II,, II

on obtiendra alors une substitution linéaire:

'Sa.

L'ensemble des substitutions (f^Sa formera un groupe que l'on pourra désigner par la notation rr ^Ga et (|ui pourra, aussi bien que G, être regardé comme le groupe de l'équation (i), si au lieu d'envisager le système des intégrales v, on envisage celui des intégrales ii. On sait que le groupe (f'Gn s'appelle le transformé de G par la substitution linéaire a.

Afin de n'avoir qu'un seul groupe pour l'équation (i) nous ne considérerons pas comme distincts le groupe G et ses transformés par les diverses substitutions linéaires.

Cela posé, cherchons les invariants de la substitution S, c'est à dire les fonctions de ses coefficients qui demeurent invariables quand on remplace S par (T^Sa. Formo'ns l'équation:

Les racines de cette équation, et par conséquent aussi ses coefficients, ne changeront pas quand on remplacera S par a'^Sa. Ce seront des invariants de S.

H. Poinearé.

Ces invariants sont au nombre de 2> — '• En 'effet réi|uation en / (4) est de degré p; elle a donc p + i coëfticients. Mais le coefficient de f et le ternie tout connu sont égaux à i ; il reste donc p — i in-, variants. Ces invariants, qui sont des coefficients de l'équation (4) seront des fonctions entières des «.

Supposons que les intégrales Cj , v.^, . . . , v^, soient définies de la manière suivante: Au point initial du contour C (pour x = o par exemple) /', est égal à i et ses p — 1 premières dérivées sont nulles; V; est nul, ainsi que ses p — i premières dérivées, à l'exception de la dérivée d'ordre i — I qui est égale à i. Soit maintenant w]. ce que devient l'intégrale ?'i. quand x revient au point initial après avoir décrit le contour C et tvl ce que devient sa dérivée d'ordre i — 1 ; on aura:

Twli

Il en résulte "que les invariants sont des fonctions rationnelles entières des ivi.

Supposons en particulier p =^ 2; l'équation (1) devient:

— + vf,{x, y)=o

et l'équation (4) s'écrit:

iv\ + t

iv\

ou

La substitution S admet alors comme invariant unique ir\ + "'2- '^i

k est son multiplicateur, cet invariant est précisément k -\- j .

Si l'on connaissait les invariants de toutes les substitutions S,- le groupe G serait complètement déterminé, puisque nous ne le regardons pas comme distinct de ses transformés cT^Ga. Mais il ne sera pas nécessaire de connaître tous ces invariants, il suffira d'en connaître un certain nombre que nous appellerons invariants fondamentaux et dont tous les autres ne seront (lue des fonctions.

Sur les groupes des équations linéaires. 205

C<iiiili'u'ii y a-t-il triiivariaiits ioiidameiitaux? Supposons (pic le groupe G soit dérivé dv n substitutions fondanientak'S. Les coefficients de chaque .substitution seront au nombre de p' mais à cause de la relation (3), il n'en restera (pie p' — i d'indépendants. Pour les n substitutions cela l'ait en tout n[p' — 1) cocfticients. Mais nous ne (considérons pas comme distincts le groupe G et ses divers transformés. Il faut donc retrancher p'^ — I du nombre précédc^nt et on arrive à cette conclusion que pour déterminer le groupe (/, il faut (« — ^){p'' — 0 conditions.

Si donc on se donne [11 — ^){p' — 0 invariants quelconques (pourvu qu'ils soient indépendants) tous les autres n'en seront que des fonctiohs. On choisira par exemple pom* invariants fondamentaux les iiivariants de (« — i)(/j + i) substitutions convenablement choisies.

On peut toujours supposer que l'équation (i) a ses coefficients rationnels. En eii'et supposons que cela ne soit pas et (pie l'équation (2) soit une relation algél)ri(|iie de degré m de telle fa(;on (|u';r cliaijue valeur de x correspondent Hi valeurs de ij

Ho ' //i ' • ■ • ' l/,n-i ■

On pourra toujours tracer dans k: plan des .r, i)i — 1 contours C'j , C, , .... (^',„__, tels ({ue quand ./; décrit le contour C',, j/^ se cliaugc en ^;. Soient maintenant:

p intégrales fondamentales de l'équation (i) correspondant à la valeur // de //. Soient

ce que deviennent ces intc'gralcs cjuand ,»; a décrit le contour C,. Cela posé les jiip fonctions

V{, Vli, ..., V'p

..Ht — 1 j,"l — 1 II"'-'!

H. Poincarc.

satisferont à une ('■(juatioii (i') linéaire et d'ordre nqi dont les coefficients seront rationnels en r. La connaissance du groupe de (i') suffira pour déterminer le groupe de réquation (i).

Supposons donc que l'équation (i) ait ses coefficients rationnels et qu'elle présente ii + i points singuliers, en y comprenant le point co s'il y a lieu et en n'y coni[>renant pas les points à apparence singulière. Le groupe est alors dérivé de n substitutions fondamentales dont on connaît immédiatement les invariants, à l'aide de l'équation déterminante, pourvu que les intégrales soient régulières; ce sont les substitutions auxquelles on est conduit en faisant décrire à la variable un contour fermé qui n'enveloppe qu'un seul point singulier. Il reste donc à calculer les invariants de (« — i)p — 2 substitutions.

Soit <i un p(;int singulier quelconque et soient

les racines de l'équation déterminante correspondante.

Il y aura dans le voisinage du point a, p intégrales particulièrement remarquables. La /.:" d'entre elles sera égale à {x — «)'* multipliée par une fonction holomorplie. Soient:

"1, V,, ..., Vj,

ces p intégrales que j'appellerai intégrales canoniques par rapport au point a. Lorsque la variable décrira un cercle infiniment petit autour du point (I, ces ^) intégrales v subiront la substitution linéaire:

gOp

que j'appellerai substitution canonique relative au point h. Soient de même:

tv^, ii\,, ..., Wj, les intégrales canoniipies par rapport a un second point singulier b.

Sur les grouites dos éiiuatiinis liiiôiiircs.

Joignons les deux imints a et /> par un du inin ([uelconquc amh. Lorsque la variable partant du point a et dcerivant le chemin (oxb sera parvenue dans le voisinage du point h, les intégrales canoniques l'i , i'j, ..., i\, seront devenues des fonctions linéaires des intégrales canoniques n\, «'.j, ..., n\„ de telle sorte que l'on ait:

La substitution linéaire:

i^Vi l^-2-2

i^ri>

s'appellera la suhstifufion mixiliaire relative au chemin amh. Si l'on connaît cette substitution auxiliaire on connaîtra aussi une substitution du groupe de l'équation (i), ce sera celle que su])issent les intégrales canoniques 7',, f'., , ..., r^,, quand partant du voisinage du point a, la variable décrit le chemin amh jusque dans le voisinage du point h, décrit ensuite un cercle infiniment petit autour du point /;, et revient enfin dans le voisinage du point a p:ir le chemin hi)>a.

Soit 2' la substitution canonique relative au point h. Quand la variable décrira le contour précité, les intégrales v subiront la substitution S-'ÏS.

Supposons c£ue l'on joigne entre eux les n -\- i points singuliers par n chemins quelconques, de façon que l'on puisse circuler entre deux quelconques de ces points singuliers à l'aide de ces n chemins; lorsque l'on connaîtra les substitutions auxiliaires relatives à ces n chemins, le groupe de l'équation (i) sera complètement déterminé.

Soient en eft'et a l'un des points singuliers et h^, h.^, . . ., h„ les n autres. Joignons par exemple le point a à chacun des points />; par une droite. Soient ï, 1\ , 1'.,, . . . , l'„ les substitutions canonicpies relatives respectivement aux points a, b^, 1/.^, ..., h,,; soient S^, S.^, ..., «.S',, les

208 H. Poincaro.

substitutions auxiliaires relatives aux chemins «&, , rt?>„ , . . ., ah,^. Le groupe de l'équation (i) sera dérivé des n -\- \ substitutions:

entre lesquelles il y a d'ailleurs la relation:

ISv'1\S^S7'1:A ••• '5,7'2'„5„= I.

Supposons nviintenant que l'on distingue deux des points singuliers a et b; et soient c^, c.,, ..., r„i les n — i autres. Joignons a et h par n — I chemins difterents aiu^i, a)ii.,h, . . ., am„^h et soient S^, S.^, . . ., iS'„, les substitutions auxiliaires correspondantes. Ces n — i chemins partageront le plan en w — i régions; supposons que chacune de ces régions contienne un point singulier <?< et un seul. Le groupe de l'équation (i) sera entièrement déterminé. Si eu eftet 2' et 2'' sont les substitutions canoniques relatives aux deux points a et h, le groupe sera dérivé des n substitutions:

2', S'^'^S.,, 87^ 8.^, ..., 'S',7'3iS'„i , <S',7!.i'S'i .

Supposons que le jioint r, soit contenu dans la région limitée par les deux chemins amj) et am^^^h, décrivons un contour situé tout entier dans cette région et enveloppant le point r, ; (|uand la variable décrira ce contour, les intégrales canoniques relatives au point a subiront la substitution:

On volt (pie pour déterminer le groupe de l'équation (1) il suffit de connaître, soit les invariants fondamentaux, soit certaines substitutions auxiliaires.

§ 2. Calcul innii/ri(/iic des im'<ii'i<uits fomlamcntdnx.

Les invariants fondamentaux f(ui définissent complètement le groupe d'une é(|uatlon linéaire sont évidcnuiient des fonctions des ccjëfficients de cette é(iuation; d'où le problème suivant qui se pose tout naturellement: déterminer ces invariants en ffinctions de ces coefficients. Mais en réalité

Sur los groupes des équations linûaiics. 209

ce problème (st double: on peut se proposer de calculer nuinériqueincnt ces invariants quand on a affaire à une équation numérique donnée; mais il n'est pas non plus indigne d'intérêt d'étudier, au point de vue de lu théorie des fonctions, la façon dont varient les invariants quand on fait varier les co(=fficients. Les méthodes propres au calcul numérique ne nous apprennent rien sur la nature de ces fonctions, pendant que les formules les plus instructives n ce dernier point de vue conduiraient à des calculs pénibles si on voulait les traduire on nombres.

Au point de vue du calcul numérique, un grand nombre de méthodes ont déjà été proposées, parmi lesquelles je citerai celle de M. Frcns (tome 75, Journal de Crellk) et celle de M. HAMBrRGKii (tome 83, Journal de Crelle).

La méthode de M. FuCHS consiste à distinguer deux des n + 1 points singuliers, a et b, comme à la fin du paragraphe précédent, puis à diviser le plan en w — i régions par )i — i chemins nm^h, am.,h, ..., am„^b, de façon que chacune de ces ;/ — i régions contienne un des n — i autres points singuliers c^, c.,, ..., c„-i et un seul. Le savant géomètre d'Heidelberg donne ensuite un développement des intégrales eano;iiques relatives au point a et ce développement est valable dans une certaine région i?„. De même les intégrales canoniques relatives au point h sont susceptibles d'un développement valable dans une région B^. Les deux régions JB„ et R^ ont n — i parties communes Pj , P^ , . . . , P„„, . On peut d'ailleurs tracer le chemin ai)i,li de telle façon qu'il reste constamment intérieur a l'une des régions i?„ et R^ ou à toutes deux à la fois, et qu'il traverse la région P,. Il suffit alors de comparer les deux développements de M. Fl'Chs pour une valeur de x quelconque intérieure à P, (région dans laquelle les deux développements sont valables à la fois) pour pouvoir calculer les coefficients de la substitution auxiliaire relative au chemin ani^b. Le groupe de l'équation (1) est ainsi entièrement déterminé.

On peut varier cette méthode à l'infini; supposons en effet que nous joignions deux points singuliers c^uelconques « et è par un chemin quelconque amb et que nous cherchions la substitution auxiliaire relative à ce chemin. Traçons autour des deux points a et b deux régions quelconques B^ et Bf, telles 1° que la première contienne l'unique point singulier )i et la seconde l'unique point singulier b; 2° qu'elles aient une

Ac(a mnlheinatiea. 4. Imprimé 7 Derembre ]S8;î. 27

210 H. Poincar.'.

partie roininiinp P; 3° que le chemin amh reste coiistamment intéi'ieiir au moins à l'une des régions B^ et B^ et traverse la région F. Supposons que deux fonctions f„{jc) (et f^{x)) soient telles que quand x reste intérieur il la région B„ (ou à la région B^ la fonction f„ (ou la fonction Q aient constamment leur module inférieur à i, de telle sorte que ces deux fonctions donnent respectivement la représentation conforme du cercle de rayon i et de centre o sur la région B„ et sur la région B,,. Je suppose de plus:

Les intégrales canoniques relatives au point a se développei-ont suivant les puissances de fJyX). Ce développement dont les coefficients se calculent par récurrence - sera valable dans toute la région B„. De même les intégrales canoniques relatives au point h seront dans toute la région B^ développables suivant les puissances de /j(j). Il suffira de comparer les deux développements pour un point de la région P (où ils sont valables à la fois) pour calculer les coefficients de la substitution auxiliaire cherchée.

On choisira les régions B„ et B,, de telle façon que les fonctions f„ (■t /j soient aussi simples que possible. On pourra prendre par exemple un rectangle, on un fuseau limité par deux arcs de cercle qui se coupent, ou la portion du plan comprise entre deux droites parallèles.

Voici maintenant en quoi consiste la méthode de M. Hamburger.

Soit o un des points singuliers et a^, a.,, ..., a„ les « autres, rangés par ordre de module croissant; soient />, , p.^, . . ., />„ leurs modules; construisons les deux cercles qui ont pour centre l'origine et pour rayon ,'>i Pt pij^T^ . Considérons un contour fermé C compris tout entier dans la région annulaire limitée par ces deux cercles. Soit A un point de ce contour C; supposons par exemple:

A = SPiPi+i ■

Soit i\, Vj, . . . , v^, un système fondamental d'intégrales dans le voisinage du point A. Soient n\ , w.,, . . ., U), ce que deviennent ces intégrales quand on revient au point A après avoir décrit le contour C. Les intégrales ^• peuvent se dévelf)pppr suivant les puissances croissantes de

Le — 1/1

Sur les grc)ui>uN dus ûnuatiuii.-- lii](.'iiire.«. 211

et si 011 ii: .

les (léveloppeiuents sont encore valable.< (lUiind on t'ait

h—lA = 2i-.

En substituant alors 2/t à la place de Ix — \A tlans les dcvcloppeluents des intégrales ;■ et de leurs dérivées, on aura les valeurs des intégrales ((' et de leurs dérivées, ce qui suffit pour déterminer la substitution du groupe de l'équation (i), qui correspond au contour C.

La méthode de ]\I. Hamburger peut être aisément étendue au cas où

Nous poserons pour abréger

]p,^, — Ll = ^ ,

puis nous développerons les intégrales (• suivant les puissances de

ia I ta

Le dovelop[>enient sera encore convergent pour ou:

— 2.TK

En remplaçant dans les développements des intégrales r et de leurs dérivées s par cette valeur, on aui'a les valeurs des intégrales w et de leurs dérivées et par conséquent la substitution qui correspond au contour C. Il suffit de réfléchir un instant à la nature de ces méthodes pour comprendre qu'on peut les varier à l'infini. Le calculateur devra se guider dans son choix d'après la convergence plus ou moins rapide des séries employées. Or cette convergence dépend avant tout de la position relative des n + i points singuliers. C'est donc cette position qui déterminera le choix d'une méthode.

H. Poincarc.

Mais iiucuiie des niéthodes ainsi proposées \\v nous appreiiLlrait rien sur les proi>riétés des invariants fondamentaux considérés connue fonctions des coefficients et étudiés au point de vue de la théorie des fonctions. C'est cette étude que nous allons aborder dans le paragraphe suivant.

S 3. Propriétés des invariants fonda ineutaax.

Ecrivons l'équation (i) sous la forme suivante:

^ ' dx^ ^ ^ .Zrf (.6 — «,)" ^*' '

Pour écrire ainsi cette équation nous avons décomposé en éléments simples les coefficients des diverses dérivées de i\ qui par hypothèse sont des fonctions rationnelles de ,r. Nous avons supposé de plus que ces fonctions rationnelles n'admettaient pas de partie entière, car il est toujours permis de faire cette hypothèse.

Les invariants fondamentaux ((ue n(jus cherchons seront des fonctions des «j et des A,,/,i. Considérons d'abord les a, comme des constantes et les A comme seules variables. Je dis que les invariants seront des fonctions entières des A.

Pour le faire voir il suffit de démontrer ce (jui suit: Ecrivons ré<iuation (i) sous la forme suivante:

Les ^i- et les ç\. sont des fonctions rationnelles de .r que je suppose entièrement déterminées; a et j3 sont des paramètres que je vais regarder comme variables. Il suffit, dis-je, de démontrer que les invariants sont des fonctions entières de « et de j^.

Considérons un pouit quelconque a du plan et décrivons de ce point commis centre un cercle K assez petit pour ne contenir aucun point

Sur les gruu|)cs des ciiuatiun- liucaircs. 213

singulier. Soient i\, i\, ..., i),, p intégrales assujetties aux conditions

suivantes

Pour .1 — a, r, = 1 , ses j) — i premières dérivées sont nulles, y, = o, ses p — i premières dérivées sont nulles,

excepté la dérivée d'ordre / — i qui est égale à i.

Les intégrales t\, i\^, .. ., v^, sont développables à Vintérieur du cercle K suivant les puissances croissantes de .r — n. Le coefficient de {x — a)'" est un polynôme d'ordre m — p + ^ en « et en ^9. On a donc un développement de ces intégrales suivant les puissances de x — a, de a et de yî. Il reste :i faire voir que ce développement est convergent.

Si on regarde v comme fonction de ./', de t. et de j3, l'équation (i) peut être regardée comme une équation aux différences partielles et le théorème de M"' de Kowalevsky (J. de Crelle, T. 8o) appliqué à cette équation montre que v peut être développé suivant les puissances de x — a, Je a — «d et de y? — j?^ , pourvu (jue x soit intérieur au cercle K et que les modules a — ol^ et fi — ^9^ soient suffisamment petits . Ainsi v est une fonction holomorphe de a et de yî dans le voisinage d'un point quelconque a^ , 1% ; c'est donc une fonction entière de a et de y9 et le développement de V suivant les puissances de x — a, de ol et de y5 est convergent quels que soient a et ^? pourvu que x soit intérieur au cercle K.

Il faut maintenant démontrer que si x est regardé comme une constante, v est encore fonction entière de a et de yî, quand même x est extérieur au cercle K. Pour définir complètement la fonction c.dans ce cas, il ne suffit pas de se donner la valeur de x, il faut encore connaître le chemin amx par lequel cette variable a atteint cette valeur, en partant du point a.

Supposons pour fixer les idées que b soit un point intérieur à K, que K' soit un cercle ayant son centre en b et ne contenant aucun point singulier, que x soit intérieur au cercle K' et extérieur à K, enfin que le chemin amx soit tout entier intérieur à la figure formée par l'ensemble des deux cercles K et K'.

Soient »j . «j, . . ., Uj, un système fondamental d'intégrales défini comme il suit: Ui devra satisfaire pour x = b aux mêmes conditions auxquelles était assujettie i\ pour x = a.

214 H. Piiiucarc.

Soit v] la valeur de r, pour .r •=^ h, r*"''' la valeur de sa dérivée k". On aura:

Vi = 2 vhh ■

Or les v'i sont des fonctions entières de a et de ^5 puisque le point h est intérieur au cercle K, et les «^ sont aussi des fonctions entières de a. et de y3 puisque le point j' est intérieur au cercle K'. Donc les <•; sont aussi des fonctions entières de a et de p.

Le raisonnement serait le même si au lieu d'avoir à considérer seulement deux cercles de convergence K et K', il était nécessaire d'en envisager plusieurs.

Supposons maintenant que le chemin anw se réduise à un contour fermé C. Les valeurs des intégrales t\ et de leurs dérivées ne sont alors autre chose que ce (jue nous avons appelé «'■ dans le § i. Or les invariants fondamentaux sont des polynômes entiers par rapport aux «f, ce seront donc des fonctions entières de a et de j3.

Ainsi quand on regarde les a,, comme des constantes, les invariants sont des fonctions entières des A,,^ et peuvent par conséquent être développées suivant les puissances de ces quantités yl,,^, . Considérons un quelconque des coefficients de ces développements, ce sera évidemment une fonction des rtj et c'est la nature de cette fonction qu'il nous reste Èi étudier. Il est aisé de voir que ces fonctions s'expriment à l'aide de quadratures successives. îxrivons en effet l'équation (i) sous la forme (r) et considérons le développement de l'intégrale v^ suivant les puissances de a et de ^3:

^ '^'im«a"'/5"'-

Je dis qu'on peut obtenir le coefficient y,„,„ par de sinq)les (jua- <lratures. Je suppose en effet que cela soit vrai })our r,. „.i „et <', ,„.„i; cela sera vrai aussi pour r^,,,,, car on a identiquement:

. m . Il — 1

-7jr = L F^ j-, + 2^ ^^- — -,

dx' ^ ^ dx

et la dérivée jf de «;„„„ s'exprimant à l'aide de quadratures successives, il en sera de même de la fonction r,,,,,, elle-même.

.■^Mi' les jri'Diipos dos c(|uatii)iis lini'niros. 21i'>

Soit inaiuti'iiant /r' ,„ le c-(R''ffi(;ient de et'"/?" dans le dévcloinjciiient de wf. Ce coefficient s'exprimera pour la iiirnie raison par des quadratures, et il en sera de même des coefficients qui entrent dans le développement des invariants, car ce sont des ])ol)'nômes entiers par rapjjort aux »'J,„„. On peut d'ailleurs pousser plus loin l'étude du développement de la fonction ?',. A cet effet posons:

, , / dxAjx, a,)

.1(^.1, a,, C(,, , ..., c!,,,, ctj — /

Remarquons maintenant qu'on peut mettre l'équation (i) sous la forme de p équations simultanées du \" ordre. Si les intégrales sont régulières dans le voisinage de chacun des points singidiers, nous pourrons introduire p variables simultanées u^ =^ r, u.,, .... /i^, et remplacer ré(ju;ition (i) par les j) é(iuations simultanées

dvi

dx

^f.kfik-

Les c, seront des fonctions rationnelles de la forme suivante

les ^i.i. ^. étant des constantes. Supposons par exemph» }> ^- 2, l'écpiation (i) s'écrira:

dx" ~ Q'^"'

Q sera le produit (.r — '"',)(■'■ — «.,)...('• — n„) et P sera un polynôme en r de deo-ré 21/ — 2. Nous ixiui'i'tnis toujours trouver deux

216 H. Poincaré.

polynômes entiers A et C de degré n — i en r et satisfaisant identiquement à la relation :

r -\- A' -{- A'Q — AQ' = P.

Posons alors v ^^ i(^ et introduisons une variable auxiliaire <<j. Nous pourrons écrire

du, A , I

dx Q^ ^ q 2

Les équations sont bien de la forme (2).

Il est aisé de voir maintenant que si on développe l'intégrale v, suivant les puissances des A,^,^ , le coefficient d'un terme quelconque sera nne somme de fonctions telles que A o\\ les paramètres «j , a., , . . . , a,, 11e senmt autre chose que les points singuliers «, , a.^, ..., a„ se succédant dans un ordre quelconque et chacun d'eux pouvant d'ailleurs être répété un nombre ([uelconque de fois.

§ 4. Fonctions inverses.

Nous avons jusqu'ici étudié les invariants fondamentaux comme fonctions des coefficients de l'équation (i); mais si au contraire on regarde les coefficients comme des fonctions des invariants fondamentaux, on est conduit à des transcendantes intéressantes qui jouent par rapport aux équations linéaires le même rôle que la fonction modulaire par rapport aux intégrales algébriques.

Mais ici il importe de faire une remarque; reprenons l'équation

et considérons les infinis des coefficients ç^•, ils seront de deux sortes: les uns seront des points singuliers proprement dits et quand la variable X décrira un contour fermé autour d'un de ces ])oints, les intégrales

Sur les groupes des étuiations lin<$airc.s. 217

subiriiiit une substitution linôairc; les autres seront de simples polos des intégrales ou bien encore si a est un pareil point, toutes les intégrales se mettront sous la forme

/ étant une constante qui est la même pour toutes les intégrales et ç{r) étant holoniorplie. 11 en résulte que quand /■ décrit un contour fcniié autour du point a toutes les intégrales sont multipliées par un même facteur et que leurs rapports reprennent leurs valeurs primitives. Ces points s'appelleront des points à apparence shir/idirre . Pour qu'un infini des coefficients çr^ soit un point à apparence singulière, il faut

— — conditions.

Supposons donc une équation do la forme (i) admettant w points singuliers outre le point <X), savoir a^, a.,, ..., a„ et ^ points à apparence singulière f)^ , b.,, . . ., h,^.

•Te suppose que les intégrales soient partout régulières. L'équation (i) s'écrira alors:

Nous posons:

Q = (•'• - «JC*- -«,)••• {r - «„)(.r - h,){.r - /,,) . . . (.r - /.) et Pi est un polynôme d'ordre

L'équation (i) contient alors

paramétres, à savoir:

i". Les n + q infinis », , «, , . . . , a„ , h^ , h., , . . . , h,^. 2". Les

coefficient?; dos polynômes P^..

Acra mat hf mat ira. \. Imprini»^ 14 Décembre 18R:î. OC^

218 "H. Poincaré.

Mais nous avons

conditions exprimant que les points h sont à apparence singulière. Il reste donc

paramètres indépendants.

Remarquons de plus qu'on peut toujours supposer

rt, = o, «2 = I

car si cela n'était pas, on ferait un changement linéaire de vai-ial)le. Il faut donc encore de ce chef, retrancher deux paramètres.

Si nous supposons de plus qu'il n'y a pas de points à apparence singulière, il restera enfin

paramètres. Mais le groupe G de l'équation (i) est dérivé de 11 substitutions et nous avons vu au § i qu'un pareil groupe G, si on ne le regarde pas comme distinct de ses transformés par les diverses substitutions linéaires, dépend de

invariants fondamentaux.

Si 2-> = 2 les expressions (2) et (3) se réduisent toutes deux à 3» — 3. Le nombre des pai-amètres de l'ét^uation est alors égal an nombre des paramètres du groupe; d'où la conséquence suivante:

On peut en général trouver une équation du 2^ ordre, sans points à apparence singulière qui admette un groupe donné.

Je veux dire par là que pour que cette équation existe, il n'est pas nécessaire qu'il y ait aucune relation entre les invariants du groupe et que si on doit leur imposer certaines conditions, ce ne sont que des conditions d'inégalité. D'ailleurs on pmn-ra trouver une infinité d'équations

Sur les groupes des équations linéaires. 210

du 2'' ordre (jui aiiroul dis points m iipparçiice singulière et qui admettront un inèine groupe.

Supposons maintenant p> 2 et bien entendu w > i. (^11 voit aisément que l'expression (2) est toujours plus petite (pie rex[)ression (3); d'où eette conséquence:

On ne peut pas en général trouver une équation d'ordre supérieur au secoud, sans points ;i apparence singulière et ipii admette un grouije

(tonne.

Il faut donc en général, si l'on veut construire une équation ayant un grou[)e donné, lui donner des points à apparence singulièr(\

C'est pour éviter ces points (jui compli(j[ueraient notablement les résultats et les démonstrations cpie je me bornerai ici au cas des équations du 2" ordre. Je supposerai donc que j'ai alFaire à une équation du 2'' (jrdre sans point à apparence singulière.

Considérons sur la sphère les n -f i points singuliers

f?, = o, a., = 1, (1.^,(1^,..., rt„, «„^, = co et joignons les par n coupures

Considérons deux intégrales quelconques de l'équation (i) et leur rapport 2; quand x' parcourra la sphère sans franchir les coupures, 3 parcourra une certaine région R. Cette région sera analogue aux polygones «rénérateurs des groupes fuchsiens et kleinéens, mais elle pourra se recouvrir partiellement elle-même: elle aura 211 côtés:

et

répondant aux n coupures:

«iff,, (7,rt3, ..., «/?„^.,.

Les côtés /9,;3,+, et «,«;+, seront conjugués et on passera de l'un à l'autre par une substitution linéaire S,. Les sommets a^ et a„+, formeront

220 ^ H. Piiincarc.

cliiK-'îiii un cycle. Il y aiii'a ih — i iiutivs cycles l'oriues rcs[)cctivcuiciit des soiiiinets a, et yî;. La soiiunc des angles a, et ^^ est alors égale à

X- étani la [)lus petite racine de ré(|uation dctcnnin;mtc relative au poinl singulier «, . De même les angles c«, et c(„^, sont égaux à