts, défini par les conventions faites plus haut; nous trouverons:
j, = ry + »i|h — 1 — ^j^J
Ainsi l'excès du nombre des zéros distincts sur celui des infinis distincts ne dépend que du nombre m, du nombre 2n des côtés de R^ et de la
somme V— des angles de ce polygone.
Cette somme satisfait à l'inégalité:
d'où
et par conséquent p > q. L'expression L — 1 — ^^) «^^ proportionnelle à la S du polygone i?„.
Supposons maintenant que la fonction 6 soit de la 2" ou de la 6" familles. Nous n'aurons toujours que des côtés de la 1"" sorte, mais outre les cycles de la T" catégorie C^, C,, .... C',, ... . que nous avions rencontrés dans le premier cas, nous aurons des cycles C\ , C\, C, de la
2''* catégorie et de la 3"= sous-catégorie. Considérons le cycle 6",; divers sommetr de ce cycle seront des zéros; je suppose d'après la convention faite plus haut qu'ils comptent pour h, zéros distincts. On aura alors:
(8) i'>i'o+Sf;+Z''-
Il faut évaluer l'intégrale (7):
r le long des arcs de cercle infiniment petits décrits autour des sommets de la X^"" catégorie.
2° le long des côtés de la P" sorte.
3° le long des arcs de cercle infiniment petits décrits autour des sommets de la 2'^' catégorie.
224 H. Poincaré.
La première partie de l'intégrale se réduit comme plus haut à
2/;r>— ; la seconde à
LuKi
y/= 2i7rm{n — 1 — ^ ^\
Pour évaluer la troisième il suffit d'étudier comment varie l'argument de 6* dans le voisinage des sommets de la 2''" catégorie; à cet effet, il faut mettre la fonction S sous la forme:
[0 étant l'algorithme d'une fonction holomorphe), ce qui est possible, ainsi qu'on l'a vu plus haut. On recoimaitra alors que cette 3"° partie
de l'intégrale se réduit à — 2/->/?,.
Il restera donc pour l'expression de l'intégrale (7)
d'où:
p,=q + m{n — 1) — ^^ — — yj^.,
et:
f = q + mUi— 1 —\y)
Nous sommes conduits pour l'excès du nombre des zéros distincts sur celui des infinis distincts à la même expression que dans le cas précédent. Cet excès est proportionnel au nombre m et dépend en outre du nombre des côtés du polygone R^ et de la somme de ses angles; ou bien encore il est proportionnel à la fois à m. et à la (S' de i?„ .
Supposons enfin que la fonction 9 soit de la 3"^ de la 4'"^, de la 5™^ ou de la 7""" familles, c'est' à dire existe dans tout le plan. Nous aurons alors des côtés de la l'''^ et de la 2**^ sorte, des sommets de la l^'" et de la 3"" catégorie et des sommets de la 2"° catégorie appartenant à des cycles de la 3""* sous-catégorie. Nous allons chercher le nombre
Mémoire sur les Fonctions Fucbsiennes. 22o
tk's zéros et des infinis distincts; ce nombre sera défini comme précédemment. Cependant il y a une remarque à faire au sujet du nombre des infinis distincts; ce sera en général le nombre des infinis intérieurs à R^ et à R'g, mais une difficulté se présentera si le point co l'ait partie de la ré"-ion R\. Dans ce cas il peut se faire que co ne soit pas un infini de 9, mais que tous les transformés du point co par les substitutions du groupe G soient des infinis de 9. Le nombre des infinis réellement distincts sera égal alors au nombre des infinis intérieurs à 7΄ + R\ 2)h(S un. Pour éviter cette difficulté, je supposerai que le polygone R^ ait été choisi de telle sorte que le point co ne fasse pas partie de la
région R\ .
Cela posé reprenons l'intégrale (7); il va falloir l'évaluer le long du contour de i?„ , puis le long du contour de R\ et ajouter. Soit 2w le nombre des côtés de la 1"'' sorte; / celui des côtés de la 2'^" sorte; conservons d'ailleurs les notations employées plus haut: j^ et q représenteront alors le nombre des zéros et des infinis intérieurs a R^ + R\.
Il faut évaluer l'intégrale
r le lono- des petits arcs de cercle décrits autour des sommets de la 1*" catégorie.
2° le lono- des petits arcs de cercle décrits autour des sommets de la 3"* sous-catégorie.
3° le long des côtés de la 1*'" sorte.
4° le lono; des côtés de la 2''" sorte.
La première et la seconde partie de l'intégrale seront égales à
La troisième sera égale comme plus haut à N ./. Construisons un polygone P, en menant par les différents sommets de R, des tangentes aux^côtés de la P" sorte. Le polygone rectiligne ainsi obtenu aura 4« + / côtés; ses angles seront de deux sortes: les uns seront analogues aux angles que nous avons appelés plus haut c, c'; les autres lui seront communs avec les angles de R^, mais parmi ceux-ci les uns, dont la somme sera Vrî!, correspondront aux sommets de la T'^ catégorie; les autres, qui seront nuls, correspondront aux sommets de la 2 "= catégorie;
Acta Slalhematica. I.
226' H. Poincaré.
les autres enfin, qui seront droits et au nombre de 2/, correspondront aux sommets de la 3°"' catégorie; d'où la relation:
Or on a trouvé plus haut:
^ .7 = «! 7 c — 2nm7T on aura donc:
Appelons enfin 2;r/ la partie imaginaire de l'intégrale prise le long des côtés de la 2^ sorte; nous trouverons pour l'intégrale (7) prise le loniï de R„:
2i7:[m{n - 1) -"^tl^ V/i, + /]
Il faut prendre maintenant l'intégrale (7) le long deiî'„. Supposons que, d'après les conventions faites plus haut, les sommets de la ]*"" catégorie de R comptent pour > ^- zéros distincts et ceux de la 2''" caté-
gorie pour > //, zéros distincts. Nous trouverons pour la valeur de l'intégrale prise le long de R'^ en raisonnant comme plus haut:
2^rn{n - 1) -J^^^^ - ^h'. - I] ou en ajoutant les deux intégrales:
d'où :
K = . + 2min - 1) - J^^ - Jfl±^ - J^ik, + k',)
Mais si p désigne comme plus haut le nombre des zéros distincts, on aura:
-^•+II+Sé+S'' + S"-
Mémoire sur les Fonctions Fuchsiennes. 2^7
d'où:
Ainsi Texcès du nombre des zéros distincts sur celui des infinis distincts ne dépend (jue du nombre m, du nombre 2« des côtés de la 1^" sorte et de la somme des angles de la 1*" catégorie.
Ce qu'il importe surtout de remarquer, c'est que, dans tous les cas possibles, le nombre des zéros et celui des infinis distincts est toujours fini.
§ 4. Fonctions Fuchsiennes.
Si une fonction F{z) est uniforme, si elle se reproduit par toutes les substitutions d'un groupe fuchsien G de telle sorte que si
V n^ + «V est une substitution de ce groupe on ait identiquement:
si enfin le fonction F{i) n'a qu'un nombre fini de zéros et d'infinis réellement distincts, je dirai que cette fonction est une fonctwn fuchsienne. Existe-t-il de pareilles fonctions? Il est aisé d'en former.
Considérons en effet deux fonctions thétafuchsiennes correspondant à un même groupe G et à une même valeur de l'entier m, leur quotient sera une fonction fuchsienne. Il est aisé de généraliser ce procédé. Nous dirons que le nombre m est le degré de la série 8. Si nous envisageons ensuite un produit de plusieurs séries telles que 6, le degré de ce monôme sera la somme des degrés de tous les facteurs. Si nous considérons un polynôme entier par rapport à diverses séries 6, nous dirons que ce polynôme est homogène et de degré K si tous ses termes sont d'un même degré K; le quotient de deux polynômes homogènes de degrés K et K' sera une fonction rationnelle homogène de degré K—K'. Il est clair que toute fonction ratioimelle, homogène de degré 0 par mpport k diverses
228 H. Poincaré.
séries 8 est une fonction fuchsienne. Nous verrons plus tard comment toute fonction fuchsienne peut s'exprimer de cette façon.
Quelles sont les propriétés des fonctions fuchsiennes?
1° Les singularités sont les mêmes que celles des fonctions thêta fuchsiennes; nous avons par conséquent des fonctions fuchsiennes n'existant qu'à l'intérieur du cercle fondamental et pour lesquelles toute la circonférence de ce cercle est une ligne singulière essentielle, et d'autres qui existent dans tout le plan et dont les points singuliers, situés tous sur le cercle fondamental, sont isolés quoique en nombre infini.
2° Le nombre des zéros distincts d'une fonction fuchsienne F(z) est égal à celui de ses infinis distincts; il est égal d'autre part au nombre des zéros distincts de la fonction fuchsienne F[z) — a, c'est à dire au nombre des points réellement distincts pour lesquels F(^) prend la valeur a. En conséquence, le nombre des points intérieurs à B^ (ou k B^ -\- B\) et pour lesquels F[z) reprend une même valeur est constant et fini.
3° Soient deux fonctions fuchsiennes F^z) et F^{z) correspondant à un même groupe fuchsien G, et supposé que la première reprenne p fois et la seconde 2^1 fois la même valeur à l'intérieur de B^, je dis qu'il y aura entre F et F^ une relation algébrique. En effet à chaque valeur de F correspondent p^ valeurs de F^ ; toute fonction symétrique de ces p^ valeurs est méromorphe en F pour toutes les valeurs de F finies ou infinies. Toutes ces fonctions symétriques sont donc des fonctions i-ationnelles de F; donc F^ elle-même est fonction algébrique de F.
4° Considérons maintenant toutes les fonctions fuchsiennes qui correspondent à un même groupe G. Entre deux quelconques d'entre elles nous venons de voir qu'il y a une relation algébrique. Il suit de là que toutes ces fonctions s'exprimeront rationnellement à l'aide de deux d'entre elles que j'appellerai x et î/. Nous aurons d'ailleurs entre x et y une relation algébrique
quel est le genre de la relation (1) ou ce qui revient au même celui de la surface de Riemann correspondante? Pour résoudre cette question, il faut se reporter au § 7 du mémoire sur les groupes fuchsiens, paragraphe
Mémoire sur les Fonctions Fuchsiennes. 229
intitulé Classification en genres; diiiis ce paragraphe, je supposais que l'on découpait la région B^ (ou B^ + 7?'J puis cpion la repliait en la déformant de manière à recoller ensemble les côtés conjugués et à obtenir ainsi une surface fermée. Il est clair qu'au point de vue de la géométrie de situation la surface fermée ainsi obtenue ne diffère pas de la surface de RucMAxx qui nous occupe. Il en résulte que le genre de la relation (1) et par conséquent toutes les fonctions fuchsiennes pourront s'exprimer rationnellement à l'aide d"«me seule d'entre elles que j'appellerai x.
On peut éviter ces considérations empruntées à la géométrie de situation. C'est ce que j'ai fait dans un travail inséré dans les mémoires de l'Académie de Caen où je détermine le genre de la relation (1) par le nombre des cycles distincts que l'on peut faire décrire au point analytique {x, II), mais on est conduit ainsi à une discussion assez longue.
5° Considérons la fonction fuchî5ienne que nous venons d'appeler x et ft)rmons les deux fonctions suivantes:
Il est clair que l'on aura:
~d?'ch ~ V"^j
On vérifie aisément que le troisième membre de cette double égalité est une fonction fuchsienne de z; c'est donc, d'après ce que nous venons de voir, une fonction rationnelle de x et de i/, que j'appellerai ç'(.r, y).
Les deux intégrales de l'équation linéaire:
(3) —, = vf{x, n)
sont donc:
Ainsi la considération de la fonction fuchsienne x permet d'intégrer l'équation linéaire (3) dont les coefficients sont des fonctions rationnelles du point analytique {x, y). On voit que la variable indépendante x
230 H. Poincaré.
s'exprime par une l'onction fuclisienne de z, c'est, à dire du rapport des intégrales. Quand on connaît cette fonction fuchsienne on en déduit les intégrales elles-mêmes à l'aide des formules (2).
Dans le cas particulier où le groupe G est de genre 0, l'équation (3) pourra s'écrire:
(3 bis) ^ = v,f{ic)
^(x) étant une fonction rationnelle de x seulement; dans ce cas en effet, nous venons de voir que toute fonction fuchsienne s'exprime rationnellement en X.
Cherchons maintenant quels sont les points singuliers de l'équation (3) et comment se comportent les intégrales dans le voisinage de chacun d'eux. En général, les intégrales seront des fonctions holomorphes de .c; il y aura deux exceptions qui nous donnent deux sortes de points singuliers.
1° pour les points singuliers de la relation (1), y cesse d'ét're fonction holomorphe de x, et il en est de même des intégrales r, et i\ ; mais Vj et v^ restent fonctions liolomor plies du point analytique (.r, y). Nous n'avons donc pas ainsi un véritable point singulier.
2° pour les points (r, y) qui correspondent aux divers sommets du polygone R^ . Dans cette seconde espèce de points singuliers, nous distinguerons 1° ceux qui correspondent à des sommets de la l''" catégorie. Dans le voisinage d'un pareil point singulier, les intégrales de l'équation (3) sont régulières, pour employer l'expression de M. Fuchs. Si nous formons maintenant l'équation déterminante correspondant à ce point singulier, la différence des racines de cette équation est l'inverse d'un nombre entier. En effet le point singulier correspond à un sommet de B^
qui fait partie d'un cycle de la l''" catégorie et la somme des angles de
ce cycle est égal à — , ^ étant un nombre entier; on voit aisément que
la différence des racines de l'équation déterminante est précisément - .
Dans le cas particulier où le sommet de R^ envisagé appartient à un cycle de la 1'" sous-catégorie, on a jo = 1, d'après la définition même de cette sous-catégorie. Par conséquent la différence des racines de l'équa-
Mémoire sur les Fonctions Fuclisiennes. 231
tioii déteniiituiute est rmilté. Un soinblnblc point n'est dnnr \);\- un ])()lnt
singulier
2° Considérons maintenant un point singulier qui corresponde à un sommet de i?„ appartenant à un c-ycle de la 2*" catégorie. Ce cycle sera de la 3"' sous-catégorie, puisque, d'après ce que nous avons vu plus haut, on peut toujours supposer qu'il n'y a pas de cycle de la 4"" sous-catégorie. Formons l'équation déterminante correspondant à un pareil point singulier; les racines de cette équation seront égales et les intégrales de l'équation (3) seront lo(/anfIi iniques mais rér/iûières.
3° Il faudrait envisager enfin les points analytiques (r, y) qui correspondent h des sommets de la 3"°* catégorie, mais on reconnaîtrait aisément que ce ne sont pas des points singuliers.
En résumé les intégrales de l'équation (3) sont partout régulières et (si on laisse de côté les points singuliers de la relation (1)) le nombre des points singuliers de l'équation différentielle (3) est égal à celui des cycles de la 2"' ou de la 3"' sous-catégories que présente le polygone E^ (ou les deux polygones i?„ et B\).
% 5. J^**^ famille ; genre 0.
Après avoir étudié les propriétés des fonctions fuclisiennes en général, nous allons nous occuper séparément des diverses familles et des divers o-enres entre lesquels se répartissent ces fonctions; nous commencerons par l'étude spéciale des fonctions les plus simples; celles de la 1^'" famille et du genre 0.
Je rappelle d'abord quelle est pour de semblables fonctions la forme du polygone i?„ . Les côtés sont tous de la première sorte et au nombre de 2h; les côtés de rang ^J et 2» + 1—2) sont conjugués et par conséquent congruents. Les cycles sont au nombre de « + 1 ; deux d'entre eux ne contiennent qu'un seul sommet, le premier le sommet de rang 1 ; le second le sommet de rang n + l. Les n — 1 autres cycles sont formés de deux sommets, à savoir des sommets de rang p et 2» + 2 — j^- (C'est l'exemple II du § 7 du mémoire sur les groupes fuchsiens.)
Un cas particulier remarquable est celui où le polygone B^ est symétrique par rapport à l'arc de cercle qui coupe orthogonalement le
232 H. Poincarë.
cercle fondamentîil et qui joint les sommets de rang 1 et w + 1- 'T<-' dirai alors simplement que ce polygone et symétrique.
Dans le cas qui nous occupe, le genre est égal à 0 et par conséquent toutes les fonctions fuchsiennes s'expriment rationnellement à l'aide de l'une d'entre elles que j'appellerai x ou bien f{z). Cette condition ne détermine pas complètement la fonction x ^= f(i). Si en effet toutes les fonctions fuchsiennes s'expriment rationnellement à l'aide de x, elles s'expriment aussi rationnellement à l'aide de ^ , a, h, c, d étant des con-
cx + d
stantes quelconques. Il faut donc pour définir complètement la fonction X = f{2) s'imposer encoi'e trois conditions. Voici celles que nous choisirons. Soient a,, ct^, oi„+i les sommets de rang 1, 2 et n -\- 1; nous supposerons que l'on a:
La fonction f{z) sera alors entièrement déterminée. A l'égard de cette fonction, je remarquerai ce qui suit. Si le polygone B.^ est symétrique, la fonction ({z) est réelle et positive sur tout le périmètre de ce polygone.
J'appellerai a, le sommet de rang i; ce sommet formera avec a^^^^-i
un cycle dont la somme des angles sera :^, 5, étant un nombre entier.
•' • Pi
Enfin je poserai:
d'où
ff, = 0 a, — 1 «,,+1 = oo .
Pour z = a, , les y5, — 1 premières dérivées de f{z) s'annulent de sorte que le développement de fiz) est de la forme:
Pour z = a„+i, f{z) est un infini d'ordre ^„ + , de sorte que le développement de f{z) est de la forme:
Mémoire sur les Ponctions Fuchsiennes. ,233
Nous avons vu que si l'on pose:
dz la fonction v ainsi définie satisfait à une équation
(3 bis) -^ = v(r{x)
{f(.r) étant rationnel en x. Quelle est ici la forme de la fonction (f{x). On trouve aisément:
{x — ay{x - a^y (.« — a„Y Q\x)
Q{x) étant le produit (.r — rtj (.r — a^) .... {x — «„) et P[x) étant un polynôme en x de degré 2n — 2.
Le polynôme P[x) doit satisfaire aux conditions suivantes:
Nous désignons par la' notation Q'{x) la dérivée de Q{x). De plus le coefficient de .r-"^" dans P{x) doit être égal à
Voilà donc n -)- 1 conditions nécessaires auxquelles doit satisfaire le polynôme P(x) pour que l'équation (3 bis) soit intégrable de la façon que nous avons dite. Ces conditions ne sont pas suffisantes. En effet, le polynôme P{.r) étant de degré 2n — 2, il reste dans ce polynôme n — 2 paramétres arbitraires; mais dans ces n — 2 paramètres qui sont des quantités complexes, je dois distinguer les parties réelle et imaginaire de telle façon qu'ils équivalent à 2n — 4 paramètres réels. Or combien avons-nous de paramètres arbitraires dans le groupe G. Le groupe G est défini par un polygone R^ de 2« côtés. Pour définir un pareil polygone il faut en général 4» — 3 conditions. Mais notre polygone n'est pas quelconque: en effet les côtés conjugués doivent être congruents ce qui fait n conditions; la somme des angles des divers cycles doit être respec-
tivement égale à ^, ^, ^r^^^ ce qui fait » + 1 conditions. Il reste
Acia i/alhemalica. I. 30
234 H. Poincaré.
donc en tout dans notre groupe G 2n — -i paramètres arbitraires. Dans notre fonction ç;{oc) au contraire nous avons 2n — i paramètres qui restent arbitraires dans P(.r); nous avons en outre dans Q{.r) n — 2 paramètres .
complexes arbitraires, à savoir a.^, a^, a„; cela équivant à 2n — 4
paramètres complexes. Donc dans la fonction ^{x) il y a 2n — 4 paramètres arbitraires de plus que dans le groupe G. Donc pour que l'équation (3 bis) s'intègre de la façon que j'ai dite il faut, outre les conditions énoncées plus haut, que 2n — 4 autres conditions soient remplies. Ces conditions sont transcendantes et très compliquées; leur étude trouvera place dans un autre mémoire.
Supposons maintenant que l'on se donne a^, a^, «„, c'est à
dire les points singuliers de l'équation (3 bis), Q{;x) sera déterminé et il nous restera les 2n — 4 paramètres de P{x). Le nombre des paramètres restés arbitraires est alors précisément le nombre des conditions à remplir. Dans une question où n'entreraient que des fonctions algébriques ou des transcendantes simples, on pourrait conclure de là que l'on peut toujours disposer de ces paramètres pour satisfaire à ces conditions, et par conséquent qu';7 existe iouojurs une équation de la forme (3 bis) intégrahle par
les fonctions fuchsiennes seules et où, les points singuliers a^, a^, «„ ,
a„+i sont donnés à l'avance. Mais ici nous ne pouvons nous contenter d'un pareil aperçu et ce théoi'ème, fort important, exigera une démonstration spéciale que je donnerai dans un mémoire ultérieur.
Dans le cas particulier où le polygone i?„ est symétrique, les points singuliers a^, a^, ff„+i ainsi que les coefficients de P{x) sont réels.
Dans le cas plus particulier encore où u = 2, l'équation (3 bis) se ramène aisément à l'équation hypergéométrique de Gauss. De plus nous avons 2w — 4 = 0, de telle sorte que le nombre des conditions transcendantes dont il a été question plus haut est nul. Alors pour que x soit fonction fuchsienne du rapport des intégrales, il faut et il suffit que:
coefficient de .r' dans P(x) — — -Il — — J A' A» A ^'^'^"^' entiers.
Mémoire sur les Fonctions Fuclisienncs. 235
Etudions inaintcnaiit lis fonctions tliétafuchsiennes. Soit 6{z) une fonction thétafiichsienne jouissant de la propriété caractéristique
Reprenons la fonction fuchsienne f(z) = x et sa dérivée f'{z), il est clair que la fonction
sera une fonction fuchsienne et par conséquent une fonction rationnelle de X. Nous avons donc pour l'expression générale des fonctions (:i{z) :
F étant l'algorithme d'une fonction rationnelle.
Parmi les fonctions thétafuehsiennes, nous avons vu qu'il y en avait de deux espèces; les unes devenant infinies, les autres ne devenant pas infinies à l'intérieur du cercle fondamental.
Quelle sera la forme générale de celles de la 2''^ espèce? L'expression (1) ne doit devenir infinie pour aucune valeur de ,r. Dans ce cas
F{x) ne pourra devenir infini que si — devient nul, c'est à dire si x vient
dz
en l'un des points singuliers .c = «, , x = a.^, .... .r = a„.
Il suit de là que l'on doit avoir:
(2) 0(.) = aX: :^-^
di,{x) désignant un polynôme d'ordre p. Exprimons maintenant que 8{z)
ne devient infini ni pour x = Oj , ni pour x = a.^, ni pour x = a„,
ni pour .r = co ; il viendra:
230 H. Poincaré.
Ces n + 1 illégalités sont compatibles.
Ces inégalités ne permettent pas de donner à p des valeurs aussi grandes que l'on veut, de sorte qu'il existera toujours un nombre q tel que l'on ait constamment p < q et que les inégalités (3) permettent à p d'atteindre la limite q — 1 .
Supposons le nombre m donné; le nombre q sera alors déterminé et il est clair qu'entre q fonctions thétafucb siennes de la n" espèce, il y aura toujours une relation linéaire identique.
Si l'on se reporte à. l'expression que nous avons donnée de ces transcendantes dans le § 1, on verra qu'il y entre une fonction rationnelle H{z) renfermant un nombre infini de paramètres arbitraires. Il suit de là qu'il y a une infinité de fonctions rationnelles H, telles que la série thétafuchsienne correspondante soit identiquement nulle.
Il existe donc une infinité de relations identiques linéaires entre ces séries thétafuchsiennes. Nous les étudierons plus loin.
Revenons à l'expression (2). Jusqu'ici nous avons supposé que les nombres m, k^, X^, .... qui y entrent étaient, entiers. S'ils ne l'étaient pas, la fonction définie par cette expression ne jouirait plus de la propriété fondamentale des fonctions thétafuchsiennes, mais elle pourrait rester uniforme. Pour cela il suffit que les nombres:
soient entiers.
Il est clair que les n ■{- \ équations:
où les £ sont des nombres entiers donnés fourniront toujours des valeurs pour les X et pour in, car ce sont des équations linéaires dont le déterminant n'est pas nul.
Supposons donc que dans les équations (4) on donne à tous les s la valeur 0 excepté à c^. auquel on donne la valeur 1. Portons ensuite
Mémoire sur les Fonctions Fuchsiennes. 237
dans l'expression (2) les valeurs de m et des X tirées dos équations (4) et remplaçons dans cette même expression â^, par une constante. Nous aurons défini une fonction A'^ qui est liolomorphe dans tout le cercle fondamental, et qui n'a d'autres zéros que le point «4. et les points correspondants. Tous ces zéros sont d'ailleurs simples.
Ces fonctions X^, X,, X„, X„+,, dont le rôle est très important,
ont été découvertes par M. Halphen dans le cas particulier de w = 2. On peut trouver entre elles et x certaines relations intéressantes. Considérons en effet les séries X^ et X,,^.,. Soient m^ et w„^, les valeurs correspondantes du nombre m. Ces valeurs seront fractionnaires.
Soit en effet Y une fonction uniforme quelconque susceptible d'être mise sous la forme
(2 bis) T=(pY -> ->
K désignant un facteur numérique. Cette fonction n'a d'autres zéros ou infinis que les points Oj , et,,, .... oi„^i et leurs correspondants. Supposons que ces zéros soient respectivement d'ordre ^^ , y.^, .... ^„^j; il va sans dii'e que si ol, par exemple était un infini y, serait négatif. On aura:
t=ex:k Kiv
K étant un facteur numérique. On aura en particulier:
et
a. = KX'X ^,
ï i i n-fl
les K étant toujours des facteurs numériques: d'où les relations identiques
Nous avons exprimé les fonctions thétafuchsiennes de deux manières tout à fait différentes; soit par la série (4) § 1, soit par la formule (1) de ce paragraphe.
238 H. Poincarë.
Nous savons donc a priori qu'il existe une infinité d'identités de la forme :
où H et F sont les algorithmes de deux fonctions rationnelles.
Ecrire effectivement ces identités et en particulier reconnaître dans quel cas la fonction F est identiquem.ent nulle, tel est le problème dont il s'agit maintenant de donner une solution aussi complète que possible.
Mais pour y arriver, il est nécessaire d'avoir recours à des considérations d'un ordre un peu différent.
Jusqu'ici nous avons toujours regardé le nombre m comme positif; supposons le maintenant entier, mais négatif. Considérons en particulier la fonction suivante:
.](,) = i^Y" iM - «.f [/(^) - ^r- [M - «.^r-
\dz ) [/(,) -fi,J] [f(z) -f(z„)] Ifiz) -f(z,)]
Je suppose que h est un entier positif ainsi que les exposants /i^ , /i.^, .... /i„ et que ces nombres entiers satisfont ainsi que le nombre ^; des facteurs du dénominateur aux inégalités suivantes:
D'après ces inégalités la fonction yl(^) ne peut devenir infinie que si l'un des facteurs du dénominateur s'annule. Il en résulte que les infinis de cette fonction sont tous simples et qu'ils sont compris dans l'une des formules :
' ■ Yi^, + ^i' n^î + o'«' Yi^P + ^i
l «,» + /?,\ ou \z, -— V
représente une des substitutions du groupe G.
Mémoire sur les Fonctions Puchsiennes. 239
Posons :
/I^) -A\) M -M) f{z) -Az,)
de telle sorte que :
A^ + A.^ + + Ap =0
'•l./(^,) + ^1.^) + + AJ{z,) = 0
(7) AJ\z;) + AJ\z,) + + Aj,f\z,) = 0
^J'-'iz,) + .4J>-1(2:,) + + AJP-\z,) = 1
Le résidu correspondant à l'infini:
s'écrira :
Il en résulte que l'on aura identiquement:
(8) - A^z) - 2^ 2.J/X^.)]*^' ,. «.^.^MT + ^^^)
G'(^) désignant une fonction holomorphe à l'intérieur du cercle fondamental. Plus généralement, si ç(^) est une fonction rationnelle de s n'ayant pas d'infini intérieur au cercle fondamental, on aura :
lajZt + /?i'\
(9) Aiz),iz) = ^^ \ ^ ly^^^^yp^ (nJ: + >^)-^-^" «... + ,?, + ^^^^
TiZk + Oi
240 H. Poincaré.
Je dis que dans les formules (8) et (9) la fonction holomorphe G{z) est identiquement nulle.
Première démonstration.
Considérons un cercle C ayant pour centre l'origine et pour rayon r; concentrique par conséquent au cercle fondamental.
Envisageons les différents polygones i2, qui sont tout entiers ou en partie à l'intérieur de ce cercle.
L'ensemble de ces polygones formera une figure polygonale S ne dépendant que du rayon r du cercle C. Considérons l'intégrale:
A{z)(f(z)clz
prise le long du contour de cette figure S. Le théorème que j'ai énoncé pourra être regardé comme démontré si j'établis que cette intégrale tend vers 0 quand r tend vers 1, c'est à dire vers le rayon du cercle fondamental.
Pour cela je vais faire voir:
1° que le périmètre de S reste fini, quel que soit r.
2° que le module de la fonction sous le signe f reste plus petit qu'une certaine quantité M quand la variable reste sur le contour d'inté-
gration.
3° que M tend vers 0 quand r tend vers 1.
En vertu du lemme IV du § 1, le nombre des polygones Ri qui sont en tout ou en partie intérieurs au cercle C est plus petit que:
2f" = lL(^g%R+i) 4- g"2(«+;,) 2)
CT et A étant des quantités constantes et R étant défini par l'égalité:
Donc a fortiori, le nombre des côtés de S sera plus petit que 2nN. Considérons l'un de ces côtés appartenant à un polygone R^ et soit /; la
Mémoire sur les Fonctions Fuchsiennes. 241
longueur de ce côte; I^ celle du côté correspondant de iî^; soit enfin / ajZ + i i\ (.qWç (|j,g substitutions de G qui correspond à iî,, on aura:
H étant la plus grand valeur que puisse prendre
mod.
(r.2 + ai)'
quand la variable s décrit le côté l„ .
Supposons que le polygone R^ soit tout entier contenu dans un cercle ayant pour centre l'origine et pour rayon
En voj'tu du lemnie V du § 1 on aura;
Soit L le plus grand côté de B^. Le périmètre de S sera plus petit que:
2nN.H.L ou a fortiori que:
2n7zL 2e2(n+')
Il sera donc fini. G. Q. F. D.
Nous devons évidemment supposer que x ne se trouve sur aucun des
contours d'intégration. La fonction ^ ' est alors une fonction ration^
nelle bien déterminée et ne devenant infinie pour aucune des valeurs de la variable situées sur les divers contours d'intégration. On peut donc aisément trouver une limite supérieure M^ que son module ne peut dépasser. Nous pourrons supposer aussi que la fonction A{2) ne devient pas infinie le long du périmètre de R„ et nous pourrons trouver une limite
Aeta ifttthemafica. I. 31
242 H. Poincaré.
supérieure M^ que son module ne peut dépasser quand z décrit le contour de Rg. Mais on aura identiquement:
\ri^ + ai) (YiZ + o,)-*
On en conclut que quand s décrit le contour de S le module de A{z) est plus petit que:
et celui de la fonction sous le signe f plus petit, que:
D'ailleurs quand r tend vers 1, M tend vers 0, puisque M^ et M^ sont des constantes et que H tend vers 0. Le théorème énoncé est donc démontré.
Deuxième Démonstration.
Posons :
ri« + Oi
Si dans cette expression on regarde g comme une constante, 0{z, a) sera une fonction thétafuchsienne de a. Supposons d'abord que 2 et a soient tous deux intérieurs au cercle fondamental; cette fonction thétafuchsienne ne deviendra infinie que pour a = z et pour les points correspondants, c'est h dire pour f{a) = f[z). Le résidu correspondant à l'infini z = a sera égal à ^- (f[i). On aura donc :
(10) ^(. a) = JZX^riiLMl^.W^
Dans cette expression (10) F^ia) désigne le produit suivant:
Mémoire sur les Fonctions Fuchsiennes. 243
â^[f{a)] désigne un polyn.Nnic c'ntiL-r de degré q en f{a) dont les coëftu-ieiits peuvent être des fonctions de z.
Enfin les nombres /, , /, K et q doivent satisfaire aux inégalités (3)
On voit aisément en effet que telle doit être la forme de toute fonction thétafuchsienne de a n'admettant aucun infini distinct de l'infini a -^ z. En comparant les inégalités (3) et (11) on trouve:
Je me propose maintenant d'établir l'égalité (9) en montrant que G{z) est identiquement nul, c'est à dire de démontrer l'identité:
ou bien:
Nous pouvons simplifier le second membre en supposant que l'on a: Si cela n'avait pas lieu, on multiplierait F^[a) et d^\f[a)'\ par
Le degré du polynôme ^, [/'(«)] serait alors augmenté, mais il resterait inférieur à p.
On peut donc toujours supposer
;,. = yfj. et par conséquent F{z) = l'\ [z) tout en continuant à supposer
244 H. Poincaré.
L'identité à démontrer se simplifie alors et s'écrit:
^/(^) -/(^x) [fW ^*7(^) -M) oAfi^)] [/'{z)]'
Si nous posons maintenant
P représentera un polynôme en fis,) dont le degré sera égal k q — 1 et ne pourra par conséquent surpasser p — 2. L'identité à démontrer se réduit alors:
et sous cette forme elle est évidente en vertu des relations (7). Le théorème énoncé est donc encore démontré.
Cette seconde démonstration nous conduit tout naturellement à un théorème important relatif aux fonctions thétafuchsiennes de 2''° espèce. Soit
une série où // est l'algorithme d'une fonction rationnelle n'ayant pas d'infini à l'intérieur du cercle fondamental. On a vu que cette série représente une fonction thétafuchsienne sans infini et peut être égalée à une expression de la forme:
(13) . [mr''-^^
0,j i étant un polynôme de degré q — 1 en /'(„~) et q étant k' plus grand nombre entier satisfaisant aux inégalités (11).
Toute expression telle que (13) peut s'exprimer linéairement à l'aide de q d'entre elles; donc toute expression telle que (12) peut s'exprimer linéairement à l'aide de q d'entre elles. Mais on peut faire deux hypothèses.
Ou bien toute expression telle que (13) peutétre mise sous la forme (12) et alors toute expression telle que (12) ne peut s'exprimer linéairement à l'aide de q — 1 d'entre elles.
Ou bien il n'est pas ])ossible de mettre toute expression (13) sous la forme (12) et alors toute expression telle que (12) peut s'exprimer linéairement à l'aide de q — 1 d'entre elles.
Mémoire sur les Fonctions Fuelisienncs.
Cutte deuxième hypothèse doit être rejetée. Supposons hi en effet satisfaite et soient:
les q — 1 fonctions telles que (12) à laide desquelles toutes les autres s'expriment linéairement. Soient maintenant
q valeurs quidronques de z. On pourra toujours trouver <i nombres
satisfaisant aux conditions:
On aura alors quelle que soit la fonction H qui entre dan sion (12)
expres-
Soit iz, — ^j une substitution quelconque du groupe G';
nnjntre aisément l'identité suivante en reprenant la fonction 0[z, 3^) plus haut et y faisant ^[z) = 1
on dedéfinie
(n«* + O.) ff r-^
i Xh^t + 0,/
246 H. Poincard.
H{z) étant l'algorithme d'une fonction rationnelle ne devenant pas infinie à l'intérieur du cercle fondamental.
Posons maintenant:
Des formules (14) et (15) nous déduisons:
Comme cela a lieu quelle que soit la substitution jg, — ^j que
l'on ait choisie dans le groupe G, il faudrait que l'on eût:
F{x) étant rationnel en x.
Mais .l(^) n'aurait que q infinis distincts, ^, , z.,, z,i. Or il est
aisé de voir qu'une fonction de la forme \-^\ F{x) doit toujours avoir
plus de q infinis distincts.
Donc l'hypothèse faite au début est absurde.
Donc toute expression de la forme (13) peut toujours être mise sous la forme (12).
Donc toute fonction de la forme (1) peut toujours être exprimée par une série de la forme (4) paragraphe 1 pourvu que m > 1.
Comment maintenant, étant donnée une série de la forme (4) § 1, pourrons nous la mettre effectivement sous la forme (1).
On donne une série S{z) de la forme (4) et il s'agit de la mettre sous la forme:
Nous connaissons d'abord les infinis de S[z) et les résidus correspondants; mais cela ne suffit pas pour déterminer complètement F{z)\ il reste dans cette fonction rationnelle un certain nombre de coefficients indéterminés. On peut d'abord calculer un nombre suffisant de valeurs de la
Mémoire sur les Ponctions Fuclisiennes. 247
série 6{z) pour avoir cU'S t'(iuations (lui permettent tir déterminer ces
coefficients. Il l'St plus simple d'opérer de la manière suivante. Considérons la fonction
Elle devient infinie, non seulement (juand 6(/) est infinie, mais quand
— est nul, c'est à dire pour:
dz
— j suivant les puissances croissantes de ^ — a, et on calculera les coefficients de toutes les puissances négatives. Quand ces coefficients seront connus, ainsi que les premiers coefficients du développement de x suivant les puissances de ^ — a,, la fonction F{x) sera aussi connue.
Mais pour trouver ces coefficients eux-mêmes, il faut calculer un certain nombre de valeurs de la série 6{z) et de séries analogues. Il est pourtant des cas on cette difficulté peut être évitée.
Reprenons la fonction
Ai ^ (^V M
^^'^ \dz ) [f{z) -M)] [f(z) -f(z,)] [/{z) -M)]
que nous avons étudiée plus haut; nous avons démontré l'identité suivante:
(8) -^^^^ = lX[nz.^r\ «■^. + /^.
Différentions cette identité 2h + 1 fois par rapport à z: il viendra:
le second membre peut s'écrire:
248 H. Poinearé.
Remarquons que si dans le groupe G, nous avons la substitution
( «.g + Pi \ j^Qj^^ aurons également la substitution inverse \z, — ".z + /■ \
C'est à dire que l'expression précédente peut s'écrire:
[' TiZ + àj
Le second membre de l'identité (16) est donc une série de la forme (4) ^ 1; il reste à mettre le premier membre sous la forme (1). C'est là un calcul qui ne présente pas de difficultés. J'en indique le résultat dans le cns de // =^ 1 et dans celui de /(. = 2. Soit
et soient /Ij , A^ , etc. les dérivées successives de /!„ par rapport à .r. Reprenons maintenant ré([iiation:
(3 bis) ^ = V<f{.r.)
et soient f^, , çr.^ , etc. les dérivées successives de jr par rapport à x. On aura dans le cas de h = 1
(17) ^^^J^-2A^,,^-A.K,){^ et dans le cas de // = 2
(18) ^' = (./, - 2()A,f - 30J,^. -. ISJ.^r,, - 4./,^, + 6iJ,<f' + G4./„ç^^^,)( J j'
On peut trouver une infinité de relations analogues à la relation (\6) par divers procédés; par exemple en différentiant cette relation par rapport aux divers paramètres ,5;,, z^, .... z^,.
Je vais maintenant poser un dernier problème que je ne résoudrai que partiellement.
Mémoire sur les Fonctions Fuclisiennes. 249
CoiisitU'i'ons la série (i) § 1
elle dépend de la fonction rationnelle H et je la représenterai pour cette raison par la notation :
Comment faiif-!I choisir la fonrfioii ratiomieUe H pour que fi soif identiquement nuV-f
La solution complète de ce problème serait sans doute très eoml)ru[uée; mais on peut s'aider dans chaque cas particulier des considérations suivantes:
1° Si l'on a identiquement
on aura également:
2° Si la fonction rationnelle H peut se développer en une série converge7ite de la forme suivante:
(S) l-Jl^ -]■ l-M, + + hll„ + ....
où Jx\ , Aj , . . . Z„ sont des coefficients constants et où //, , H.^, . . . //„ sont des fonctions rationnelles telles que:
Si la série (S) est convergente toutes les fois que 2 est intérieur au cercle fondamental, on aura identiquement
9{z, fl) = 0 3° Si l'on a identiquement:
et si, |z, — — ^j désignant une des substitutions de G, on pose:
Acta }latfiif'uafica, I. 32
250 H. Poincar^.
on aura iflentiquemeiit:
En effet posons pour abréger;
•fiZ + o, yz + () yz — a
la série (4) pourra s'émettre sous la forme;
Remplaçons maintenant s par f\{z) dans l'équation identique
il viendra:
ce qui démontre l'identité annoncée.
-1° Soit, pour reprendre les notations employées au début de ce chapitre, ot, l'un des sommets du polygone i?^ , et',, son symétrique par r:i|)port an cercle fondamental. Une des substitutions de G s'écrira:
(2i,T V Z «, -5- Z (Lr \ , «'*'■ r z — « ,. z — a r )
^r étant un nombre entier connu. Si nous posons:
on aura identiquement:
6>(«, H) = 0 à moins que:
2' + m = 0 raod. ^r
En effet considérons les diverses substitutions {z, f) du groupe G, on peut en choisir une infinité
Mémoire sur les Fonctions Fuchsieiitics. 251
et de telle sorte que chacuni- des fonctions f\{z) puisse être délinie d'une manière et d'une seule par une relation de la forme suivante
fi — «'r f * — «'r
/i étant un entier égal ou inférieur à /î^. On aura alors:
ai m V (/ - «->' ('^f^y
ou
«>'.«)== S.Ii,a==:7^4tr« "
Or si l'on n'a pas
£ + m = 0 mod. /Jr
on aura:
On aura donc
e{z, ff) = 0
5° Reprenons l'identité
ou
Faisons y successivement
f{z) = 1 et ,f{z) = ^-— -^
fc étant une quantité constante extérieure au cercle fondamental, nous obtiendrons deux identités de la forme (9).
252 H. Poincaré.
Multiplions la première par et rctraiiclioiis en la seconde;
il viendra:
en posant:
■fia + di
Posons encore
db"'+' (2A+ 1)!
il viendra, en diftercntiant 2/*+ 1 fois la relation (19) par rapport à b:
Or 8{b, ^v) <ist une fonction thétafuehsienne de b. Le premier membre de l'identité (20) est donc une série de la forme (i) § 1. Nous obtenons donc ainsi une série de cette forme qui est identiquement nulle quand b, (jui est ici la variable indépendante, reste extérieure au cercle fondamental.
Mais ce que nous cherchons, c'est une série de la forme (4) qui reste identiquement nulle quand la variable indépendante reste intérieure au cercle fondamental. Heureusement il est facile de passer d'un cas à l'autre. Posons en effet
a On aura:
;-,/) + Oi (t,z + /?',
^ il ^ il fil ^i désignant les ([uantités imaginaires conjugées de a,, /9,, ;-,, n,\ de sorte que les sul)stituti(His (« ''' '^ ^ ' 1 lonnent un iîroui)e (r cunjugué de (jr.
Mémoire sur les Fonctions Fuchsicnncs. 253
Di' iiHMiK' l'ii pdsaiit:
afi + /?. «',^ + ,i\
011 aura:
rf6 2j'^ dz
Nous aurons donc:
^(''' «) = S, (,,!)-- (S)"' = Z(i laz,rÀW''
ou enfin
^(6, rt) = /"+'e'(«, «)
en posant
Nous arrivons à l'identité suivante:
Les fonctions (9' sont des fonctions tliétafuehsieinies de s, de sorte que nous avons bien une identité de la foi-me cherchée. Mais le groupe des fonctions H' n'est pas le groupe G, mais le groupe conjugué G'. Passons donc du groupe G' au groupe G en changeant y — 1 en — y — 1 ; il viendra:
Dans cette formule -~ — xry et 3\ désignent les quantités imagi-
Aj,l\zt) naires conjuguées de , ^^-^^ et de Zt et Ion a pose:
254 H. Poincarc.
de sorte que !^i nous posons:
nous aurons identiquement
tant que z restera intérieur au cercle fondamental. 6" Supposons que Ton ait identiquement
e{z, ff) = 0
et que H dépende d'un paramètre arbitraire X; on aura également:
En combinant de diverses manièi'es les six principes qui précèdent on obtiendra une infinité de relations de la forme:
% 6. l^*"^ famille ; genre quelconque.
Nous nous sommes étendus sur les fonctions de la V" famille et du genre 0 parce qu'elles sont les plus simples de toutes et parce que les principes généraux, une fois démontrés dans ce cas particulier, s'étendent sans trop de peine aux fonctions de toutes les familles et de tous les genres. Nous insisterons moins sur les autres fonctions fuchsiennes et nous nous bornerons à faire connaître les particularités les plus remarquables qui les concernent.
Lorsque le polygone B^, tout en restant de la V" famille, n'est pas de la forme simple étudiée dans le paragraphe précédent, ou nest pas susceptible d'y être ramené, les fonctions fuchsiennes correspondantes sont de la 1'" famille et de genre plus grand que 0.
Commençons par un exemple simple. Soit un polygone Bg de in côtés et tel que les côtés opposés soient conjugués. Tous les sommets forment alors un seul cycle, de sorte que la somme de tous les angles
Mémoire sur les Ponctions Fuclisiennes. 20')
du polygone 7?„ est une partie aliquote de 2- Supposons d'abord qu'elle soit précisément égale à 2- On pourra alors exprimer toutes les fonctions fuclisiennes dérivées du polygone R^ k l'aide de deux d'entre elles que nous appellerons .r et y, et entre lesquelles il y a une relation algébrique :
qui est de genre n.
Reprenons l'équation (8) du § 4. Elle s'écrit:
et l'on a identiquement ;
en désignant par x', x", x'", les dérivées successives de r par rapport à z. Quelle est la forme de la fonction ^(.r, y)? Pour simplifier, je vais supposer que la fonction // de .r définie par l'équation (1) ne présente que des points singuliers de la nature la plus simple; c'est à dire que toutes les fois que l'on a:
on a, ou bien:
dy
(ce qui correspond pour la courbe algébrique (/'{x, y) = 0 à une tangente parallèle à l'axe de y et n'ayant avec la courbe qu'un contact du 1" ordre) ou bien:
^'-0 ^ijLV^'^>o ^>0
dx ~ \dxdy) dx'dy' < dy' <
(ce qui correspond pour la courbe algébrique (f'{x, y) = 0 à un point double ordinaire).
2r)G H. Pnincaré.
Nous supposerons on outre que si Téquation (1) est d'ordre r, on ;i pour X infini, r valeurs finies et distinctes du rapport ^- (ce qui correspond pour la courbe ^'(.r, ^) = 0 à r directions asyniptotiques distinctes).
Ces hypothèses ne restreignent pas la généralité; en effet on peut, parmi les fonctions fuchsiennes correspondant au groupe G, choisir d'une infinité de manières les fonctions x et y de telle sorte que toutes les autres s'expriment rationnellement en x et y et ce choix peut toujours se faire de façon à satisfaire aux hypothèses précédentes.
Reprenons maintenant notre fonction çÇr, //). Il est clair que pour les valeurs infinies de x, elle reste finie; qu'elle est finie également toutes les fois que x' n'est pas nul. Or x' ne peut s'annuler que si l'on a à la fois
dy. nx
Les seuls infinis de la fonction f (r, y) sont donc les points singuliers de l'équation (1) en n'y comprenant que les points singuliers ordinaires et non les points doubles de la courbe (1).
Considérons l'un de ces infinis, et soient ot, ^9, ;- les valeurs correspondantes de x, de y et de z. On voit aisément que le développement de X — a commence par un terme en {z — yY, celui de // — ji par un terme en z — y et on en conclut que l'on a:
~j <r{..; I,) = -^ (pour X = a, y = fi)
Ces conditions ne suffisent pas pour déterminer complètement la fonction ç{x, y). Celle-ci est assujettie en outre à un certain nombre de conditions transcendantes dont l'étude approfondie fera l'objet d'un mémoire ultérieur. Nous démontrerons de plus, dans un autre mémoire, que si ces conditions ne sont pas remplies, mais si les coefficients de ^'(.r, y) satisfont à certaines inégalités, x n'est plus, il est vrai, fonction fuchsienne de 2, mais en est encore fonction uniforme (Kleinéenne).
De combien de paramètres distincts dépend notre groupe G?
Pour définir un polygone de 4w côtés, il faut 8w — 8 conditions; mais notre polygone 7?^ n'est pas arbitraire. 11 est assujetti à 2« -\- 1
Mémoire sur les Fonctions Fuclisicnncs. 2">7
conditions, à savoir (|ue les cotés opposés soient congruents et que la somme des angles soit égale à 2- Il reste donc Gw — 4 paramètres arbitraires. Mais. on a vu, au § '.) du mémoire sur les groupes fuclisiens, (juim même groupe G pouvait être considéré comme dérivé d'une infinité de polygones différents et, en ettet, dans le cas qui nous occupe, on peut remplacer le polygone i?„ par un autre B,\ ayant ses côtés en même nombre et disposés de la même manière, mais ayant pour sominet un point quelconque du plan; de sorte qu'à un même groupe G correspond une double infinité de polygones R^ et ([ue le nombre des paramètres de G est de deux unités inférieur à celui des paramètres de R^ . Le groupe G dépend donc de 6n — 6 paramètres.
De combien de paramétres dépend la relation (1)? Bien entendu, je ne considère pas comme distinctes deux relations:
si l'on peut passer de l'une à l'autre par une transformation uniforme, c'est il dire en remplaçant ç et jy par des fonctions rationnelles de .r et de II. La théorie des fonctions abéliennes nous apprend que ces paramètres sont, pour une relation du genre n, au nombre de 3« — 3. Mais il s'agit de 3/f — 3 paramètres complexes qui correspondent à 6« — G paramètres réels; c'est à dire que le nombre des paramètres dont dépend la relation (1) est précisément le même que celui des paramètres du groupe G. S'en suit-il que l'on puisse disposer des paramètres du groupe G de telle sorte que l'on ait entre x et ;/ telle relation algébrique que l'on veut? C'est ce que nous démontrerons dans un mémoire ultérieur. Dans le cas particulier de n ^= 1, nous n'avons plus affaire à des fonctions fuchsieimes proprement dites. En effet, dans les polygones curvilignes R^ dont tous les côtés sont des arcs de cercle coupant orthogonaleraent le cercle fondamental, la somme des angles est toujours plus petite que celle d'un polygone rectiligne d'un même nombre de côtés. Pour un quadrilatère, la somme des angles devrait être plus petite que 2r. Mais ici nous avons supposé que la somme des angles de notre polygone curviligne de 4m côtés était précisément . 2 ~. Si l'on veut faire « = 1, le polygone R^ devra devenir rectiligne, le rayon du cercle fondamental deviendra infini et le quadrilatère R^ se réduira à un simple parallélogramme rectiligne; le groupe G se réduira alors à des substitutions de la
Acta inathematira. I. . 33
258 ■ H. Poinca.é.
forme (z, ^ + et) et ks fonctions fuchsiennes qui en dérivent se réduiront à des fonctions doublement périodiques. C'est dans ce sens que l'on peut dire que les fonctions eHipti(iues sont des cas particuliers des fonctions fuchsiennes.
Supposons donc 1/ > ]. Le polygone i?^ peut présenter différentes formes de symétrie. Il j)eut d'abord être symétrique par rapport à un cercle coupant orthogonalement le cercle fondamental; dans ce cas, les coefficients des fonctions ç/'(,r, 9/) et ^{x, y) sont réels. Supposons maintenant qu'il soit symétrique par rapport à un point, ou qu'il puisse être ramené, soit par un changement convenable de la variable z, soit par l'application de la règle du § 9 du mémoire sur les groupes fuchsiens, à être symétrique par rapport à un point: dans ce cas la relation (1) se ramène à la relation hyperelliptique:
y- = (a' — a,) (.« — rtj (.1- — 02J
Mais la réciproque n'est pas vraie.
Considérons maintenant une intégrale abélienne de 1 *''■'' espèce:
(4) J,j{.v, yylx
et remplaçons x et 1/ par leurs valeurs en z; il viendra:
j'<j{x, i,)ch' = J'g(z)'£dz = G{z)
ffiz) désignant une fonction fuchsienne de s et G{z) une fonction uniforme de z, holomorphe à l'intérieur du cercle fondamental et cessant d'exister à l'extérieur de ce cercle.
Soit jg, "''^ \' j unq des substitutions du groupe fuchsien; on aura identiquement:
Kj étant l'une des périodes de l'intégrale abélienne. Ainsi à chaque substitution de notre groupe correspond une des périodes de l'intégrale (4).
Mémoire sur les Fonotinns Fiirlisieimcs. 259
Mais nii [ii'ut se jilarcr à un autre point tic vue. Soit ah un des côtés du polygone R^\ on aura:
(j{z)dz = G{h) — G{a)
G{h) — G{a) .sera alors une des périodes de l'intégrale (-i) de sorte qu'à chaque côté de B^ correspond une de ces périodes.
Si cd est le côté conjugué de aO, on aura évidemment:
Il en résulte qu'à deux côtés conjugués correspond la méuic p<''ri()de prise en sens nmtraire et qu'aux 2n paires de côtés conjugués de notre polygone, correspondra un système fondamental de 2« périodes de l'intégrale (4). Mais ces périodes ne seront pas les périodes normales.
Mais parmi les polygones équivalents à R^, en vertu de la règle du § 9 du mémoire sur les groupes fuchsiens, il en est un (|ui présente à cet égard une particularité remarquable. Considérons un polygone R'^ de in côtés dont les souimets soient en suivant le périmètre dans le sens positif:
a,, ^, , c, . di, flj, &2. t'a, «', «n, f>„. c„, </„.
Pour plus de symétrie dans les notations, je désignerai indifféremment ce dernier sommet par les lettres d„ et d^ . Je siq^pose que le côté (7,^1 ff, soit conjugué de 6, C; et que le côté a^ 6, soit conjugué de f, d^. En d'autres termes le côté de rang \p -\- 1 est conjugué du côté de rang •i^^ + 3, et le côté de rang \p + 2 conjugué du côté de rang \p + 4. On voit sans peine que tous les sommets d'un pareil polygone appartiennent à un même cycle et que le polygone R'^ appartient au genre n. Je suppose de plus que la somme des angles soit égale à 2~; on voit alors facilement qu'il peut être ramené à un polygone tel que R^ par l'application de la règle du § 9.
Envisageons maintenant deux intégrales abélieimes de 1'" espèce.
(4) / gr(.c, yVU = / g(z) '^dz = G{z)
(5) Jg,{x,y)dx=Jg^{z)^dz = G,(z)
260 H. Poincaré.
Posons:
ti-i \
j g{.)^d. = - j oi «i "^i
^j{z)^ch = G{h,)- G{a,)=B,
(z)^dz--=G,{a,)- G^(d,,) = A\
-dz=G,{b,)~G^ia.) = B\
Les périodes A^, I?,, A\, B'i des intégrales (4) et (5) correspondront ainsi aux -divers côtés du polygone I{\ .
Si maintenant nous prenons l'intégrale:
G,{z)g{z)'^dz
le long du périmètre de R'^, cette intégrale doit être nulle et en développant l'intégrale, on trouve sans peine l'identité bien connue:
ce qui prouve que les périodes A,, B,, etc. sont les périodes normales.
Je n'insiste pas sur ces considérations qui montrent quel parti on pourra tirer des fonctions fuclisiennes pour l'étude des intégrales abéliennes.
Je suppose maintenant que la somme des angles de B^ soit, non
plus 27r, mais -^, jS étant un entier.
Voyons quel changement cette hypothèse apportera dans ce qui précède. La relation (1) sera toujours de gein-e ti. La fonction ç{x, i/) jouira des mêmes propriétés que dans le cas ])récédent, avec cette seule diffé-
Mémoire sur le» Fonctions Fuchsicnncs. 261
rence qu'elle deviendra infiniL- pour .r = «, y -=^ h; r'est à dire pour les valeurs de x et de // (jui eorrespondent aux sommets du polygone i?„. On aura alors:
liin. (,c — aYifix, 7/) = — 1 ( 1 — 1^ j (pour .r = rt, y = h)
Les points singuliers de l'équation (3) sont alors ceux de la relation (1) et le point a, h.
Considérons maintenant un polygone B^ de la 1'" famille, nuiis d'ailleurs tout à fait queleon([ue; soit 2h le nombre des côtés et jj le nombre des cycles. Supposons, que si l'on calcule la somme des angles appartc-
liant aux différents cycles, on trouve respectivement — ^, —, -^,
pour le 1", le 2*, ... et le ^° de ces cycles. Les fonctions fuchsiennes dérivées de ce polygone B^ s'exprimeront rationnellement à l'aide de deux d'entre elles que j'appellerai x et y et entre lesquelles il y aura une relation algébrique
de genre :
Soient (f/j, ft,), (</,, ij, («>, h,) les valeurs que prennent x et y
quand la variable z vient en l'un des sommets du 1", du 2^ ou
du p^ cycle.
J'appelle (c-^, d^) les points analytiques pour lesquels on a:
J'appelle [e^, Q les points analytiques pour lesquels on a:
cZ^'' d(/'
dx dy
Je conserve d'ailleurs pour la fonction (/'{x, y) que je suppose d'ordre r, les hypothèses faites plus haut. Le nombre des points c,, dt est alors:
262 H. Poincaré.
et celui det; points e^, f, est
L'équation (3) s'écrira:
^, = iT(-- y)
La fonction f'(.r, //), rationnelle en x et en //, devient infinie: 1° pour X = c,, // ^ di\ on a alors:
lim. {y - d,y(^y,r(.c, y) = -| (pour ,r = c„ y = rf,)
2° pour X ^ a,, >/ = h,\ on a alors:
■ lim. (# — a,)V(.ï. y) = r- (P^""" X :^ a„ 1/ = h,)
Les conditions auxquelles on doit assujettir le groupe G pour que l'on ait entre x et if luie relation (1) donnée et pour que les quantités (rt,, b,) et les nombres entiers j9, aient des valeurs données sont au nombre de 6P — 6 + 2^- Le nombre des paramètres dont dépend le groupe G est aussi de 6P — 0 + 2^;. Il ne s'en suit pas immédiatement que l'on puisse disposer de ces 6P — 6 + 2jj paramètres de façon à satisfaii-e à ces 6P — 6 + 2^j conditions. Mais je démontrerai dans un mémoire ultérieur qu'il en est effectivement ainsi et qu'il existe toujours deux fonctions fuchsiennes .;; et // qui correspondent à un même groupe G, entre lesquelles il y a une relation algébrique donnée
et qui pour 2> systèmes donnés de valeurs (x = a,, >/ = ij, (r = a^, y = h^, . . . [x. = a^, y = hj,) voient leurs dérivées des yîj — 1 , p.^ — 1 , ... j?^ — 1 premiers ordres s'annuler, (yîj , /?j , .... /?,, étant des nombres entiers donnés).
Etudions maintenant les fonctions thétafuchsiennes. Leur forme générale sera :
Mémoire sur les Fonctions Fuclisionnef!. 263
F désignant une fonction rationnelle de ./■ et de //.
Quelles sont les conditions pour que cette fonction tliétafuchsienne soit de 2'''" espèce, c'est à dire reste holoniorphe à l'intérieur du cercle fondamental. La fonction FÇr, jf) pourra toujours s'écrire
Pi-r, y)
^,j , Àj, ... ?,^, étant les plus grands nombres entiers sati.sfaisant aux iné-
galités:
On reconnaîtra ensuite aisément quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que la fonction (6) soit de 2'''" espèce:
1° La fonction rationnelle PÇr, if) devra se réduire à lui polynôme entier.
2" Les 2^'' — 1) points d'intersection de la courbe (f>(.r, ?/) = 0 avec les droites .r r= a^ ^ ,r rr^ a^ , ... ,r = a^ [en exceptant les points singuliers (.r = ff, , ;/ = />,), (,/■ ^ a^, >/ = h.^), (.r = «^, i/ = h^'] devront appartenir à la courbe P{.r, y) = 0; cette dernière devra avoir un contact d'ordre /, — 1 avec la courbe d'[.r, y) ^= 0 aux points où cette courbe rencontre la droite .r = a, (en exceptant toujours le point singulier x = a,,
Cela éipiivaut pour le polynôme l\x, y) à:
conditions.
3° Le degré du polynôme P(.r, y) devra être au plus égal à:
4° Considérons maintenant les points r = e,, y = f., c'est à dire les points doubles de la courbe ^(.r, //) = 0; ils devront appartenir à la
264 H. Poincaré.
courbe P{x, y) = 0, et même (puisque m > 1) être pour cette courbe un point double. Enfin les deux branches de la courbe P = 0 devront avoir respectiveinent avec les deux branches de la courbe ^' = 0, un contact d'ordre m — 2. Cela équivaut pour le polynôme P{.r, y) à 2*» — 1 conditions pour chacun des points doubles .r = e,, y = /j, c'est à dire en tout à
conditions.
Un polynôme de degré N ;. + /»(r — 3) dépend de:
paramètres. Mais si l'on tient compte de la relation (1) et si l'on a:
(7) y?^ + m{r - 3) â r ce nombre se réduit à:
Mais notre polynôme est assujetti d'une part à (r — 1) 7 /"', d'autre part à. {2m — ]) ^'' "~ ^^^'"^ "^ p conditions. Il reste donc dans ce polynôme :
paramètres arbitraires. Mais ce n'est là qu'une limite inférieure du n(jmbre des parainètres arbitraires restant réellement dans notre polynôme. Car il se peut faire:
r Que la condition (7) ne soit pas remplie. Alors l'expression des paramètres arbitraires restant dans notre polynôme n'est plus
Mémoire sur les Fonctions Fuchsiennes. 205
mais:
1 f\À + )«('■ - :>) ^ 0(y '• + "<>' - 3) + 2^ - (>• - dV /. - (,-2m - 1) A' - ^K'"-2) jA
Cette seconde expression diffère de la première do:
Il en résulte (jue les deux expressions ne diffèrent pas si l'on a:
^/ + {r,i — 3) — r = — 1 ou — 2
L'expression (S) ne cesse par conséquent do roprésonter le nombre des paramètres restes arbitraires que si l'on a:
Or cette inégalité jointe, à ;» ^ 2, r ^ 3, entraîne les égalités suivantes:
Mais ce cas où l'on a r = 3, P = 1, > / = 0 et où par conséquent
tous les / sont nuls, est précisément celui des fonctions elliptiques dont nous n'avons pas à nous occuper.
2° (^n peut se demander aussi si les
(.l)V;..Ko„,i,[(>-lH'--2)p]
conditions auxquelles nous avons assujetti notre polynôme sont toutes distinctes. Voici comment on peut tourner la difficulté. Soit N le nombre des zéros distincts de l'expression (6); le nombre iV + 1 sera évidemment une limite supérieure du nombre des paramètres restés arbitraires dans cette expression. Mais cette limite peut encore être abaissée. En effet l'expression (6) s'annule quand la variable z vient en l'un des sommets de Rg ; ce sont là des zéros qui ne sont pas arbitraires. Si donc N' est le nombre des zéros réellement distincts qui coïncident avec les sommets
Acta mnthematira. I. 34
2CiCi IT. Piiinc.nré.
de B^, nous devons prendre pour notre limite supérieure N — N' -\- 1. Ce n'est pas tout. Si l'on considère une expression rationnelle en x et y, admettant q zéros et q infinis, la théorie des intégrales abéliennes nous apprend qu'on ne peut pas choisir arbitrairement les q zéros et les q infinis, mais que la connaissance des q infinis et de q — P des zéros suffît pour déterminer les F derniers zéros. Or les iV — N' zéros qui restent de notre expression (G). sont ceux de la fonction rationnelle:
dont nous connaissons les infinis. Il en résulte que N — JV' — P d'entre eux suffisent pour déterminer tous les autres et que nous devons prendre finalement pour notre limite supérieure N — iV — ■ i' + 1. Or les principes du § 3 nous donnent:
N t= m\n — 1 — Xô" 1
c'est à dire que notre limite supérieure coïncide avec la limite inférieure
trouvée plus haut. Il y aurait exception dans le cas > A — 0, P —- I
c'est à dire dans le cas des fonctions elliptiques dont nous n'avons pas à parler.
Il résulte de là. (pie toutes les fonctions thétafuchsiennes de la 2'"" espèce (aussi bien celles qui peuvent s'exprimer par une série de la forme (4) § 1 <|ue celles qui ne peuvent s'exprimer par ime pareille
série) peuvent s'exprimer linéairement à l'aide de > >>. + (2"' — 1)(^ — ^) d'entre elles.
Considérons maintenant une fonction de la forme:
Mémoire sur les Fondions Fuchsicnnes. 267
F dcsigiiaut une Ibiiction nitioniielle en x et eu // et clurehiiiiî; t^uel est le ininimuiu du nouibre des infinis distinets d'une piireille expression.
Nous supposerons que les SDUiiuets de 7?„ ne sont pas des infinis de notre fonction A{z). Pour que le nombre des infinis soit inininmin il faut que celui des zéros le soit aussi, il faut par consécpient que les sommets de i?g soient des zéros d'un ordre aussi peu élevé (jue possible. Pour réaliser cela, posons, ce qui est toujours possible:
les X étant précisément les nombres entiers définis phis liaut. Nous reconnaitrons que pour que le nombre des zéros distinets soit un miiiiniuni, il faut et il suffit 1" (jne P(.r, y) soit un polynôme entier de degré
> / + 0" — !)('■ — 3), '1° que la courbe F = 0 passe par tous les points
d'intersection de la courbe i[< = 0 avec les droites .c = «^ , x = «., , .... X = a^ autres que les points singuliers {x ■= «,, // ^= i,) et que les deux courbes aient en ces points un contact d'ordre /, — 1. 3" enfin que la courbe P = 0 admette les mêmes points doubles que ç^' = 0; et de fat/on que les branches qui se croisent en ces points doubles aient avec celles de {p = 0 des contacts d'ordre m — 2.
En effet il est possible de satisfaire à ces conditions, car le jjolynôme F{x, ij) contient comme on l'a vu:
jiaramètres et nous n'avons à remplir (|ue:
(r - 1 )V/ + (m - |)[(r - 1) (r - 2) - 2PJ
conditions.
Il reste donc
paramètres arbitraires dans notre polynôme F{.r, ij). De plus on voit aisément que si nos conditions sont remplies, le nombre des zéros distincts
2(38 H. Poincaré.
et par con.sé(|uent celui des infinis est miniiinini, car le nombre tics zéros
distincts qui se confondent avec les soiniuets de R^ est aussi petit cpie
possible et il n"y u pas de zéro en dehors de ces sommets. On trouve,
en appliquant la règle du § 3 que le nombre minimum des inlinis est
Comme le polynôme P{x, y) ne dépend que de 7 / + (2)^? — 3) (P — 1)
paramètres il s'en suit que nos J infinis distincts ne peuvent pas être . choisis arbitrairement, mais que la connaissance de J — P d'entre eux suffit pour déterminer les P autres. On ne peut donc en général déterminer la fonction ,1 de telle sorte qu'elle ait J infinis donnés et qu'elle n'en ait pas d'autres.
Quel est le plus petit nombre J' tel que l'on puisse toujours déterminer la fonction ,1 de telle sorte qu'elle ait J' infinis donnés et n'en ait pas d'autres? La fonction ,1 admettra alors J' — J zéros et J' — J infinis distincts de plus que les fonctions de même forme qui n'ont que J infinis, et par conséquent elle contiendra "IJ' — 2J" paramètres de plus qu'elles, ou en tout
ou, en remplaçant -/ par sa valeur:
