JJ

88 H. Poincaré. .

les cercles À'; et A',' sont clans la situation relative indiquée par la figure 4, le groupe considéré, dont le polyèdre générateur sera P^, sera discontinu.

Notre groupe sera donc kleinéen, pourvu que les points doubles A, B, C, JD, E, F satisfassent non-seulement à la relation (3) mais à des inégalités exprimant que les douze cercles A' et /v"' sont dans la situation relative indiquée par la figure 4.

Le plan se trouve partagé en deux d(jmaines limités par une ligne L. Yoici comment on peut trouver la ofénération de la liii'ne L: on considère Fensemble des points doubles de toutes les substitutions hyperboliques ou loxodromiques du groupe. Ces points doubles forment une Punktme)u/e P; si on y adjoint son ersfe AUeittDiu P', on aura la ligne L.

§ 11. Fonctions Meinéennes.

Soit G un groupe kleinéen quelconque et soient

les diverses substitutions de ce groupe. Formons comme dans la théorie des fonctions fuclisiennes la série suivante:

l'algorithme H{z) représentant une fonction rationnelle de z dont aucun infini ne se confond avec un point singidier du groupe, et m désignant un entier plus grand que i.

Cette série est convergente. Dans le § i du Mémoire sur les fonctions fuchsiennes, nous avons donné deux démonstrations de la convergence de cette série. La première de ces démonstrations subsiste dans le cas qui nous occupe; il n'en serait pas de même de la seconde.

A tout groupe kleinéen correspondent donc une infinité de fonctions thétakleinéennes 9{z) et de fonctions kleinéennes F{z) jouissant des propriétés

Mémoire sur les groupes kleioécns. 80

Vr-z + "./

Ces fonctions jouissent des mêmes propriétés que les fonctions fuchsiennes et thétafiiclisiennes. Par conséquent toutes les fonctions kleinéennes s'expriment rationnellement à l'aide de deux d'entre elles, r et ij, entre lesquelles il y a une relation algébrique

dont le genre est égal à celui du groupe G. Quand ce genre est nul,

toutes les fonctions kleinéennes s'expriment rationnellement à Taide de

Tune d'entre elles que j'appelle r.

Si je pose:

Idz

. fd,

d.v t\ et v^ sont deux intégrales de l'équation linéaire:

qui se réduit à

dans le cas où le genre est nul (Cf § 4 du Mémoire sur les fonctions fuchsiennes); dans ces équations ç- désigne uue fonction rationnelle.

Examinons quelques cas particuliers, et d'abord reprenons l'équation (3') des paragraphes 5 et 7 du Mémoire sur les fonctions fuchsiennes:

où

Acfa mathfmalica. 3. Imprimé 8 Septembre 1883. \<}

90 H. Poincaré.

Le polynôme P{x) est de degré 211 — 2 et je suppose qu'il satisfait aux V -\- I conditions suivantes

coefficient de x'"^^ dans P{.v) = — I z- — |-

Les nombres p^, fi^,..- [i„+i sont des entiers positifs qui peuvent devenir infinis.

Nous avons vu que si le- polynôme P{x) (outre les n + i conditions (4) qui sont complexes et qui par conséquent équivalent à 211 -\- 2 conditions réelles) satisfait à 2n — 4 autres conditions réelles et transcendantes, la variable x est une fonction fuchsienne du rapport des intégrales.

Il résulte de la théorie précédente que si le polynôme P{x) satisfait non seulement aux conditions (4), mais à certaines biégalités, la variable x sera une fonction kleinéenne du rapport des intégrales. Supposons en effet les conditions (4) remplies; appelons z le rapport des intégrales de l'équation (3); quand x reviendra à sa valeur initiale, après avoir décrit

un contour fermé C,, z se changera en . \' et les substitutions

V'ri^ + ô,]

formeront un groupe G.

Si ce groupe est kleinéen, x sera une fonction kleinéenne de s. Or ce groupe G, comme on lo voit aisément est dérivé de n substitutions elliptiques ou paraboliques S^, S^,... <S'„, ayant respectivement pour multiplicateurs

2^ iirz iiit 2ijz

La combinaison

sera aussi une substitution elliptique ou parabolique ([ui aura pour multiplicateur:

Or nous avons vu au paragraphe précédent qu'il suffit de certaines

Mémoire sur les groupes kleinccns. 01

illégalités iinpo-îées aux coefficients crun pareil groupe (r [)our (pTil soit discontinu. Il suffira donc aussi d'imposer certaines inégalités aux coefficients de 7'(.') pour que x soit fonction uniforme de z.

Reprenons de nièinc l'équation (3) du paragraphe 6 du Mémoire sur les fonctions fuchsicnnes

j^ = f(-«, II)". vi*-'. y) = o-

J'appelle «,, A, les points analytinues différents de c,, d^ et pour lesquels la fonction ç devient infinie. Je suppose que la fonction (p satisfasse aux conditions suivantes:

lim {>j — (Z,V-' y~\ (f{.>:, y) = —- (pour .c = c,-, y = dt)

I — '?• lim(j; — «,)f(.«, y) =■■ ;t^^ (pour.t = a., y = 6,).

4yîr

Les nombres y?, sont encore ici des entiers positifs qui peuvent devenir infinis.

Nous avons vu que si la fonction e satisfait en outre à certaines conditions transcendantes, x est fonction fuchsienne du rapport z des variables. De même si cette fonction ç satisfait non seulement aux équations (5) mais à cei'taines inégalités, x sera fonction kleinéennc de ~". La démonstratioii serait tout à fait analogue à celle qui précède.

Ainsi pour que dans l'équation (3) x- exprimé en fonction de z soit une fonction kleinéenne de la 1'"', de la 2", ou de la 6^ familles, il suffit de certaines égalités algébriques et de certaines inégalités. Nous n'avons pas à nous imposer d'égalité transcendante. Il n'en est pas de même pour les fonctions des autres familles. Si nous voulons par exemple que dans l'équation (3) x soit fonction kleinéenne de la 3'"'' famille du rapport z des intégrales, il faudra nous imposer certaines égalités transcendantes.

Reprenons en effet l'équation (3) du paragraphe 8 du ^lémoirc sur les fonctions fuchsiennes

92 H. Poincaré.

eu supposant que la fonction (f satisfait aux conditions énoncées à la page 278 de ce paragraphe (lignes 30 et suivantes). Soit n le genre de la relation ^'1 = o; le groupe kleinéen de notre équation (3) devra être de genre n et dépendra par conséquent de 3W — 3 paramètres complexes; c'est à dire précisément d'autant de paramètres qu'il y a de modules dans la relation <p = o. Quand on se donnera cette relation (p = o, le groupe kleinéen sera donc entièrement déterminé; il en sera donc de même de la fonction ç. Il résulte de là que cette fonction est assujettie, indépendamment des conditions algébriques de la page 278 du Mémoire sur les fonctions fuchsiennes, à n conditions transcendantes, puisque ces conditions algébriques ne suffiraient pas pour la déterminer.

§ 12. Historique.

C'est M. ScnoTTKY qui a le premier l'emarqué la discontinuité de' certains groupes kleinéens (Journal fiir reine und angewandte Mathematik, Bd 83, page 346), à savoir des groupes symétriques de la s"""" famille. Depuis, M. Klein a approfondi la théorie de ces groupes dans diverses notes insérées aux Matheinatische Annalen (Tomes XIX, XX et XXI) et dans un mémoire plus étendu inséré dans le XXP volume de ces mêmes annales et intitulé: Ueber RiEMANNSche Functionentheorie.

J'avais moi-même dans deux notes que j'eus l'honneur de présenter à l'Académie des Sciences de Paris le 27 Juin et le 11 Juillet 1881 (voir Comptes Rendus, Tomes 92 et 93) énoncé succinctement la plupart des résultats exposés dans le présent mémoire.

Paris 19 Mai 1883.

PAR

iV PARIS.

Dans trois mémoires (Acta Muthematica T. i, j). i — 62: Si(r les f/roupes fuclisiens; Acta T. i, p. 193 — 294: Sur les fonctions fuchsiennes; Acta T. 3, p. 49 — 92: Sur les f/roapes kl ei m'eus) y^'a.\ étudié les groupes discontinus formés par des substitutions linéaires et les fonctions uniformes qui ne sont pas altérées pnr les substitutions de ces groupes. Avant de montrer comment ces fonctions et d'autres analogues donnent les intéo"ralcs des équations linéaires à coefficients algébriques, il- est nécessaire de résoudre deux pi-oblèmes importants:

1°. Etant donnée une équation linéaire à coefficients algébricjues, déterminer son groupe.

2°. Etant drinnée une équation linéaire du 2'' ordre dépendant de certains paramètres arbitraires, disposer de ces paramètres de manière que le groupe de l'écpiation soit fuchsien.

§ 1. Invariants fondamentaux.

Occupons-nous d'abord du premier de ces problèmes. Considérons une écpiation quelconque à coefficients algébriques:

7P 7Ï' — t iP — 'i

(0 77 + f-v.C'^ y)Y~^ + fv^C''. y)-r—i + • • •

liX, d.l- (/.(•'

• • • + r,C''' !/)'£ + foC'"' ?/)'■ = o-

Acta mat/iemadca. 4. Imprima' i:ï Dtcembre 1883. 9g

H. Puincaré.

Dans cette équation les (p sont des fonctions rationnelles de deux variables « et «/ liées entre elles par une relation algébrique

Supposons c|ue Ion considère un système fondamental d'intégrales de l'équation (i)

V,, v,, . . . , Vj,

et qu'on fasse décrire à x un contour fermé C tel que y revienn,e à. la même valeur; les intégrales i\, v.-,, ..., v^, prendront des valeurs nouvelles u\ , w., , . . . , tVj, qui seront des fonctions linéaires de leurs valeurs initiales, de telle sorte que l'on ait: