A PARIS

§ 1. Sttbutltutions imaginaires.

Dans un mémoire antérieur, j'ai étudié les groupes discontinus formés par les substitutions linéaires à coefficients réels. Dans le présent travail, j'ai l'intention d'exposer quelques résultats relatifs aux groupes de substitutions linéaires à coefficients imaginaires. Ces substitutions se classent naturellement en quatre catégories, comme on va le voir.

Soit:

une substitution quelconque, où je suppose toujours:

ad — ,9j- = I .

Si on a:

(« + rî)= = 4

la substitution peut se mettre sous la forme:

a et A' étant des constantes. On dit alors qu'elli^ est jxndhoJif/iie.

Acta matfii'matica, 3. Imprimé G Août 1883.

50 ' H. Poincard.

Si on a:

(« + oy- < 4

la substitution peut se mettre sous la forme:

a, h, K étant des constantes.

Si

(a + (ly réel positif et > 4

K est réel positif et la substitution est hyperhoJique.

Si

(et + (ly réel positif et < 4

K est imaginaire ou négatif et a pour module i, la sul^stitution est élUptirpie.

Si enfin (a + Oy est imaginaire ou négatif, K est également imaginaire ou négatif et la substitution est loxodromiqiie.

Une propriété commune à toutes ces substitutions linéaires c'est de transformer les cercles en cercles. Représentons en effet, à l'exemple de M. Hermite, les quantités imaginaires conjuguées de k, p, . . . par la notation

La substitution

peut s'écrire:

L'équation générale d'un cercle s'écrit d'ailleurs

(2) Azz„ + Bz + B^z, + C^o

A et C étant essentiellement réc'ls, et il est clair qu'on retombera sur ce cercle (2) en appli(iuant la substitution (i) au cercle dont voici l'équation:

A(az + ft){u„z, + fi,) + B{az + ft){r„z, + <\) + BJyz + rî)f«„r„ + Â) + (Hyz + n)(y,^z, + J„) - G

ou hii'ii:

Jlémoire sur les groupes kicinéens.

Ecrivons maintenant l'équation (l'u;ic inversion par rapport au cercle (2), c'est à dire de l'opération qui consiste à changer un point (juelcoïKiue .- en son tnmsfornic par i-ayons vecteurs réciproques, en prenant [)our pi')le de la transtbrniatiou le centre du cercle (2) et pour paramètre de la transformation le carré du rayon de ce cercle. Voici cette équation.

Soit / le transformé de z par cette inversion, on aura:

B, si'4^iC-BB,

"^ 2/1 2Az^ + B

Soient C^ et C^ deux cercles quelconques, et appelons I^ et /.^ les inversions opérées respectivement par rapport à ces deux cercles. Si nous faisons subir à uu point quelconque l'inversion I^ puis l'inversion 7,, l'opération résultante que l'on pourra représenter par la notation /j/^, sera une substitution linéaire comme il est aisé de s'en assurer. Cette substitution sera parabolique si les deux cercles C^ et C^ se touchent, eHi[)tique s'ils se coupent et hyperbolique s'ils ne se coupent pas.

Supposons qu'on étudie la résultante non plus de deux, mais de plusieurs inversions successives. Si ces inversions sont en nombre pair, la résultante sera une substitution linéaire; si elles sont en nombre impair, la résultante sera une opération plus complexe ({ui pourra être regardée comme une substitution linéaire suivie d'une inversion. De plus tonte suOditutiun linéaire peut être regardée d'une infinité de manières comme la résultante d'un nombre pair d'inversions.

Le o-roupe obtenu eu combinant de diverses manières les différentes inversions imaginables contient donc toutes les substitutions linéaires.

Posons:

ç et jy seront les coordonnées d'un point représentatif de z dans son plan.

52 H. Puincarc.

Considérons niiiintciiiint un point (juclcoiiqiK-, non plus dans le plan ^ri, mais dans l'espace et soient c, r^, C «*^s coordonnées; je supposerai C positif de telle façon que le point considéré soit au dessus du plan des çYj. On a vu que la substitution (i) change un point quelconque f, jy du plan des CJ^ en un autre point de ce même plan. Nous allons étendre la définition de la substitution (i) de façon à ce (ju'on puisse appliquer cette substitution, non seulement à un point du plan çrj, mais à un point quelconque de l'espace. La substitution (i), nous l'avons vu, peut être retrardée comme la résultante d'un certain nombre d'inversions faites successivement par rapport à certains cercles du plan des ^rj que j'ap])elle C'j , C\^,...C'„. Soient 1\, 1'., ,...!'„ les sphères qui ont même centre et même rayon que ces cercles. Considérons l'opération qui consiste à effectuer n inversions successivement par rapport aux sphères 2'j , -.-,,...!'„. Cette opération, si on l'applique à un point du plan des ^rj ne diffère pas de la substitution (i). On pourra donc définir encore ainsi la substitution (i) quand il s'agira de l'appliquer à un point de l'espace situé en dehors du plan des çjy.

^ Une inversion par rapport à l'une des sphères 1\ , 2'^ , . . . 1], transforme les sphères en sphères; elle transforme en lui-même le plan des t)y; elle conserve les angles; elle transforme toute figure infiniment petite en une figure infiniment petite semblable; toutes ces propriétés appartiennent donc à leur résultante, c'est à dire à la substitution (i) généralisée.

Supposons que l'inversion par rapport au cercle C\ par exemple, change un certain cercle K du j^lan des fiy en un autre cercle K^ de ce même plan. Soient S et S^ les sphères qui ont même centre et même rayon que K et K^ ; il est clair c[ue l'inversion par rapport à la sphère 2'^ changera S en S^. Si donc la substitution (i) change le cercle iv en un certain cercle K„, et si S et S„ sont les sphères qui ont même rayon que K et K,,, la substitution (i) généralisée changera S en S„. En effet la substitution (i) équivaut à n inversions opérées respectivement par rapport aux cercles C^, C\,...C'„; ces inversions changent successivement le cercle K en K^ puis en iC^ , . . . puis enfin en K„ . Soit Si la sphère qui a même rayon et même centre que K,. La substitution "(i) généralisée équivaudra à ti inversions opérées respectivement par rapport aux sphères 1\ , 1\, • • • 1], et ces inversions changeront successivement la sphère S en S^, puis en iS'j,...puis enfin en «S,,. ' C. Q. F. D.

iMumoirc sur lis groupes kleinéens. â;^

l'oiir ju>tilici- la .Irliiiitioii i.ivcrdoiifc, il iaut flaljlir ce (|ui suit: La substitution (i) peut être regardée (rutie in/iitifé de manières coumie la résultante d'un nouil)re pair d niversioiis cpérées par rapport à divers cercles du plan des.ay. Les cercles C\, C'..,...6'„ ne sont donc pars parfaitement déterminés. Il faut faire voir que la substitution (i) généralisée est cependant une opération parfaitement déterminée. Supposons en effet que la substitution (i) puisse être regardée:

1" d'une part comme lu résultante de n inversions opérées par rapport aux cercles C\ , 6',, . . . 6'„

2" d'autre part comme la résultante de p inversions opérées par rapport à p autres cercles C\, 6"^....C",.

Soit 2"; la sphère (pii a même centre et même rayon que ("..

Soit maintenant un point I> quelconque de l'espace; appli.|uoiis lui

successivement les inversions par raijport aux sjjhéres 1\, 1], 2',,; nous

obtiendrons un certain point (J. Appliquons maintenant' au point I> successivement les inversions par rapport aux .sphères 2'' ,2" ... 1" nous obtiendrons un certain point (/. Appelons ces deux opérations {^, Q), {1*, Q'); elles satisfont toutes deux à la définition de lu substitution (i) généralisée, il faut donc démontrer que les deux points Q et Q' coïncident. Eh bien, nous pouvons faire passer par le point F trois sphères S, S', S", ayant leurs centres dans le plan des çr^ et coupant ce plan suivant trois grands cercles K, K et K".

La substitution (i) changera ces trois grands cercles en trois autres eercles A^ , K\ et K'\ du plan des çyj. Soient S^, S\ iti S'\ les sphères qui ont même centre et même rayon que ces cercles; l'oijération (7^ Q) de même (|ue l'opération (P, Q') change S, S' et S" en S^, S\ et -S"',. Le point C^, de même que le point Q' se trouve donc à l'intersection dès trois sphères S^, S\ et S'\. Donc ces deux points coïncident. Donc la sub.stitution (i) généralisée est une opération [)artaitemeut déterminée.

Il reste à trouver les équations de cette opération. Pour détinir un l>oiiit F de 1 espace, nous emploierons les trois coordonnées suivantes:

z = ç + i7i z^ = =—ir^ ^» = f^ + ^^ + -^ = ^^^ + ^..

C étant supposé positif, ces trois coordonnées suffisent pour définir complètement le point F.

54 H. Poiiicaré.

Soient i)'\ / et z' ^ le,s trois coordonnées du point (} transfornié de P par la substitution (i) généralisée. Exprimons (jue le point P se trouve sur la spli/'re (jui a même centre et même rayon que le cercle (3); j'ai à écrire:

+ ^o(^J;K + ^/^ro + B^rh„ + Coyj + (.(;9,?„ + Bf:l,l + BJ,i + CodJ = o.

Si le point P est sur la splièi'e (pii a même centre et nuMiie rayon que le cercle (3), le point ',> devra se trouver sur la sphère qui a même centre et même rayon cjue le cercle (2) transformé de (3) par la substitution (1), d'où l'équation:

(5) Af^ + Bz + BJ^ + C = o.

Ces deux équations, si on y regarde A, B, B^ et C comme*les inconnues doivent être équivalentes. t)n a donc:

/«Vr»

.«-'«ru

+ zjr„

+ fl'l

+ ^Ao

+ oAo

p'm, + ^M + z„OY^ + oi\

Telles sont les équations de la substitution (i) généralisée.

Passons aux propriétés générales de cette substitution.

Si la sul)stitution (i) est elliptique, elle change en eux-mêmes tous les points du cercle C (jui passe par les deux points doubles, qui a son centre dans le ])lan des çjy au milieu de la droite qui joint ces deux points doubles, et dont le plan est perpendiculaire au plan des Çvj. Elle change également en eux-mêmes une infinité de cercles dont la propriété caractéristi([ue est (jue toutes les sphères qin passent par ces cercles coupent orthogonalement le cercle C précédemment défini. Nous appellerons ce cercle C, cercle double de la substitution elliptique.

Mémoire sur les groupes kloindons. 55

Si lii siilKtitution (i) (st liyi>cH)oli,|ii,., il n'y a (|iic deux points do l'espace qui ne sont pas altérés par la substitution, ce sont les deux points doubles situés dans le plan des çr^. La substitution change en elles-mêmes toutes les circonféreuces et toutes les sphères qui passent par ces deux points.

Si la substitution (i) est parabolique, il n'y a qu'un seul point double inaltéré par cette opération qui change d'ailleurs en elles-mêmes toutes les circonférences et toutes les sphères qui sont tangentes au point double à une certaine droite du plan des ^r.

Supposons enfin que la substitution (i) soit loxodromique; elle n'altérera pas le cercle C qui a pour diamètre la droite qui joint les points doubles et dont le plan est normal au plan des çr^. Mais à l'exception des points doubles, elle altérera tous les points de ce cercle.

En résumé, toute substitution qui n'altère pas un point situé en dehors du plan des çy^ est elliptique.

Nous avons vu plus haut que le substitution (i) généralisée transforme tonte figure infininu-nt petite en une figure infiniment petite semblable. Cherchons le rapport de similitude. Si l'on considère une inversion unique, il est évident que les dimensions homologues de deux figures infiniment petites transformées l'une de l'autre, seront entre elles comme les coordonnées C des centres de gravité de ces figures. Il en sera donc de même quand au lieu d'une inversion unique on envisagera la résultante de plusieurs inversions, c'est à dire la sul)stitution (if généralisée.

Si donc ou appelle r/s, dw ou dv un arc de courl)e infiniment petit, ou une aire plane ou courbe infiniment petite, ou un volume infiniment petit, et si C est la distance de cet arc, de cette aire ou de ce volume au plan des çjy, si on appelle ds', div' ou dv' les transformés de r/.s, dw ou dp par In substitution (i) généralisée et si f est la distance de ds', dw' ou dr' au plan des çvj, on aura:

/5\ ds ^ d^ dw div' dv dv'

Nous dirojis que deux figures sont rom/riienfes lorsqu'elles seront transformées l'une de l'autre par une opération telle que la substitution (i) généralisée.

50 H. Poincai<5.

Noua nppelloron.^ L fl'un nro, l'intcgriile:

ds

étendue aux diftérents éléments de cet arc. Nous ajux'llcrons 6' d'une aire plane ou courlîe, l'intégrale

dw

étendue aux divers éléments de cette aire et enfin nous appellerons V

d'un solide, l'intégrale

rdv

étendue aux divers éléments de ce solide.

Il résulte des équations (6) que deux ar(;s congruents ont même L, que deux aires congruentcs ■ ont même S et deux solides congruents même V.

Supposons maintenant que l'on enlève aux mots droite et plan leur sio-nification pour appeler droite ou plan toute circonférence on toute sphère qui coupe ortiiogonalement le plan des çjy. Suj)posons aussi qu'enlevant aux mots longueurs, surfaces et volumes leur signification, on appelle ainei ce que nous venons d'appeler L, S et V. Supposons enfui qu'on conserve, aux mots circonférence, sphère et angle leur signification hahituelle. On reconnaîtra alor,s ([n'interprétés de la sorte, tous les théorèmes de la géométrie non-euclidienne de Lobatrchewski, c'est h dii-e de la géométrie qui n'admet pas le postulatum d'EuCLiDE, sont parfaitement exacts. On voit aussi cjuel lien il y a entre la théorie des sul)stitutions linéaires et la aéoi'^étrie non-euclidienne. C'est de ce même lien que M. Klein a fait usage jjour trouver tous les groupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire.

Mumoirc sur les groupes klcinécns. 57

§ 2. Groujics (liscoutiinfs.

Je me propose de former les groupes discontinus qui sont dérives d'un nombre fini de substitutions linéaires à coefficients imaginaires. Mais avant d'aller plus loin, il y a lieu de faire une distinction qui n'avait pas de raison d'être dans la théorie des groupes fuchsiens, mais qui est "ici d'une importance capitale. Cette distinction a été très nettement établie par M. Klèin^ (Mathematische Annalen, Bd XXI, page 176).

Nous appellerons substitution infinitésimale toute substitution linéaire telle que les modules de a — \, fl, y, d — i soient infiniment petits.

Si un groupe contient une substitution infinitésimale, c'est à dire si l'on peut trouver dans ce groupe des substitutions telles que les c^uatre modules cités plus haut soient plus petits que toute quantité donnée sans être nuls, le groupe est continu.

Mais parmi les groupes qui ne satisfont pas à cette condition, c'est à dire parmi les groupes discontinus, il y a lieu de distinguer deux classes, que nous appellerons les groupes proprement et improprement discontinus.

Un groupe sei-a improprement discontinu dans le "voisinage d'un point z, si dans un domaine D envelo'ppant le point z , on peut trouver une infinité do transformés de ce point par les substitutions du groupe, et cela quelque petit que soit le domaine D.

Le groupe sera pi'oprement discontinu dans le cas contraire.

Si par exemple il s'agit d'un gi-oupe de substitutions appliquées à une (juantité réelle z, on pourra prendre j)Our le domaine 1) le segment de droite compris entre le point z — s et le point z -\- s; s'il s"agit de substitutions appliquées à une quantité imaginaire z ou à un point z du plan, le domaine D sera un cercle ayant pour centre le point z; s'il s'agit d'un point F de l'espace, D sera une sphère ayant F pour centre, etc.

Pour éclaircir ce qui précède par un exemple simple, considérons le groupe formé par les substitutions:

Acta matUemalica. S, Imprimé 21 Août 1883.

58 H. Poiucaid.

où a, /?, ;-, â sont des entiers réels, tels que 7.0 — /9;- = i. Il est clair que ce groupe ne contient pas de substitution infinitésimale, il est donc discontinu. On voit de plus que si s est réel, on peut choisir a, J9, y, ô de telle façon que

soit aussi petit que l'on veut, sans être nul; tandis que cela est impossible si s est imnginaire. Le groupe est donc improprement discontinu pour z réel et proprement discontinu pour z imaginaire.

Ce qui l'ait que nous n'avons pas eu à faire cette distinction dans le cas des groupes fuchsiens, c'est que tout groupe discontinii formé de substitutions réelles est proprement discontinu toutes les fois que z est imaginaire. C'est ce que je vais démontrer ici; car la démonstration que je veux donner de ce fait permettra de comprendre plus facilement ce qui se rapporte au cas plus général qui nous occupe dans ce mémoire.

Soit G un groupe quelconque formé de substitutions réelles, soit z un point imaginaire quelconque; supposons que dans tout domaine D entourant le point ,* il y ait une infinité de transformés de ce point par des substitutions de G, je dis que ce groupe contiendra des substitutions, infinitésimales.

En effet je dirai qu'une quantité qui dépend d'une variable s est de l'ordre de s si elle s'annule atec cette variable et qu'une substitution est de l'ordre de s si a — i, o — i, fi et y s'annulent avec e. Cela posé:

i" Toute substitution 2' qui change z en -ï + C, C étant une quantité infiniment petite de l'ordre de s, peut être regardée comtne la résultante d'une substitution elliptique 8 qui admet le point z comme point double et d'une substitution hyperbolique s qui est infinitésimale et de l'ordre

de s. Nous écrirons:

E = Ss.

2" Si s et Sj sont deux substitutions de l'ordre de e leur résultante ss^ sera aussi infinitésimale et de l'ordre de z.

3" Si s est une substitution de l'ordre de s et -'? une substitution finie, la résultante de la substitution inverse de ^, de s et de S, résultante que nous écrirons <S~'s«S'(^) sera infinitésimale et de l'ordre de e.

(') Nous désignerons suivant 1 usage par la nolaliou iS ' la substiluliori inverse do

Mémoire sur les groupes kleinOcns. 59

4" Si S et .Sj sont deux substitutions elliptiques ayant le point 2 pour point double, elles seront permutables, c'est à dire i(iie l'on aura:

(i) SS^=S^S, ,9, =.S'->.s;.s-.

Maintenant [)ar hypothèse nous avons dans le groupe une infinité de substitutions (jui changent z en ^- -f" s", -' + ■T, » • • • ; C, ■T, » • • • étant ' des quantités de l'ordre de s. Soient 1' et 1\ deux ([ueleonques d'entre elles. On aura

2' == Ss, 1\ =. 5, .s,

S et .s'j admettant le point z comme point doul)li', s et s^ étant infinitésimales.

La substitution

fera partie du groupe;' elle ne se réduira pas k la substitution identique (z, z) parce ({u'en général 1' et 1\ n'auront pas même point double. Je dis qu'elle sera infinitésimale. En ett'et elle peut s'écrire:

ou en vertu de la relation (i)

Or en appliquant les principes 2" et 3" de la page 58, on verrait successivement que SsS~\ que s^s~\ que S(s^s~^)S~\ que (.SV,^^'^"^)*^', que 5j(.?SjS~'5' 'sr')i9;"% et enfin que

sont infinitésimales et de l'ordre de s.

Le groupe contient donc une substituti(Mi infinitésimale, il est continu.

Mais si un groupe de substitutions réelles ne peut être improprement discontinu dans le voisinage d'un point „- imaginaire, il peut au contraire être improprement discontinu dans le voisinage d'un point z réel. En effet les groupes fuchsiens de la i'", de la 2' et de la 5°'° femilles,

S, par la notatiBn jS'iS\ la résultante de >S' et de 'S\, par la notation 'S'" la résultante de m substitutions S successives.

60 H. Poincaré.

c'est à dire ceux dont les polygones générateurs n'ont pas de côté de la 2° sorte, sont improprement discontinus dans le voisinage de tous les points 2 réels. Au contraire les groupes fuclisiens des autres familles sont proprement discontinus dans le voisinage des points réels qui appartiennent à un côté de la 2" sorte du polygone générateur ou d'un de ses transformés; ils ne sont improprement discontinus que dans le voisinage des points singuliers.

Revenons à l'étude des groupes formés de substitutions imaginaires ou plutôt des substitutions plus générales définies dans le paragraphe précédent.

Je dis qu'un pareil groupe ne peut être improprement discontinu dans le voisinage d'un point P situé en dehors du plan des çiy. Soit en effet un pareil point F situé au dessus du plan des çrj et un domaine D entourant ce point P. Supposons que quelque petit que soit ce domaine I), il contienne une infinité de transformés du point P par les substitutions du groupe; je dis que le groupe sera continu. En effet:

1° Soit 2' une substitution qui change P en P', la distance FP' étant infinitésimale de l'ordre de s\ je dis <|u'on pourra écrire:

1= Ss,

S étant une substitution elliptique dont le cercle double passe ])ar P et s étant une substitution hyperbolique infinitésimale de l'ordre de s. En eff'et la substitution 2''' changera P en P. 11 existera une substitution hyperbolique infinitésimale qui changera F' en P puisque les points P' et P sont infiniment voisins. Je l'appelle 6~' et je pose:

• I-^ = s-'S-' d'où ï=Ss.

La substitution ^S' n'altérera pas le point P; donc d'après les principes du paragraphe précédent, ce sera une substitution elliptique dont le cercle double passe par P. C. Q. F. D.

2" et 3": Les principes 2^ et 3" de la page 58 subsistent ici, cela est évident.

4" Si S et S^ sont deux substitutions elliptiques ayant même cercle double, on aura:

Monioiro sur les groupes kleini'ens. 61

5" Si .'^j est une substitution flliptiiiue ayant pour cercle double C^j ; si (-" est un cercle orthoixonal au ])lan clos çjy, et rencontrant le cercle C en un point 1' sons un an^lL' inlininient l>ctit, on pourra p<iser:

''^[ étant une substitution elliptique admettant C[ pour cercle doul)le et (T étant une substitution elliptiiiue infinitésimale.

Cela posé, nous avons par hypothèse dans le groupe une infinité de transformations 1', 1\, -j,... qui changent P en des points intininicnt voisins. On aura:

S, S, , . . . seront infinitésimales pendant «{ue .S', .S',, .S"^,... seront des substitutions elliptiques dont les cercles doubles passeront i)ar P. On aura donc uiie infinité de substitutions elliptiques dont les cercles doubles passeront par P. Il faut de toute uccessité que Ton puisse trouver parmi elles deux substitutions «S' et .S'^ dont les cercles doubles C et C\ se coupent sous un angle nul ou infiniment petit. On pourra alors poser:

(T étant infinitésimale ou se réduisant l\. la substitution identique et <S'J admettant même cercle double C que S de telle fa(;on que Ton ait:

Considérons donc ces deux substitutions «V et 6', et les substitutions correspondantes 1', 1\ . La substitution

fera partie du groupe; je dis qu'elle sera infinitésimale. Eu eflét elle peut s'écrire:

ou bien ou enfin:

. Poincaré.

Or en

vertu

du

principe

T^ = SsS'' i

ser;

T, = <rs^s-\

Enfin »

sera infinitésimale,

Ainsi donc si nous envisageons un groupe discontinu, il sera proprement discontinu pour tout point P situé en dehors du plan des fjy. Il résulte de là que toute la partie de l'espace située au dessus de ce plan sera divisée en une infinité de régions B^, B^, . . . B,, . . . ; qu'à chacune de ces régions correspondi-a une des substitutions du groupe, à la région B^ par exemple la substitution S., et de telle façon que cette substitution .S'; change B^ en B^. C'est tout à fait la même chose que (;e que nous avons observé pour les groupes fuchsiens.

Mais ce que nous nous proposons, c'est d'obtenir des groupes de substitutions iniaginaires projirement discontinus même pour les points du plan des ç^j. Ce sont ceux-là seuls en effet qui peuvent être utiles dans la théorie des fonctions.

Eli bien, rappelons-nous ce que nous avons observé pour les groupes fuchsiens. Ces groupes sont tous proprement discontinus pour les valeurs imaginaires de ^, de sorte que la partie du plan située au-dessus de l'axe des quantités réelles, se trouve divisée en une infinité de poly.gones B^, B^, . . . B,, . . . . Comment voit-on alors si le groupe reste proprement discontinu pour les valeurs réelles de z? Si le polygone iî^, n'a pas de côté de la 2" sorte, c'est à dire s'il est tout entier au dessus de l'axe des quantités réelles, le groupe est improprement discontinu pour les valeurs réelles de z; il est proprement discontinu, au contraire, si i?„ a un côté de la 2" sorte, c'est à dire si tout un côté de ce polygone appartient à l'axe des quantités réelles.

C'est la même chose ici; si la région B^ définie plus haut est toute entière au dessus du plan des fjy, ou n'a avec ce plan (ju'un point commun ou une ligne commune, le groupe est improprement discontinu pour les points du plan des çy^; il est proprement discontinu, au contraire, si une portion de la surface de la région B^ appartient à ce plan.

Mémoire sur les groupes klciuccns. 63

§ 3. Poïi/goues géïiérateurs.

Considérons un groupe de substitutions inuiginaires proprement discontinu, même pour les points du plan des 67.

Nous dirons que c'est un groupe kleinéen. Un pareil groupe subdivisera une partie du plan des çjy en une infinité de régions R^ , B^ , . . . Ri, . . . , de telle façon qu'cà, chaque région /f, corresponde une substitution S^ du groupe qui change R^ en iZ,. Considérons la région R^ et une autre région quelconque R^ limitrophe de R^; elles seront séparées par une portion du périmètre de R^ qui leur servira de frontière commune et que j'appellerai côté de R^. Maintenant un pareil coté pourra être une courbe fermée ou un arc de courbe limité à deux points qui seront des sommets de 7?,,. Soit (' un quelconcjue des côtés de 7?,,, il y aura toujours un autre côté 6" de 7»„, tel qu'une des substitutions du grou])e change C en 6". Les côtés C et C seront dits conjugués.

La subdivision du plan ou d'une partie du plan en une infinité de régions R peut se faire d'une infinité de manières. (Cf §§ 4 et 9 du Mémoire sur les groupes fuchsiens.) Commençons par donner quelques définitions. La région R^ s'appellera polygone générateur du groupe; je dirai qne deux régions R et R" sont équivalentes par rapport à un groupe G quand on peut passer de l'une à l'autre de la façon suivante: décomposons R en un certain nombre de parties »•[, rô . . . r^. Soit r[' la transformée de r\ par une substitution S- du groupe G. L'ensemble des régions partielles r"i devra former la nouvelle région R". Il est clair que si R^ est un polygone générateur du groupe G, on pourra prendre aussi pour polygone générateur de ce groupe, toute région équivalente à i?g. Supposons en particulier qu'on retranche de R^ une portion C[uelconc|ue P^ de sa surface et qu'on ajoute à R^ la surface P'^ transformée de P„ par une quelconque des substitutions du groupe. On obtient ainsi une région B'^ = R^ + -Pô — -Pq équivalente à J?„, et on pourra par conséquent remplacer le polygone générateur i?„ par le polygone R\.

Nous pouvons profiter de cette circonstance pour simplifier la région R^. En effet, soit (' un côté quelconque de R^ et 6" son conjugué. Si

G4 H. Poincaré.

C est un côté fermé, il en est de même de C; si au contraire C est un côté ouvert ah, C sera aussi un côté ouvert a'h'. Dans le premier cas appelons K un cercle quelconque; dans le second, K sera un arc de cercle limité aux deux sommets a et h du côté C. Soit maintenant K' le transformé de K par celle des substitutions du groupe qui change C en C. Dans le premier cas, K' sera, comme K, un cercle fermé; dans le second cas, K' sera un arc de cercle limité aux deux sommets a' et h' du côté C. Appelons P„ la portion du plan comprise entre K et C; Pô lii portion comprise entre K' et C. F'„ sera la transformée de P^ par une des substitutions du groupe. Nous pourrons donc remplacer la région B^ par B'g = B^ — ■ P^ + Pé- Dans la nouvelle i-égion B'„, les cotés C et C sont remplacés par les côtés À' et IC qui sont des arcs de cercle.

Il est bon de remarquer que la région B^ nest pas ainsi entièrement définie, car le cercle K n'est pas absolument déterminé par les conditions que nous lui avons imposées.

En opérant de même sur chacun des côtés de P^ , on finira par arriver à remplacer B^ par une région analogue dont tous les côtés seront des cercles ou des arcs de cercle.

On peut rencontrer ici la même difficulté que nous avons observée dans le § 4 du Mémoire sur les groupes fuchsiens. Il peut se faire que la région P„ telle que nous l'avons définie ne fasse pas tout entière partie de P„. Dans ces conditions on arriverait à une région P-û conciive, au sens donné à ce mot dans le paragraplie cité; on tournerait la difficulté comme dans ce paragraphe.

Nous pouvons donc toujours supposer que la i-égion B^ est im polygone limité par des cercles et des arcs de cercle; mais il peut se faire que ce polygone ne soit pas simplement connexe, mais présente luie connexion d'un ordre plus élevé.

Reportons-nous en effet au cas des groupes fuchsiens, à ceux de la 3" famille, par exemple. Le polygone P„ tel que nous l'avons défini dans le Mémoire des Acia Mathemafica 1 est sinqdcment connexe et limité par des côtés de la i''"'^ et de la 2" sorte, mais si on adjoint au polygone P„ , le polygone Pô symétrique de K„ par rnppcrt à l'axe des quantités réelles, la région totale B^ + I^a '!'•' '^•''^ l'analogue de la région Pg étudiée ici, sera multiplenient connexe.

Métuoirc sur les groupes kleindens. 65

Nous serons conduits, ici comme dans le § 5 du Mémoire sur les groupes fuchsiens, à distribuer en cycles les sommets de R^ , mais comme nous n'avons ici rien d'analogue aux côtés de la 2" sorte, nous n'aurons que des cycles fermés et pas de cycles ouverts. Soit A^ un sommet quelconque do B^; soient A^, A.-^, . . . A,,^^ les sommets (jui appartiennent au même cycle que A^ , écrits dans l'ordre oîi on les rencontre en appliquant la règle du paragraphe cité. Décrivons autour de A^ un contour infiniment petit et supposons ([u'en suivant ce contour. on rencontre successivement les polygones 11^, B^, B^,... B„^, B„, . . . . Si i<n, le sommet A^ considéré coiï)me appartenant à B^ sera l'homologue de A^; considéré comme appartenant à B„, il sera l'homologue de A^. Il suit de là que la substitution qui change 2?^ en B^ adniet A^ pour point double. Elle peut être d'ailleurs elliptique, parabolique ou hyperbolique, mais non loxodromicjue. Cette quatrième hypothèse doit être rejetée.

En effet soit K = pe'"' le multiplicateur d'une substitution loxodromi(|uc'; soit jj un nombre entier assez grand pour que j;w > 2— Désignons par 1'^ l'ensemble des polygones 7?^, B^,... B„^; \)'àY 1\ l'ensemble des polygones i?„, J?„+j,... i?2n-u c'est à dire la transformée de 2',, par notre substitution loxodromique; soit ensuite 1\, la transformée de 1\; 2*3 celle de i'^ , etc. 11 est aisé de voir que 1], recouvrira partiellement l'une des régions 2'^, 1\,... 2'^i, ce cj^ui est absurde puisque le groupe est supposé proprement discontinu.

Reste à examiner les trois premières hypothèses.

Dans le i" cas, nous dirons que le cycle e.st elliptique ('); la somme des angles du cycle devra être une partie aliquote de 2-.

Dans le 2'^ cas, le cycle sera paral)olique.

Tous les angles du cycle seront nuls.

Dans le 3*" cas, nous aurons un cycle hyperbolique, tous les angles du cycle seront encore nuls. Nous verrons dans le paragraphe suivant qu'on peut toujours remplacer le polygone B^ par un autre équiviilc;nt et n'admettant pas de cycle hyperbolique ('^).

(') Les cycles que nous appelons ici elliptiques, paraboliques et hyperboliques sont analogues respectivement aux cycles île la V" catégorlCj de la 3" sous catégorie et de la 4' sous-catégorie du Mémoire sur les groupes fuchsiens.

O Nous avons vu déjà, aux §S 9 et I I du Mémoire sur les groupes fuchsiens et au S 2 du Mémoire sur les fonctions fuchsiennes, que tout groupe du 2'' ordre de la 2",

Acia mathematica. 3. Imprimé 20 Août 1883. 9

i]C> H. Poincaru.

Je dis maintenant qu'on peut toujours supposer qu'un cycle donné se compose d'un seul sommet. En effet, reprenons le polygone B^, le sommet A^ de ce polygone et les sommets A^, A^, . . . A,,i qui appartiennent au même cycle. Considérons aussi le contour infiniment petit que nous avons décrit autour de A^ et les polygones B^, i?^ , . . . que l'on rencontre successivement en suivant ce contour. Soit S, la substitution qui change iî„ en i?,. Décomposons le polygone B^ en n polygones partiels r^, )\ , ?'j,.... >-„i, de telle façon, que le polygone partiel r, admette le sommet A^ et n'admette aucun des autres sommets A^, A^,... A„i. Soit maintenant rj le transformé de r^ par S^. Alors rô ne différera pas de r„; l'ensemble des régions partielles »'ô, >'[,••• K-i formera un polygone B'„ qui sera, équivalent à i?„ et qui pourra par conséquent servir de polygone générateur pour notre groupe. Mais 7?ô admet le sommet A^^ , et de telle façon ([ue le cycle dont fait partie A^^ ne se compose que de ce seul sommet.

§ 4. Folyèdres générateurs.

Considérons maintenant la moitié de l'espace située au dessus du jilan des (f;y et la subdivision de cette portion de l'espace en une infinité de régions P^, I\, . . . P, , . . . , telles que la substitution Si de notre groupe change P„ en P^.

Considérons la région P,, et une région quelconque Pj limitroplie de P„ ; elles seront séparées par une portion de la surface de P^ (pie j'appellerai une face de P„ ; je dirai que ce sera une face de la i'" sorte. Si une portion du plan des fjy fait partie de la superficie de P„ , ce sera une face de la 2^ sorte. Ces dénominations sont tout à fait analogues à celles que nous avons employées dans la théorie des groupes fuchsiens.

(le la 4', de la 6'' ou Je la 7'' familles, est identifiuc à un groupe de la 3- ou do la S" familles, ou à un groupe du l" ordre do la 6' ou de la /' familles. En d'autres termes, si le polygone générateur d'un groupe fuchsien admet un cycle de la 4° sous-catégorie, on peut toujours par le procédé du § 9 le remplacer par un autre polygone n'admettant pas de cycle de cotte catégorie. Il eu est de même ici.

Mémoire sur les groupes klciiu-ens. 67

Di'ux fuies liiiiitroplies de 1\ seront séparées [):ir une (trcle. Cette arête sera de la V'"^ sorte si elle sépare deux faces de la i''"' sorte et de la 2" sorte si elle sépare une face de la r^" sorte et une de la 2° sorte. Les faces de la i'" sorte seront conjuguées deux à deux, de telle fa(,'on que chacune de ces faces soit changée en sa conjuguée par l'une des substitutions du groupe. Il résulte de là que deux faces conjuguées sont congruentes.

De même que les faces se répartissent en paires, de même les arêtes se répartissent en cycles à la façon des sommets des polygones générateurs. Soit A^ une arête quelconque de la i*" sorte; voici comment on trouvera les arêtes du même cycle. Soit F^ l'une des faces que sépare l'arête A^ ; Ff) sa conjuguée; les faces F^ et F'^ sont congruentes. Soit A^ celle des arêtes de J^', qui est homologue de A^ ; elle séparera la face F'„ d'une antre face F^ . Nous opérerons sur la face F^ et sur l'arête A^ comme nous avons opéré sur la face F^ et l'arête A^. Nous obtiendrons ainsi une suite de faces F^, F^, F.^, F^,..., et une suite d'arêtes J^ , ^-Ij , ^^ , A.^, . . . et nous nous arrêterons quand nous retomberons sur l'arête A^ . Toutes les arêtes ainsi obtenues feront partie d'un même cycle.

Soient Ag, A^, . . . A„i ces arêtes que je suppose au nombre de ». Supposons qu'autour de l'arête A^ nous décrivions un contour infiniment petit; en décrivant ce contour on traversera successivement q régions P^, Pj , . . . P^i. Si loi, l'arête A^ considérée comme appartenant à P; sera l'homologue de A^; considérée comme appartenant à P„, elle sera l'homologue de A^. Ainsi la substitution qui change P„ en P„ n'altère pas A^ . Il suit de la:

i" que - est un nombre entier.

'■ Il

2" que la substitution qui change P^ .en P„ est eHipti([ue et a pour niul-

tiplicateur e^''q.

3" que l'uréte A^ est un cercle symétrique par rapport au plan des cjj.

4" que la somme des dièdres relatifs aux différentes arêtes du cycle est une partie aliquote de 2-.

Ainsi toutes les arêtes de la 1^" sorte sont des circonférences dont le plan est perpendiculaire au plan des çjy et dont le centre est dans ce plan.

08 H. Poincaré.

Les extrémités des arêtes s'appelleront des soin mets. Parmi les sommets nous distinguerons:

i" ceux qui sont en dehors du plan des çy^, auxquels aboutissent trois

ou plusieurs arêtes de la i"*^ sorte. 2" ceux qui sont sur le plan des çjy, auxquels aboutiront une ou plusieurs arêtes de la i"'" sorte et deux arêtes de la 2" sorte. 3" Il faut ajouter aussi le^ sommets isolés. Si deux faces sont tangentes entre elles, le point de contact peut être en effet regardé eomnie un sommet et cependant il n'appartient à aucune arête. Il est clair (|ue l'on peut remplacer, comme dans le paragraphe précédent, la région P^ par toute aufre région P^ équivalente. Je dis (j^u'on pourra toujours s'arranger de telle faron que P,', soit un polyèdre limité par des sphères ou par des portions de sphères. Toutes les faces de la i'" sorte seront des sphères ou portions de sphères ayant leur centre dans, le plan des çYj; toutes les arêtes seront des circonférences ou des arcs de cercle. Soit en effet F une face quelconque de la première sorte, F' sa conjuguée; S la substitution qui change F en F'. Plusieurs cas sont possibles:

1° ou bien la face F est limitée par une arête de la 2" sorte et cette arête est une courbe fermée. On appellera alors F^ une demi-sphère quelconque ayant son centre dans le plan des ^rj, et Q^ la région limitée par F et F^ ; la substitution 5" changera alors F^ en une autre demi-sphère F[ et Q^ en Q'^ région limitée par F' et F[. Les régions P^ et P'o = P^ — Q^ + Q'^ seront alors équivalentes. 2" ou bien la face F est limitée par deux arêtes dont une de la i"" sorte et admet deux sommets. On raisonnera de la même façon; on devra seulement s'astreindre à faire passer la sphère F^ par l'arête de la i'" sorte, qui est inic circonférence d'après ce qu'on a \u plus haut.

3" ou bien la face F admet plusieurs arêtes de la i'" sorte situées sur une même sphère I qui a son centre dans le plan des ç:y. Dans ce cas la sphère F^ devra être la sphère 1\ 4" ou bien enfin les différentes arêtes de la i"" sorte de la face F ne sont pas sur une même sphère ayant son centre dans le plan des çîj. Dans ce cas, nous pourrons partager la face 7-' en plusieurs autres f, f. f". Je supposerai [)ar exenq)le (|ue la face partielle /'

Mûmoiro siii' les groupes kleiiiôcns. 69

n'est coiitijiïic t|iia lu l'ace /', (|ue /' n'est contigiie qu'il /' et :i /'"; /'" à /'' et à / '", cti'. Je supposerai que la face partielle f est sépaiVîe (le la l'ace /' par une liu,iie a, dont les extrémités sont ^î* ut y'; que la l'ace /'' est S(q)arce de la l'ace /'" par une ligne et" dont les extrémités sont ft" et y", etc. Je supposerai que toutes les arêtes de la i"° sorte contenues dans f et les sommets y9' et y sont sur une même sphère /J ayant son centre dans le plan des qrf, que les arêtes de la i"'" sorte contenues dans f et les sommets /î', y, yî", y" sont sur une même sphère f[ ayant son centre dans le plan des ^tj, etc. et ainsi de suite. On envisagera la portion de f\ limitée par les arêtes de la i'" sorte de /"et par l'intersection de f\ et de f[; la portion de f[ limitée par les arêtes de la i'''" sorte de /' et par les intersections de f[ avec /j et f[', etc. L'ensemble de ces portions de surfaces sphériques formera la nouvelle face F^ sur laquelle on raisonnera comme plus haut.

Dans tous les cas on aura remplacé la région P„ |)ar une autre équivalente, mais où les faces F et F' seront remplacées par les faces F^ et F[ formées de portions de sphères ayant leurs centres dans le plan des çjy. En opérant de même sur toutes les faces de la i'" sorte de la région P^, on remplacera cette région par une autre équivalente dont toutes les faces de la i"" sorte seront formées de pareilles portions de surfaces sphériques.

En résumé nous pourrons toujours supposer que notre région F^ est un polyèdre dont toutes les faces de la i"'' sorte sont des portions de sphères 'ayant leurs centres dans le plan des çrj. Nous l'appellerons polyèdre générateur du groupe- On voit aisément qu'un pareil polyèdre ne peut avoir de sommet isolé en dehors du plan des çr^.

Les faces de la 2" sorte du polyèdre générateur P^ seront des polygones limités par des arcs de cercle, et ces arcs de cercle seront les traces des faces de la i'" sorte sur le plan des çrj. Ces polygones peuvent être regardés comme les polygones générateurs d'un groupe kleinéen.

Supposons que notre polyèdre P^ ait 11 faces de la 2" sorte FI, FI,... F'ô; le polyèdre homologue P, aura aussi n faces de la 2° sorte F\, F'i,... F". Si l'on excepte certains points ou certaines lignes singulières, tout point du plan des çr^ appartient à l'une des faces F"; de

70 H- Poincaré.

l'un des polyèdres P,, et il ne peut d'ailleurs appartenir qu'à l'une d'elles, puisque aueun point de l'espace n'appartient à plus d'un polyèdre Pi.

Le groupe est donc proprement discontinu même pour les points du plan des ^rj, si l'on excepte toujours les points et les lignes singulières dont il a été question plus haut.

Le groupe considéré est donc kleinéen.

Le plan des çjy sera partagé en n régions i2\ R'^, . . . R"; la région iî* se subdivise elle-mèine en une infinité de polygones i''o, FI, FI,... F';,... telles que la substitution Si change F^ en i^f.

Ainsi on peut prendre pour polygone générateur du groupe, l'une quelconque des faces de la 2" sorte du polyèdre générateui-, c'est à dire un polygone ayant pour côtés les cercles qui ont même centre et même rayon que les sphères qui forment les faces de la i'"'^ sorte de ce polyèdre.

La récipi'oque n'est pas vraie. Considérons un groupe kleinéen quelconque, et soit B^ l'un des polygones que l'on peut choisir pour son polygone générateur; construisons les sphères c^ui ont même centre et même rayon que les arcs de cercle qui servent de côtés à ce polygone et envisageons le polyèdre P^ limité par ces sphères. En général ce ne sera pas un polyèdre générateur du groupe. En effet dans un polyèdre générateur deux faces conjuguées doivent être congruentes. Or considérons un côté quelconque bc de R^, les côtés adjacents ah et cd, le côté conjugué h'd, les côtés adjacents a'h' et c'd'. Construisons les sphères S^ , S.^ , S.^, S^, S^, S^ correspondant respectivement à ces six côtés. A chaque côté de i?g correspondra une face de P^ . Au côté bc correspondra la portion de la surface de S^ qui est limitée par l'intersection de cette splière avec S.^ et S^ ; au côté b'c' correspondra la portion de la surface de <S'^ qui est limitée par l'intersection de cette sphère avec S^ et S^ . Ce devraient être là deux faces conjuguées de P^ ; or ces deux faces ne seront pas en général congruentes.

Pour que le polyèdre P^ soit un polyèdre générateur du groupe, il faut et il suffit que ses faces conjuguées soient congruentes, et pour cela, voici quelle est la condition nécessaire et suffisante.

Soit encore h; un c<')té de R^ , ab et cd les côtés adjacents, b'c' le côté conjugué, a'b' et c'd' les côtés adjacents. Prolongeons les cercles dont font partie ces six côtés. Soit b^ le second point d'intersection des cercles ab et bc, et de même c , b'i, cj les intersections respectives de

Môuioirc sur les groupes kloiucons. 71

bc et de cd\ de a'h' et de h'c'; de h'c' et de c'd'. Le rapport anharmonique des quatre points hch^c^ doit être égal à celui des quatre points h'('h\c[.

Parmi les polygones équivalents à i?„ , qui sont en nombre infini et (pli i)iii\('iit être choisis comme polygones gcnératcui-s, il y en a foujours qui remplissent cette condition, puisque tout groupe kleinéen est pro])rement discontinu pour les. points non situés sur le plan des çrj et admet par conséquent un polyèdre générateur. Nous supposerons toujours cpie le polygone ii',, a été choisi de façon à satisfaire à cette condition.

A chaque côté de i?„ correspondra alors une face de 1\ ; à deux côtés conjugués, correspondront deux faces conjuguées. A chaque sommet de jRg appartenant à un cycle elliptique correspondra une arête de P^ et aux divers sommets d'un même cycle, correspondront les diverses arêtes d'un même cycle; à un sommet de B^ appartenant à un cycle parabolique ou hyperbolique correspondra un sommet isolé de P^ . On voit ainsi (jue les sommets isolés de P^ se répartissent en cycles.

Je dis maintenant qu'on peut toujours supposer que J?„ et par consécjuent P^ n'admettent pas de cycle hyperbolique. En effet supposons que P|, admette un sommet isolé appartenant h. un cycle hyperbolique, je dis qu'on pourra remplacer ce polyèdre par un autre équivalent n'admettant pas de cycle hyperboliipie. En eft'et, d'après ce qu'on a vu à la fin du paragraphe précédent, on peut toujours supposer que ce cycle hyperbolique se compose d'un seul sommet A.

Le sommet A est un sommet isolé de P^, c'est à dire qu'il est le point de contact de deux faces de la i'" sorte de P^ , tangentes l'une à l'autre, et que j'appellerai F et F'. Ces deux faces sont conjuguées; car si elles ne l'étaient pas, le cycle dont fait partie A devrait contenir encore d'autres sommets. Une des substitutions du groupe, que j'appelle S, changera F en F', et elle sera hyperbolique, par hypothèse. La face F ne sera limitée par aucune arête, ou bien elle le sera par une sevxle arête, ou bien par plus d'une arête. Je dis d'abord qu'on peut toujours supposer que le troisième cas ne se présentera pas. En effet s'il se présentait, on tracerait sur la face F une demi-circonférence, dont le plan devrait être perpendiculaire au plan des cjy, et qui devrait être assez petite pour être toute entière contenue dans la face F; cela est toujours possible. Cette demi-circonférence partagerait la face P en deux autres F^ et F^\ F^ contiendrait par exemple le sommet A; la face F' congru-

72 H. Poincaré.

ente à F se diviserait de même en deux autres F[ et F'^ congruentes respectivement k F^ et k F^. Le sommet A fera alors partie de deux faces jPj et F[ qui ne seront limitées que par vine seule arête.

Supposons donc que la face F admette au plus une arête. Construisons une sphère 0 peu différente de F. Si la face F admet une arête, j'assujettirai la sphère (p à passer par cette arête. La substitution hyperbolique S changera 0 en une autre sphère 0', et l'on aura toujours pu choisir 0 de telle façon que ces deux sphères ne se coupent ni ne se touchent. Il suffit pour cela que la sphère (l> diffère suffisamment peu de F et que, si -4 et 5 sont les deux points doubles de la substitution S, ces deux points soient l'un intérieur, l'autre extérieur à (f>. Soit 2}g la portion de l'espace comprise entre 0 et F, 2>o hi portion comprise entre 0' et F. La substitution S changera p,^ en 2>'o- ^^(^ polyèdre P'^ = P^ — j}^ + i>ô est donc équivalent à P„ ; donc il peut servir de polyèdre générateur. Mais il ne possède plus le sommet hyperbolique A, puisque les sphères 0 et 0' ne se coupent pas.

Nous pouvons donc toujours supposer ([ue notre polygone 7?„ et notre polyèdre P„ ne présentent pas de cycle hyperbolique; c'est ce que nous ferons désormais.

§ 5. Existence dea groupes Ideinéens.

Supposons un polyèdre générateur P„ satisfaisant aux conditions énoncées dans le paragraphe précédent: sets faces conjuguées sont congruentes, ses arêtes de la i''" sorte se répartissent en cycles elliptiques, de telle façon que la somme des dièdres correspondant aux arêtes d'un même cycle soit une partie aliquote de 277. l^e groupe correspondant à- ce polyèdre est entièrement défini. Il reste à démontrer que ce groupe est discontinu, c'est à dire que les polyèdres transformés de P„ remplissent toute la partie de l'espace située au-dessus du plan des Çrj et ne se recouvrent pas mutuellement.

La démonstration est tout à fait la même que dans le cas des groupes fuchsieiis.

Mémoire sur les groupes klt'ini'cns. 73

Soit en effet A un point quelconque intérieur k P^, B un point situé au dessus du plan des cjy. «Joignons A h B par un arc de courbe AMB ne coupant pas ce plan. Cet arc sortira du polyèdre P„ par une face de la i'''' sorte, <m pourra construire le polyèdre J\ limitrophe de Pg le long do cette face; l'arc AMB sortira de P, par une certaine face, on construira le polyèdre 7*^ limitrophe de P, le long de cette face, et ainsi de suite.

Voici ce que nous avons à démontrer:

i" Qu'après vm nombre Uni d'opérations on arrive à un polyèdre P„ à l'intérieur duquel se trouve le point B.

2° Que si le point B se confond avec le point A, de telle façon que

l'are AMB se réduise h un contour fermé AMA, le polyèdre P„ se

confond avec P^ .

Le premier point s'établit comme dans la théorie des groupes fuchsiens.

La L do l'arc AMB étant une longueur finie L, je dis que cet arc ne pourra rencontrer qu'un nombre fini de polyèdres P, ou, ce (jui revient au même, un nombre fini de faces F de la i"""'' sorte appartenant à ces polyèdres. En effet, on établit aisément les lemmes suivants.

L On peut trouver lui nombre entier v assez grand pour que r polyèdres P quelconques et v faces F quelconques ne puissent avoir d'autre point commun qu'un sommet parabolique.

II. Si V faces n'ont pas de sommet parabolique commun et n'ont par conséquent aucun point commun, et si un arc de courbe traverse ces V faces, la L de cet arc est supérieure à une certaine limite X.

III. Tout ai'c qui ne rencontre pas le plan des çjy, ne peut traverser qu'un nombre fini de faces F ayant un sommet parabolique commun. (Voir §§ I et 6 du Mémoire sur les groupes fuchsiens.)

Il résulte de là que quand l'arc AMB aura traversé ^- faces F, il

ne pourra plus traverser que des faces ayant un sommet parabolique commun, et en vertu du lemine III, il n'en traversera qu'un nombre fini. Le premier point une fois démontré, le second s'établit sans peine. En effet on voit immédiatement qu'il suffit de le démontrer pour un contour AMA infiniment petit. Or le théorème est évident pour un

Acia malhematira. 3. loiprimé 24 Août 1883. 10

74 H. Poincaré.

pareil contour, soit qu'il ne tourne pas autour d'une arête de la i*^" sorte, soit même qu'il tourne autour d'une pareille arête, puisque par hypothèse, cette arête fait partie d'un cycle dont la somme des dièdres est une partie aliquote de 2-. ■

Pour les détails de la démonstration, je renverrai au § 6 du Mémoire sur les groupes fuchsiens.

Ainsi les polyèdres P, ne se recouvrent pas mutuellement; si P„ admet une face de la 2^ sorte B^ dont les transformées sont les faces i?,. des polyèdres P^, ces faces B^ ne se recouvrent pas non plus mutuellement. • Ainsi notre polygone générateur et ses transformés ne se recouvrent pas.

C'est ce point que je voulais établir, et, pour y parvenir, j'ai eu recours à un artifice dont je ne pouvais guère me dispenser dans le cas o-énéral; j'ai dû passer du plan à l'espace, et des polygones B aux polyèdres P. Mais si ce détour est nécessaire dans le cas le plus général, on peut s'en affranchir dans un gi-and nombre de cas particuliers; c'est ce que nous verrons plus loin.

§ 6. Classification,

Parmi les groupes kleinéens, il en est qui doivent attirer particulièrement l'attention à cause de leur importance au point de vue des applications. Ce sont ceux dont les groupes fuchsiens sont des cas particuliers, de telle sorte qu'on peut passer d'un pareil groupe kleinéen à un groupe fuchsien en faisant varier d'une façon continue certains paramètres. Ce sei-ont les groupes de la i^" espèce.

Ceux de la 2° espèce seront ceux qui ne jouiront pas de cette propriété.

On peut classer aussi les groupes kleinéens en genres. Nous définirons le genre du polygone générateur iî„ comme dans le § 8 du Mémoire sur les groupes fuchsiens et le genre d'un groupe sera celui de son polygone générateur.

Voici maintenant quelque chose d'analogue à la classification en

familles.

3Iémoire sur les groupes kleineens. 75

Nous classerons d'abord les polyèdres générateurs d'après le nombre de leurs faces de la 2° sorte. C'est là en eft'et un point fort important; car si un polyèdre I'^ a ii faces de la 2" sorte, le plan des ^r^ se trouve divisé en n parties et chacmie de ces partiû^ en une infinité de polygones R de telle façon (ju à chaque substitution du groupe corresponde un polygone R et un seul.

Nous classerons ensuite les polyèdres qui admettent un même nombre de faces de la 2" sorte en familles, selon qu'ils admettent ou n'admettent pas des cycles elliptiques, ou des cycles paraboliques.

Donnons le détail de cette classification pour les groupes les plus importants qui sont ceux de la 1"^° espèce, en conservant aux familles les mêmes numéros que dans la théorie des groupes fuchsiens.

i" Polyèdres admettant 2 faces de la 2^ sorte. I*" famille. Admettent des cycles elliptiques. 2" famille. Admettent des cycles paraboliques. 6' famille. Admettent des cycles elliptiques et paraboliques.

2" Polyèdres admettant i face de la 2" sorte. 3" famille. Polyèdres dont toutes les faces de la i"^^" sorte sont des demi-sphères complètes, ne se coupant ni ne se touchant mutuellement et qui n'admettent ni cycle elliptique, ni cycle parabolique.

4° famille. Admettent des cycles paraboliques. 5^ famille. Admettent des cycles elliptiques. ■j" famille. Admettent des cycles elliptiques et paraboliques.

§ 7. Troisième famille.

Voici quel est le mode de génération des groupes de la 3" famille.

Considérons 2w cercles qui ne se coupent ni ne se touchent; je supposerai, pour fixer les idées, que ces 2« cercles soient tous extérieurs les uns aux autres. Le polygone R^ sera la portion du plan qui est extérieure à la fois à tous ces cercles. J'appelle ces cercles- C^, C^,...C„; C\, C".,,... C'„. Je suppose que les cercles C^ et C[ soient conjuguées.

76 H. Poincaië.

Soit Si une substitution qui cliange C^ en C[ et de telle façon que l'extérieur de C, se cliange dans Tintérieur de C". 8^ est alors une substitution hyperbolique ou loxodromique dont un point double est intérieur à Cj et l'autre à C".

Le groupe dérivé des substitutions S^ est alors un groupe kleiiiéen de la 3""= famille.

Pour démontrer que ce groupe est discontinu, il n'est pas nécessaire d'avoir recours à la marche détournée du § 5. En effet, construisons le polygone B^ limitrophe de B^ le long de C-, c'est à dire le transformé de E„ par la sulistitution 6",; il sera tout entier à l'intérieur de 6". L'ensemble des polygones B^ et B^ se compose alors de la partie du plan extérieure à la fois à 4W — 2 cercles (extérieurs les uns aux autres) qui servent de côtés à ces deux polygones. Soit C\ l'un de ces cercles; si l'on veut construire le polygone J?^ limitrophe de B^ ou de jR^ le long de C^, ce polygone sera tout entier intérieur à C'^. et ainsi de suite. On voit aisément en continuant de la sorte que les polygones ainsi construits ne peuvent se recouvrir mutuellement, et par conséquent que le groupe est discontinu.

Quelles sont maintenant les conditions imposées aux substitutions Si? Ces n substitutions doivent être telles que l'on puisse trouver n cercles Cj, C^,... C„, de telle façon que ces 11 cercles et leurs transfoi-més respectifs C\, C"„,... C", soient tous extérieurs les uns aux autres. Ce ne sont là que des conditions d'inégalité; ainsi le groupe dérivé de n substitutions est discontinu, pourvu que les coefficients de ces substitutions satisfassent à certaines inégalités.

Parmi les groupes de la 3"" famille il en est qui méritent une mention particulière. On peut supposer que le polygone B^ est symétrique par rapport à un certain cercle C„,,, de telle façon que les cercles conjuguées C\ et 6',' soient symétriques l'un de l'autre, et que toutes les substitutions du groupe puissent s'obtenir en combinant les inversions par rapport aux cercles C\, C\,... C'„, 6'„^i. Nous dirons alors que le groupe est symétrique.

Mémoire sur les groupes kloinéens.

§ 8. Deuxième Famille.

Figl

Supposons que 2« cercles C\, C^, . . . C„, soient situés do telle sorte i" qu'ils soient tous extérieurs les uns aux autres; 2" que le cercle C, touche extérieurement les cercles C,i et Cj+i ; 3" que le cercle C,,, touche extérieurement les cercles C^„-^ et C, . x^ppelons A^ le point de contact des cercles C,, et C, et A^ le point de contact des cercles C„ et C, . Le plan se trouve divisé en trois parties: i" le polygone H^ extérieur à chacun des cercles C et intérieur à la figure formée par l'ensemble de ces cercles; ce sera notre polygone générateur; 2" le polygone i?ô extérieur à la fois à tous ces cercles et à la figure formée par leur ensemble; 3° enfin l'intérieur des divers cercles C.

Si nous formons le polyèdre générateur P^ , ce polyèdre présentera 2n faces de la i"' sorte formées par les surfaces des sphères qui ont même centre et même rayon que les cercles C; 2 faces de la 2" sorte qui seront les polygones B^ et R'^ et 2« sommets isolés A^ , A.^ , . . . A.,,,. Je supposerai que les faces C^ et C2„+i, sont conjuguées et que le polyèdre admet n + i cycles paraboliques, formés respectivement des sommets A^; A.^ et A^^; ...Ai et A„+,,; ...\ A„ et A„+./, A,,^^. Cela suppose que nous avons entre les sommets A la relation:

Ici, comme dans le paragraphe précédent, la discontinuité du groupe peut se démontrer directement, sans qu'il soit besoin de recourir à l'artifice du § 5. On voit que le plan se décompose en deux domaines D et D'; le premier est recouvert par le polygone 7?^ et ses transformés, le second par le polygone R'^ et ses transformés. Ces deux domaines sont séparés par une ligne i, si l'on peut appeler cela une ligne.

Supposons que Ton ait construit un certain nombre de polygones iîj , i?j , . . . i?„ et les polygones correspondants R'^, R[, . . . R'„. On sera certain: i" que tout point faisant partie de Tun des polygones R appar-

78 H. Poincaré.

tiendra, au domaine D; 2' que tout point faisant partie de l'un des polygones H' appartiendra au domaine D'; 3" que tout sommet de l'un des polygones H appartient à la ligne L.

Les sommets de divers polygones H forment cme uiiendliche Funktmenge{^) P et pour obtenir la ligne L, il faut ajouter à cette Panktmenge son erste Ableifung F'. On voit que la ligne L est einc perfecte und zusammenlmngende Punktmenge. C'est dans ce sens que c'est une ligne. ÏMais nous allons voir qu'elle ne jouit pas de toutes les propriétés que nous sommes hal:)itués à attribuer aux lignes.

Cherchons d'abord si cette ligne possède une tangente. A ce point de vue nous devons distinguer les points de la Pimliinenge P et ceux qui appartiennent à son AUeitiing F' sans appartenir à F. Envisageons d'abord wn point de P; je dis qu'en ce point il y aura une tangente. D'abord nous pouvons supposer que ce point est lui sommet de i?„ , car rien ne distingue 7?„ des autres polygones E^; nous pouvons supposer que ce point est précisément A^, car ce qui distingue A^ des autres sommets de F^ , c'est que le cycle dont fait partie A^ ne contient pas d'autre sommet; or nous avons vu à la fin du § 3 que l'on peut toujours supposer qu'un cycle donné ne se compose que d"un seul sommet. Le groupe envisagé contiendra alors une certaine substitution parabolique S qui aura A^ pour point double. Soit

\/ — A^ Z — -rt,

cette substitution. Soit 1^ un point tel que:

arg- (A" — A^ = — arg // .

Joignons A^'N , je dis que A^N sera tangente à notre ligne X. Voici ce que j'entends par là. Supposons que /> et co soient les coordonnées polaires d'un point de L en prenant A^ pour pôle et ^^iV pour axe polaire; je dis que ({uand p tendra vers o, m tendra vers o, de telle façon que ^jiV sera la limite d'une sécante A^F^ de la ligne X, lors(pie le point F^ se rapprochera indéfiniment de A^ .

Pour démontrer cela, je vais construire deux cercles K et K' se

( ) Pour le sens précis des diverses expressions allemandes que je vais employer, voir Cantor: Grwidlagen eiver Mann ich f ait ifjkeilslehre. Leipzig, Teubner 1883. Voir aussi la traduction fVançaiso de ee mémoire: Avla ina/liciiiaticn. 2. pag. 381 — 408.

Mémoire sur les groupes kleinéens. 79

touchant extérieurement en A^ et tangents tous deux à A^N. Je choisirai le cercle K de telle façon (ju'il coupe les côtés A^J^ et A^A„„ du polygone M^ et ne coupe aucun autre côté de ce polygone. De même le cercle K' devra couper les C(')tés A^A.^ et A^A.2„ du polygone Bl, et ne couper aucun autre côté de ce polygone. Soit r^ la partie de B^ qui est intérieure h K et rô la partie de B'^ qui est intérieure à K'. Il est clair que les transformés successifs de r^ par les puissances positives et négatives de la substitution S rempliront tout ce cercle K, de sorte que ce cercle fait tout entier partie du domaine D. De même le cercle K' fera tout entier partie du domaine D'. Il en résulte que la ligne L est tout entière dans la portion du plan extérieure à la fois aux deux cercles K et K'. Cela suffit pour démontrer le théorème énoncé.

Toutefois la ligne A^K ne jouit pas des mêmes propriétés que les tangentes aux lignes ordinaires. On voit aisément en effet, que si l'on joint par une droite BC deux points B et C de la PiiuMmenge P, et que l'on fasse tendre B et C simultanément vers le point A^ , la limite de la droite BC n'est pas en général la tangente A^N. Considérons en effet deux points B^ et C\ de la Punldmenge P, choisis de telle sorte que le cercle A^B^^C^ ne soit pas tangent à A^N. Considérons les transformés successifs B^C^, B^C^,..., B„C„ de B^C^ par les puissances positives de S. Quand H croîtra indéfiniment B„ et C'„ se rapprocheront de A^ et l'angle de B,fi„ avec A^N tendra vers une limite finie. De plus j'ai tout lieu de croire qu'il n'y a pas de tangente aux points de L qui ne font pas partie de P.

Je dis maintenant que la ligne L n'a pas de cercle osculateur. Je dis que si on mène un cercle k tangent en A^ h la droite A^N et passant par un point B^ de L, ce cercle ne tendra pas vers une limite déterminée lorsque le point B^ se rapprochera du point A^. Menons en effet deux cercles l' et k" tangents tous deux en A^^ à la droite ^ iV" et passant respectivement par deux points 7?ô et 7?ô' de la ligne L. Soient B'i, B'i, . . . , B'„ les transformés successifs de 5; par les puissances de 8. Ils seront tous sur k' et deviendront infiniment rapprochés de A^ quand n deviendra infini.

Donc si le cercle osculateur existait ce devrait être le cercle k'. Mais ce devrait être en même temps le cercle k". Donc le cercle osculateur n'existe pas.

80 H. Poincai-é.

J'en ai dit assez, je pense, pour faire comprendre à quel point la ligne L diffère d'une ligne analj'tlque.

§ \). Gi'oiipes symétriques.

Considérons un polygone /7„ limité par n + i arcs de cercle A^A^, A^A^,..., A,,A,„ A,A„^„ ^,,+1^1 se coupant en n+i points A^, A , . . . , ^,,+1 qui sont les sommets de ce polygone. Construisons les polygones IJ symétriques de f/^ par rapport à ses divers côtés, puis les polygones symétriques des » + i polygones U par rapport à leurs divers côtés et ainsi de suite. Si les divers polygones ainsi construits ne se recouvrent pas mutuellement, on aura un groupe kleinéen.

Soit U'o le polygone symétrique de //„ par i-apport au côté ^4„+i J/, le polygone /7„ + 77^ = i?„ sera le polygone générateur du groupe; il admettra 2m côtés, à savoir les n côtés A^A^, A.^A.^,..., A„-^A„ de fj^ et les côtés symétriques de 17'^. Deux côtés symétriques seront d'ailleurs conjugués.

La première condition évidemment nécessaire pour que le groupe soit discontinu, c'est que tous les angles A^, A^,..., A„, A„+-^ du polygone /7„ soient nuls ou soient des parties aliquotes de -; ils sont donc tous droits ou aigus.

Supposons cette condition remplie et construisons le polyèdre P^ générateur du groupi". Pour cela construisons les sphères 2'j , ^'^ ,... , 2'„^i qui ont même centre et même rayon que les arcs de qq.vc\q A^A^, A^A^, ..., A,^J^■^A.^. Ces sphères limiteront un certain polyèdre K^. On construira ensuite le polyèdre K'^ symétrique de K^ par rapport à la sphère 2',^i. Le polyèdre P^ = K^ + À'ô sera alors le polyèdre générateur du groupe.

Les sphères 2',,+, et 2j se couperont suivant une circonférence C^ qui conpera le plan des çjj en deux points J, et />, dont le premier est un sommet de //„ . De même les sphères 2i i et 2', se couperont suivant une circonférence C, qui coupera le plan dos çjy en deux points Ai et Z?, dont le premier est un sommet de 7/^ .

Mémoire sur les groupes kleinéeDS. gj

Cela i>ostS on peut faire diverses hj-pothèses. i" On peut supposer que les sphères 2' n'ont pas d'autre intersection que les en-conférences C^, C^,... C\,^,. C'est ce qui arrive par exemple dans le cas de la figure 2. Dans ce cas le polyèdre K^ admet deux faces de la 2<^ sorte //o et /l^. La face .!„ est formée dans le cas de la figure 2 de la portion du plan extérieure au contour polygonal curviligne B^B.^B.^ ... iy„^,. Le polyèdre K^ admet en outre n + i faces de la i^--^ sorte qui sont les portions, des sphères 2' , 2' , . . . , 2' limitées respectivement par les circonférences C,^ et (7, , C\ et C3 , . . . C'„^, et C; , et ^^ + i arêtes de la r''^ sorte qui sont ces circonférences elles-mêmes. Le polyèdre P„ = ^^ + A'J admet de même 2 faces de la 2^ sorte, 2,1 faces de la r" sorte et 2» arêtes de la

Les conditions de discontinuité du groupe sont remplies et nous avons un groupe kleinéen. De plus il est de la i"^ espèce, car on peut en déformant d'une manière continue le polygone //„ i^asser au cas où les côtés de ce polygone sont orthogonaux à une circonférence, c'est à dire au cas des groupes fuchsiens. Le plan est divisé en deux domaines D et D', le premier rempli par le polygone R^ et ses transformes, le second par le polygone .!„ et ses transformés. On pourrait supposer aussi que les sphères 2' admettent d'autres intersections que les circonférences C; , C; , ... . 6',,^, , qu'elles se coupent . par exemple suivant d'autres circonférences l-^, A",,... A^; mais que ces circonférences restent tout entières extérieures au polyèdre K^, dQ telle façon qu'elles ne soient pas des arêtes de ce polyèdre.' Mais il est aisé de voir que cette supposition est incompatible avec l'hypothèse que nous avons faite que les angles de /7„ sont tous droits ou aigus.

On peut supposer que le polyèdre K^ admet comme arêtes, outre les circonférences C, une ou plusieurs des circonférences A- et que les angles dièdres correspondants ne sont pas des parties aliquotes de 7:. II est clair alors que le groupe nest pas discontinu.

Acta malhemalica. 3. Imprimé 24 Août 1SS3.

82 H. Poincaré.

4" Il peut arriver enfin que le polyèdre K^ admette comme arêtes, outre les circonférences C, une ou plusieurs des circonférences h et que les dièdres correspondants soient des parties aliquotes de tt. Dans ce cas le groupe est discontinu, mais on ne peut passer au cas des groupes fuchsiens en déformant le polygone /7„. Le groupe est donc de la 2" espèce.

Prenons comme exemple le cas de la figure 3. Le polygone n„ est

un quadrilatère A^A.JA.^A^ dont deux côtés opposés A^A^ et ^^2^3 sont des lignes droites qui prolongées vont se couper en F. Je suppose de plus que les angles A^ , A.^ , A^ , A^ et F sont des parties aliquotes de tu. Le polyèdre K„ n'admet alors que des dièdres égaux à des parties aliquotes de -. Il a trois faces de la 2" sorte, fJ^/M^ et T„; il a quatre faces de la i"" sorte faisant partie respectivement des sphères A^A.-^ et A^A^ et des plans A^A^ et A.^A.^. Le groupe G considéré est donc discontinu.

Si l'on prend le polyèdre K^ symétrique de K^ par rapport à la droite A A, , lensemble de ces polyèdres sera P^ et aura pour faces de la 2^ sorte" //, + //;, iV/„ + i»f; et T„ + T'„ en appelant //;, i¥; et J„' les polygones symétriques de H^, ilf„ et T^. Le plan des c^y va se trouver divisé en trois domaines I), B' et D" recouverts respectivement -par les transformés de //„ -f //,;, par ceux de M^ -+- il/; et par ceux de T„ -f T^.

Etudions d'abord le domaine D'. Supposons qu'on construise les triangles symétriques de M^ par rapport à ses trois côtés, puis les triangles symétriques de ceux-ci par rapport à leurs divers côtés et ainsi de suite. Tous les triangles ainsi construits recouvriront un certain cercle H qui a pour centre F et qui coupe orthogonalement le cercle A^A^B^B^. Ce cercle H sera donc une partie du domaine D', mais une partie seule-

Mémoire sur les groupes kleinéens. 83

ment. En effet, le cercle H est recouvert par les transformés de M^ -\- M'^ par certaines substitutions du groupe G. Ces substitutions s'obtiennent en combinant de toutes les manières possibles les trois inversions par rapport aux cercles FB^, 'FB^ et B^B^, de telle façon que le nombre total des substitutions combinées soit pair. Ces substitutions forment un groupe (/ qui est fuchsien et qui est lui sous-groupe du groupe kleinéen G. Pour avoir les autres transformés du quadrilatère il/„ + ^K ^^ V^^ conséquent les autres parties du domaine D', il faut prendre les symétriques du cercle H par rapport au cercle A^Â^ et à ses transformés. On obtient ainsi une infinité de cercles H^, H^,... dont l'ensemble constitue le domaine D'. Ce domaine n'est donc pas d'une seule pièce.

Il en est de même de D". En effet on démontrerait de même qu'en construisant les triangles symétriques de T^ par rapport aux trois côtés de ce triangle, puis les triangles symétriques de ceux-ci par rapport à leurs divers côtés, et ainsi de suite, on obtient tous les transformés de Tp -f Tp par les substitutions d'un sous-groupe fuchsien ^j du groupe kleinéen G. Ces transformés recouvrent la portion du plan extérieure à un certain cercle J et cette portion du plan ainsi que l'intérieur des divers cercles J^, J^,... symétriques de J par rapport au cercle A^A^ et à ses transformés, constituent le domaine I)".

Au contraire le domaine D est d'une seule pièce. Si en effet nous construisons les polygones symétriques de 77^ par rapport aux côtés de ce quadrilatère, puis les polygones symétriques de ceux-ci par rapport à leurs divers côtés, et ainsi de suite, nous obtenons évidemment tous les transformés de /7„ -f /7„ et par conséquent tout le domaine B. Mais lia figure ainsi formée par ces polygones que l'on construit successivement à côté les uns des autres est d'une seule pièce. Il en est donc de même de D.

Ce domaine I) est d'ailleurs limité par les circonférences H, H^ , H^, . . . , J, J, , J^ , . . . ; il n'est donc pas simplement connexe. Cette circonstance aurait rendu presque impossible la démonstration directe de la discontinuité du groupe et nécessitait l'emploi de l'artifice dont nous avons fait usage.

L'existence de ces domaines limités par un nombre infini de cercles a été signalée pour la première fois par M. Klein.,

84 H. Poincaré.

§ 10. Premièi'e famille.

Dans le § 1 1 du Mémoire sur les groupes fuclisiens, nous avons envisagé (page 56) un hexagone ABCDEF, dont les côtés AB et CB, CB et BE, EF et FA sont conjugués et dont les angles B, B, F et A -{- C -\- E sont des parties aliquotes de 2^-. Déformons cet hexagone de façon que ses angles continuent à satisfaire à cette condition, mais que ses côtés ne soient plus orthogonaux à un même cercle fondamental et cherchons à quelle condition il restera le polygone générateur d'un groupe kleinéen.

Considérons donc le groupe engendré par notre hexagone déformé ABCBEF. Il sera évidemment dérivé de trois substitutions elliptiques aS'j , S^ et ^'3 qui ont respectivement pour points doubles B et B', B et B', F et F' et pour multiplicateurs e''^ e'", e'*", /9, o et f désignant les angles B, B et F.

S^ change BA en BC S', » DG en DE S, » FE en FA.

La combinaison

est aussi une substitution elliptique qui a pour points doubles A et A' et pour multiplicateur e~'"', a. désignant l'angle A -{- C -}- E. Les combinaisons

■8,8^8^ = S, et 8,8,8, = 8,

ont aussi pour multiplicateurs e"'" et elles ont respectivement pour points doubles C et C, E et E'.

Voyons maintenant quelles relations doivent avoir lieu entre ces points doubles et ces multiplicateurs.

Mémoire sur les groupes kleinéens. 85

Soient z^ lu transformé de z par S^, z.^ celui <le z^ par S^, z.^ celui de „-., par S.^; z^ sera par consé<iuent le transformé de z par S^ et nous

aurons les relations:

En différentiant les relations (i), on trouve:

t^^i ^ .-,9 àz ch^ ,^} dz

{z,~Br ' (2--B')^' {z^-By--" {z-Bf

(2. — ^r ■ iz, - uy- ' (z, - Dy " (2. - Df

(^3-^-^ {z,-Fr (z.-Fy-' {z, - F)= = c ■; ttt: ' -^ ^-ttt: = e

{z,-Ar iz-A'y' (z,~Ay-' (T^lp'

Parmi les relations (2) envisageons les trois premières de la seconde colonne et la dernière de la première colonne et faison y, z = A d'où ^"1 = C, z.^ = E, Z.J = A; il viendra en combinant les relations ainsi obtenues de manière à éliminer dz, dz^, dz , dz. :

iA-By\c-Dy(E-Fy ^,„^,,,

(C — By{E — Dy(A — F)

ou:

^ . {A-BXG-D)(E-F). ,.a-^-..-,

{B~G)(D~EXF—A)~ -^ ' ■

Une discussion facile montre que c'est le signe ^ qui convient.

86 H. Poincaré.

Dans le cas oii les quatre angles a, ^?, d et f sont nuls, c'est à dire dans le cas où la groupe se réduit à la 2" famille la relation (3) devient:

— {A — B){G~ DXE ~F) = {B~ C){D — E){F — A).

Supposons donc qu'on se donne, outre les angles a, y9, d, f, six points doubles A, B, C, D, E, F de façon à satisfaire cà la relation (3). Les trois points doubles B', D' et F' sont alors déterminés par les équations:

et les trois points doubles A', C" et E' par lus relations:

Il n'ai-rivera pas en général que les quatre points A, B, A', B' seront sur un même cercle. Il en sera de même des points B, B', C et 6"; C, C, D et D' etc. Il résulte de là que si nous construisons le polyèdre P^ générateur du groupe, la face de la 2° sorte de ce polyèdre ne sera pas en général l'hexagone ABCDEF, mais un dodécagone, ainsi qu'on va le voir:

Voici en effet comment on peut construire le polyèdre P^ .

Considérons 6 cercles K^, K^, . . . K^ passant respectivement par A et A', par B et B', par C et C", par B et D', par E et E', par F et F. Les deux premiers se couperont en H^ et H[, les deux suivants en H^ et H'i, les deux derniers en H^ et i/^. Soient maintenant K[ et K'.^ les transformes de K^ et K^ par ^S'^; ils passeront, le premier par C et C, le second par B et B' et ils se couperont en J^ et J[.

Soient de même K'^ et K[ les transformés de K^ et de K^ par S.^; K'i et K'^ les transformés de if^ et de K^ par S.^. Ces quatre cercles passeront respectivement par E et E', par D et B', ])ar A et A', par F et F' et ils se couperont les deux premiers en J, et J!,, les deux derniers en Jg et J^.

Je suppose que ces différents cercles n'aient pas d'autre point d'intersection que ceux que je viens d'énumércr et que la position relative de ces divers cercles et points soit celle qui est indiquée par la iigure 4.

Mémoire sur les groupes klcinûens. 87

Dans ce cas construisons les sphères l\ et 2',' qui ont même centre et mCmo rayon que les cercles K^ et K-. Puis envisageons le polyèdre P„ lornie par la portion du plan extérieure à ces douze sphères. Ce po-

lyèdre aura deux faces de la 2" sorte, R^ et R'^ qui seront respectivement les portions du plan intérieure et extérieure à l'anneau formé par les douze cercles K^ et K'.; il aura douze faces de la i'" sorte formées par des portions des sphères v et 2^; ces douze faces seront conjuguées deux à deux de telle façon que la face 2- soit conjuguée de 2]. Le polyèdre P(, admettra douze arêtes de la première sorte formées par les intersections deux à deux des sphères ±] et 2'; ces arêtes se répartiront en 7 cycles ainsi que l'indique le tableau suivant.

Somme des tlièdres du cycle

Aux quatre premiers cycles correspondent les substitutions elliptiques Si, S^, S^ et S.^ ; aux trois derniers la substitution identique. Si donc

NumOro du

cycle

Arêtes faisant partie du c

ce et