S^ = AMENA
faisait tout entière partie de R^^. Il pouri-a donc se faire (pie le polygone normal auquel on aura réduit la région R^ soit concave.
Voici comment on se tirerait d'affaire en pareil cas. Il est clair que la pai'tie positive et la partie négative de R^ devront être toutes deux des polygones normaux. Supposons pour fixer les idées que la partie positive contienne au plus deux points corresjjondants <à un point donné z. Parmi les points de R^, il y en aura (pii seront compris dans la partie positive et qui n'admettront aucun correspondant soit dans la' partie positive, soit dans la partie négative. Ils formeront un certain polygone normal P.
. La partie négative formera un certain polygone normal P'; et à chaque point de cette partie négative correspondront deux points de la partie positive dont l'ensemble formera deux polygones norrnaux F" et P", tous deux congruents à P'. Cela posé, retranchons de 7?„ le polygone P" et ajoutons-y le polygone congruent P. Nous obtiendrons ainsi une nouvelle région i?^ (|ui ])ourra servir coinnie R^ â engen(h-er le groupe
20 H. Poiucarô.
fiichsieu G. Cette région n'aura ])lus de partie négative et sera formée des deux polygones P et 1"".
Ce sera donc un polygone normul convexe.
On volt ainsi que dans tous les cas possibles, on peut supposer (pie R^ est un polygone normal convexe.
Si l'on connait le polygone normal B^ et la distribution de ses côtés en paires de côtés conjugués, le groupe G est entièrement déterminé.
En effet reportons-nous à ce que nous avons vu dans le § précédent:
Les substitutions fondamentales de G sont celles qui correspondent aux régions limitrophes de i?^ ; on les obtiendra donc en envisageant un des côtés de la l*"^" sorte de B,^ et en cherchant quelle est la substitution ((ui change ce côté en son conjugué. Or soient AB et A'B' deux côtés conjugués. Ces deux côtés, d'après le § 3, devront être congruents, c'est à dire que l'on aura :
Or dans ce cas, d'après le § 1, il existe une substitution réelle qui change AB en A'B' et en général cette substitution est parfaitement déterminée. Les substitutions fondamentales du groupe G et par conséquent le groupe G lui-même sont donc parfaitement déterminés.
C'est pour cette raison que j'appellerai le polygone R^ jwlygone yénérafeur du groupe G.
§ 5. Classification en familles.
Nous avons vu plus haut ([ue deux, trois ou plusieurs des sommets du polygone R^ peuvent être des points correspondants et nous avons appelé cycle l'ensemble des sommets de ce polygone c[ui sont correspondants à l'un d'entre eux.
Les sommets de R^ se répartissent de la sorte en un certain nombre de cycles. Voyons comment, connaissant la distribution en paires des côtés de la l'" sorte, on pourra trouver la distribution des sommets en cycles. Pour cela il suffit d'appliquer la règle suivante que l'on démontrerait sans peine.
Sui)posoiis qu'on parcoure dans un certain sens le périmètre du po^ lygone /?„, et iju'on rencontre successivement un côté, puis un sommet,
Tlu'oiie dos groupes tuchsictis. "--1
puis un autre côte, puis un autre sommet et ainsi de suite. Cela posé, partons d'im sommet quelconque; envisageons le côté suivant, puis son conjugué si ce côté est de la T" sorte; puis le sommet suivant, puis le côté suivant, ])uis son conjugué si ce côté est de la T" sorte, et ainsi de suite. On pourra continuer ainsi juscju'à ce qu'on revienne au sommet qui a servi de point de départ, ou bien jusqu'à ce (pi'on arrive à un côté de la 2'''' sorte.
Dans le premier cas, tous les sommets que l'on aura rencontrés de la sorte formeront un cycle. Dans le second cas, il sera nécessaire pour compléter le cycle de reprendre le sommet qui a servi de point de départ et de remonter à partir de ce sommet, en considérant successivement le côté précédent, puis son conjugué si ce côté est de la 1"* sorte, puis le sommet précédent, puis le côté précédent, et ainsi de suite jusf|u'à ce qu'on finisse par arriver à un côté de la 2'''' sorte.
Il est aisé de voir qu'il y a trois catégories de cycles: Tout point correspondant d'un point £ situé au dessus de X est lui-même au dessus de A', donc tout sommet correspondant d'un sommet de la l"'" catégorie (§ 3) est lui-même de. la V" catégorie. Il y aura donc des cycles formés uniquement de sommets de la 1"' catégorie; ce seront les q/cles de la V" catégorie. En partant d'un sommet de la r'" catégorie et prenant successivement les côtés et les sommets que l'on rencontre en appliquant la refile précédente, on ne rencontrera jamais (jue des sommets de la V" catégorie et par conséquent aussi jamais que des côtés de la V'^ sorte. On ne sera donc arrêté que quand on sera revenu au sommet qui aura servi de point de départ, c'est à dire que le cycle sera fermé.
Tout sommet correspondant d'un sommet de la 2'^'' ou de la 3""^ catégories, devra lui-même appartenir à l'une des deux catégories. Ce qui nous amène à considérer deux nouvelles classes de cycles.
Les cycles de h 2" catégorie ne contiendront qufe des sommets de la 2'*' catégorie ; en leur appliquant la règle précédente, on ne rencontrera pas de côté de la 2"^ sorte, c'est à dire que le cycle sera encore fermé.
Les Cijcles de la 3"" catégorie contiendront des sommets de la 3""" catégorie et pourront en contenir également de la i**"; en leur appliquant la règle précédente, on rencontrera des côtés de la 2''^ sorte, c'est à dire que le cycle sera ouvert. Cela va nous permettre de classer en familles les polygones B^ et par conséquent les groupes G.
22 H. Puiiuiiri'.
Le polygone B^ sera (le la l"'"-' famille s'il a des cycles de la 1''' catégorie seulement )) ), -l""" )' » » ); ' » » ); 2"''' » >.
-» » 4"°° » » » » » » » 2'"" et de la 3"'' catégorie seulement
)> )) 7"'" )j )^ x> )j >i des trois catégories.
Quelques exemples feront mieux comprendre ma pensée.
Exeinple I. Le polygone R^ est un hexagone ABCDEF; tous les cotés sont de la V" sorte; les cotés
jf- S -^B et AF
BC et FE CI) et EB
sont conjugués. Appliquons la règle, nous rencontrerons successivement:
1° en partant du sommet A, le sommet A, le coté AP>, le côté AF et le sommet A.
2" en partant de F), le sommet i>, puis BC, puis EF, puis F, puis FA, puis ^4B, puis B.
3" en partant de C, le sommet C, puis CB, puis i?i>, puis i?, puis EF, puis 7?C, puis C.
4° en partant de B, le sommet jD, puis BE, puis t'i>, puis iA
11 y a donc quatre cycles formés respectivement:
1° du sommet A
2° des sommets B et F ,
3" des sommets C et E
4" du sommet B.
Exemple II. Le [)olygone /i'„ est toujours un hexagone ABCBEF dont tous les côtés sont de la 1"" sorte; mais les côtés opposés
AB et BE
BC et EF ' ■
CB et FA
sont conjugués. Appli(pions la règle, nous rencontrerons successivement
1" cil partant de A, le soimnet A, puis Afl puis DE. puis /•;, puis EF, puis BC, puis C, puis ('J>, puis F.4, puis J.
2° eu partant de 5, le sonnnet B, puis 5C', puis EF, puis /•', puis Fâ, puis CD, puis D, puis DE, puis ^B, puis B.
Il V a donc deux cycles tonnés respectivement:
1° des sommets A,C' et E
2° des sommets B,I) et F.
Exemple III. Le polygone R^ est \m octogone ABCDEFGH dont tous les côtés sont de la 1"''' sorte, les côtés opposés:
AB et EF BC et FG CD et GH DE et HA sont conjugués.
Partons du sommet A, nous rencontrerons successivement: A, AB, EF, F, FG, BC, C, CD, GH, H, HA, DE, E, EF, AB, B, BC, FG, G, GH, CD, D, DE, HA, A.
Tous les sommets font donc partie d'un même cycle. Exemple IV. Supposons maintenant que les côtés:
AB et CD BC et DE EF et GH FG et HA soient conjugués.
Partons encore de A, nous rencontrerons:
A, AB, CD, D, DE, BC, C, CD, AB,. B, BC, DE, E, EF, GH, H, HA, FG, G, GH, EF, F, FG, HA, A.
Tous les sommets font encore partie d'un même cycle. Dans les quatre exemples précédents, tous les côtés sont de la 1'" sorte, tous les cycles sont donc de la 1*" ou de la 2*' catégories.
Exemple V. Le polygone B„ est encore un octogone ABCDEFGH:
Les côtés AB, CD, EF, GH sont de la V" sorte, les côtés BC, DE, FG, HA sont de la 2"' sorte. Les côtés:
24 H. Poincaré.
' AB et CD
EF et GH
sont conjugués. On rencontrera successivement:
1" en partant de A, le coté AB, puis Cl), pu.is J), puis DE qui est de la 2"'' sorte.
2° en partant de C, le côté CD, puis AB, puis B, puis 7>f ' qui est de la 2''" sorte.
3° en partant de E, le côté EF, puis GH, puis 77, puis 77^4 qui est de la 2''" sorte.
•4° en partant de G, le côté 6^77, puis EF, puis" F, puis 7''(5 (pii est de la 2"'^ sorte.
Les sommets se répartissent donc en 4 cycles formés respectivement:
r de A et de D, 2" de C et de B, 8° de £• et de H, 4° de f^ et de 7*:
Ces cycles sont ouverts, puisque dans la recherche de chacun d'eux on a été arrêté par la rencontre d'un côté de la 2"^^ sorte. Ils sont donc de la 3""' catégorie.
On peut pousser plus loin encore la classification des polygones 7?^ et des groupes G. Voici de quelles considérations nous pourrons faire usage à cet effet.
Considérons d'abord un cycle de la 1"" catégorie et un sommet A^ de 7?g faisant partie de ce cycle. Soit B^ le côté suivant, C^ son conjugué, 4] l6 sommet suivant, B^ le côté suivant, C,^ son conjug'ué, A^ le sommet suivant et ainsi de suite, on poursuivra de la sorte jusqu'à ce ([u'on arrive à un sommet A„ coïncidant avec A^.
On pourra même poursuivre indéfiniment de cette façon sans être jamais arrêté puisque l'on ne rencontrera pas de côté de la 2*'* sorte. Mais le sommet A„ ne différera pas de A^^, le sommet A„J^■^ de .4,, et en général le sommet A,, de A^ si on a
Il ^ k mod. n.
Le cycle se compose alors de n sommets distincts, h savoir A^, A^,
Supposons maintenant (jue l'on décrive autour de A^ \\u cycle infiniment petit quelconque; on sortira de 7?,, par le côté 7),, pour entrer dans le polygone 7?^. Considéré comme appartenant à ce dernier polygone, k' côté 7?, sera l'homolooiio de C^ ; jinr conséquent le point A„ aern l'ho-
Tiléorie des groupes fuchsiens. 25
mologue de A^ et le côte suivant sera l'homologue de By Le cycle infiniment petit décrit autour de A^ sortira ensuite du polygone i?, en franchissant ce côté homologue de B^ et entrera dans un certain polygone que l'appelle B.y Considéré comme appartenant à ce polygone, le coté qui dans iî, était homologue de B^ sera homologue de C^; le point A^ sera homologue de A^ et le côté suivant l'homologue de By
On continuera de la sorte, la loi est manifeste. On passera successivement dans les polygones B^, B^, B.^ B,^^ et enfin dans B,,
qui devra se confondre avec J?„.
On sortira du polygone Bt pour entrer dans le polygone i?,.^, en franchissant un côté qui envisagé comme appartenant à B^ sera l'homologue de Bi^i et envisagé comme appartenant à J^^ + j sera l'homologue de C^^^. Le sommet A^ envisagé comme appartenant à Bt sera l'homologue de Af
Mais le polygone B.^ doit se confondre avec B^ ; donc le sommet A^ ne doit pas différer de A^, on a donc
2^0 mod. n
d'où:
q = pn.
Le nombre des polygones qui ont un sommet en A^ sera donc divisible par n.
La figure ci-jointe éclaircira peut-être ce qui précède. Nous y avons supposé
Nous n'avons représenté que les parties des polygones qui sont infiniment voisines de A^ ; c'est pourquoi chacun de ces polygones eât représenté seulement par un angle. Dans le voisinage de chaque sommet A (ou de chaque côté B ou C) et à l'intérieur de chaque polygone iî„ nous avons marqué une lettre indiquant quel est le sommet (ou le côté) de B^ dont ce sommet A (ou ce côté B ou C) est l'homologue si on l'envisage comme faisant partie du polygone jB(.
Nous avons donc autour du point A^ pn angles dont la somme doit être égale à 2-, et comme dans deux polygones congruents les angles homologues sont égaux, on aura :
Aeta mathematica.
26 H. Poincaré.
Or on a:
Ain + A,, + l + Ann + i + + At„ + „-l = A, + A^ + + ^n-1.
Il vient donc:
2jr A, + A^ + A, + + A i = —
ce qui permet d'énoncer le théorème suivant:
La somme des angles de B^ qui correspondent aux sommets d'un même cycle de la 1^" catégorie est une partie aliquote de Stï.
Mais ici deux cas peuvent se présenter: ou bien la somme de ces angles sera égale à 2-, ou bien à 2- divisé par un nombre entier plus grand que 1.
Dans le premier cas je dirai que le cycle appartient à la l^'" souscatégoi'ie; dans le second cas, qu'il appartient à la 2" sous-catégorie.
Les propriétés des cycles de ces deux sous-catégories ne sont pas tout à fait les mêmes; c'est ce qui nous engage à faire dans la 1'" famille une coupure, et à séparer, sous le nom de 1"' ordre, les polygones B^ dont tous les cycles sont de la l"" sous-catégorie, pendant que les autres polygones B^ qui auront un cycle de la 2''' sous-catégorie formeront le 2' ordre.
Reprenons les polygones R^, B^, ^?-i 'l^^i ont un sommet en A^.
Envisageons la substitution réelle qui change B^ en B„ et qui fait évidemment partie du groupe G. Cette substitution ne changera pas \e point Ag qui devra par conséquent en être un point double. C'est donc une substitution elliptique; elle pourra se mettre sous la forme (3) § 1 et de telle sorte que
Supposons maintenant que le point A^^ au lieu d'appartenir à un cycle de la 1'^" catégorie, appartienne à un cycle de la 2" catégorie. Tous les raisonnements précédents s'appli(jueront, puisque nous n'avons supposé (ju'une chose: c'est que le cycle était fermé, et puisque cela est vrai des cycles de la 2^° comme de ceux de la l*"'"^ catégorie. Seulement le nombre q et par conséquent le nombre jj seront infinis. La somme des angles correspondant aux divers sommets du cycle sera donc nulle et c'est ce qu'il était
Théorie des groupes fuchsieiis. -''
aisé de prévoir, puis([ue tout angle d'un polygone normal dont le sommet est sur X est évidemment nul. La substitution réelle qui change R^ en B„ ne changera pas A^. Ce sommet en sera donc un point double, et comme il est sur X, la substitution sera parabolique ou hyperbolique.
Soit S cette substitution; soit C\ le côté qu'il tant franchir pour passer de 7?, dans A + j. C', + „ sera le transfornié de C\ par S, de sorte
que les divers côtés C\ seront les transformés successifs de C\, C\,
C'„, par la substitution S et la substitution inverse.
Supposons d'abord que la substitution S soit parabolique. Nous avons vu (§ 1) qu'un arc tini de courbe qui ne coupe pas X ne peut rencontrer iiu'un nombre fini de transformés successifs d'un cercle tel que C par une substitution telle que S et par sa substitution inverse. Un pareil arc ne passera donc qu'à travers un nombre fini des polygones i?„, Ji ^ B, qui ont un sommet en A^.
Supposons au contraire que la substitution S soit hyperbolique. Soient A^ et A'^ les deux points doubles de cette substitution, C le cercle décrit sur A^ Â, comme diamètre. Nous avons vu (§ 1) qu'un arc fini de courbe qui ne coupe pas X rencontre un nombre infini de transformés successifs d'un cercle tel que C^ ou n'en rencontre qu'un nombre fini, suivant qu'il coupe ou ne coupe pas le cercle C. Un pareil arc traversera
donc un nombre infini des polygones B„, R^, ^,,, s'il coupe
C, et il n'en traversera qu'un nombre fini s'il ne coupe pas C. Si la substitution S est paraboliqne, nous dirons que le cycle auquel appartient A^ est de la 3"^ sous-catégorie; si elle est hyperbolique, nous dirons que le cycle est de la 4' sous-catégoi'ie.
Cela va nous permettre de subdiviser les 2% i% 6% 1' familles.
Un groupe de l'une de ces familles appartiendra au 1" ordre de cette famille s'il ne contient pas de cycle de la i' sous-catégorie, et au 2'' ordre s'il contient des cycles de la -i^ sous-catégorie.
§ 6. Existence des groupes fuchsiens.
Jusqu'ici nous avons raisonné sur les groupes fuchsiens en supposant qu'ils existaient et nous n'en avons pas démontré l'existence. Nous avons vu que tout groupe fuchsien G peut être considéré comme engendré par un polygone normal i?, dont les côtés sont de deux sortes; ceux de la
28 H. Poincaré.
1'" sorte sont des arcs de cercle ayant leur centre sur X, ceux de la 2^" sorte sont des serments de l'axe X lui-même. Les côtés de la 1"" sorte sont au nombre de 2» et se répartissent en paires de côtés conjugués. Quand on connaît le polygone B^ et la répartition de ses côtés en paires, le groupe G correspondant est en général parfaitement déterminé. Quant aux sommets, ils se répartissent en un certain nombre de cycles.
Pour pouvoir donner naissance à un groupe fuchsien G, le polygone i?j doit satisfaire à deux conditions:
1° Dei(x côtés conjugués doivent être congnœiits.
2° La somme des angles d'un même cycle de la T" catégorie doit être une partie aliquote de 2tï.
Ces conditions sont nécessaires; sont elles suffisantes? C'est ce que je vais démontrer.
Je suppose que le polygone li^ soit donné, ainsi que la distribution de ses côtés de la l'"'^ sorte. De cette connaissance résulte celle des substitutions fondamentales du groupe correspondant et par conséquent la possibilité de construire les polygones B, limitrophes de B.^. Opérant sur ceux-ci comme on a opéré sur iî^, on construira les polygones limitrophes des polygones déjà obtenus et continuant indéfiniment cette opération, on construira une infinité de polygones congruents à B^. Mais ici plusieurs hypothèses peuvent être faites:
1° Ou bien les polygones ainsi construits couvriront une partie du plan mais ne la couvriront qu'une fois de manière à ne pas empiéter les uns sur les autres et à ne pas se recouvrir mutuellement. Alors ils formeront une sorte de damier; la portion du plan envisagée sera partagée en un certain nombre de régions congruentes entre elles. L'existence du groupe fuchsien correspondant à B^ sera donc démontrée.
2° Ou bien les polygones construits de la sorte empiéteront les uns sur les autres de façon à recouvrir une partie du plan plusieurs fois ou même une infinité de fois. Dans ce cas le groupe auquel conduirait B^ (c'est à dire le groupe dont les substitutions fondamentales sont celles qui changent chac[ue côté de la 1'" sorte de B^ en son conjugué) est continu; ce n'est pas un groupe fuchsien.
Comment reconnaîtrons-nous maintenant quel est celui de ces deux cas auquel nous avons affaire? Considérons un point quelconque A, intérieur à B^, et un second point B quelconque. Joignons A à B par un
Théorie des groupes fuclisicns. 29
arc de courbe quelcoiK|uc A^^B. Cet arc sortira de R^ par un certain côté C\; on construira alors le polygone B^, limitrophe de /?„ le long de C^; si A3IB sort de B^ par un côté C\, on construira le polygone B^, limitrophe de B^ le long de C, et ainsi de suite.
Les arcs A3IB seront de deux sortes:
1° Ou bien après un nombre fini d'opérations de ce genre on finira par trouver un polygone B„ duquel ne sorte plus l'arc AMB, de telle façon que le point B soit à l'intérieur de B„\ c'est alors que le point B se trouve dans la partie du plan recouverte par les polygones B et que l'arc A3IB ne sort pas de cette partie du plan: l'arc AMB sera de la 1'''' sorte.
2° Ou bien, quelque grand que soit le nombre des opérations effectuées, on ne trouvera jamais un polygone J?„ ducjuel ne sorte plus l'arc AMB. L'arc A3fB sera alors de la 2" sorte.
Au sujet du point B on peut faire trois hypothèses:
r Tous les arcs A3IB que l'on peut tracer entre A et B sont de la 2" sorte; le point B est alors hors de la partie du plan recouverte par les polygones R.
2° Parmi les arcs A3IB tracés entre A et B, il y en a de la l*"" sorte; chacun de ces arcs conduit, d'après ce qui précède, à un polygone R„ à l'intérieur duquel se trouve B. De plus ce polygone i?„ est le même quel que soit l'arc A3IB de la V'' sorte par lequel on a joint les deux points A et B. Dans ce cas le point B est dans la partie du plan recouverte par les polygones R; de plus ces polygones ne recouvrent cette partie du plan qu'une seule fois et l'existence du groupe fuchsien correspondant à i?o est démontrée.
3° Parmi les arcs A3IB tracés entre A et B il y en a de la P" sorte, chacun d'eux conduit à un polygone R„ à l'intérieur duquel se trouve B; mais ce polygone change quand on change l'arc A3IB. Dans ce cas le point B est dans la partie du plan recouverte par les polygones R; mais ces polygones recouvrent cette partie du plan plus d'une fois de telle sorte qu'il n'y a pas de groupe fuchsien correspondant à R^.
Nous sommes donc conduits à la règle suivante.
Il faut joindre deux points A et B par deux arcs A3IB, ANB de la !*■" sorte et rechercher si ces deux arcs conduisent à un même polygone R„.
Mais nous pouvons la modifier de la manière suivante: On trace un
30 H. Poincaré.
contour fermé AMA, dont le point initial et final A est intérieur à i?„; si cet arc AMA sort de i?„ par un côté C^, on construira le polygone E^, limitrophe de i?^ le long de C'^; s'il sort de B^ par un côté C\, on construira le polygone B.^, limitrophe de B^ le long de C\ et ainsi de suite. Je suppose de plus que l'arc AMA soit de la 1^" sorte, c'est à dire qu'on l'ait choisi de telle manière qu'après un nombre fini d'opérations, on arrive à, un polygone i?„ d'où ne sorte plus l'arc AMA. Pour que le groupe fuchsien existe, il faut et il suffit que, quel que soit le contour AMA de la T" sorte, le polygoyie B„ soit précisément B^.
Supposons d'abord que le polygone B^ envisagé n'admette pas de cycle de la 4" sous-catégorie.
Dans ce cas j'énoncerai les théorèmes suivants:
I. Tout arc de courbe AME qui coupe X est de la 2' sorte. En eô'et le polygone B^ est tout entier au-dessus de X et il en est par conséquent de même de tous les polygones E qui lui sont congruents. Supposons qu'on construise les polj^gones E^, E.^, etc. B„ comme il a été dit plus haut. Ils seront tous dans la partie du plan située au dessus de X et comme l'arc AME doit sortir dé cette partie du plan, il devra sortir de B„ quelque grand que soit n. C. Q. F. D.
II. Tout arc AME qui ne coupe pets X est de la T" sorte. En effet je construis comme il a été dit plus haut les polygones
et j'appelle X^, la portion de l'arc AME qui est à l'intérieur du polygone Bj,. L'arc AME va se trouver décomposé en une série d'arcs X^, X^,
X^, correspondant à la série des polygones B^^, B^, E^, Le
nombre de ces arcs (qui est celui des polygones correspondants) sera fini si AME est de la l'"" sorte (ce que nous nous proposons de démontrer) et infini dans le cas contraire.
L'arc Xj, joindra évidemment deux côtés de la 1'" sorte du polygone Bp, car il ne doit pas couper X et ne peut par conséquent aboutir à un côté de la 2'' sorte puisque ces côtés sont des segments de X On peut d'ailleurs faire deux hypothèses:
1° On peut supposer que les deux côtés auxquels aboutit l'arc Xj, sont deux cotés consécutifs du polygone B^ séparés seulement jiar un
Théorie des groupes fuclisiens. 31
sommet A^, de ce polygone. Je dirai que X^ est de la P" espèce et qu'il sous-tend le sommet A,,. Exemples, les arcs CD et ¥G de la figure en bas.
2° On peut supposer que les deux côtés auxquels aboutit l'arc X^ ne sont pas consécutifs, et dans ce cas je dirai que \^ est de la V espèce. Exemple, l'arc AB de la figure. Le polygone jK,, étant congruont <à jB , l'arc \, sera congruent à \\\\ certain arc l joignant deux points du périmètre de i?„ appartenant à deux cotés non consécutifs. Il est clair que la distance de ces deux points ne poun-a être infiniment petite et que par conséquent la L (voir § 1) de cet arc / ne sera pas non plus infiniment petite, mais sera plus grande qu'une certaine quantité donnée K. La L de l'arc A^ sera la même que colle de l'arc congruent /; elle sera donc plus grande que K.
Soit i„ la L de l'arc AMB; elle est finie parce que cet arc ne coupe pas X. Le nombre des arcs K,. de la seconde espèce sera donc
plus petit que -^ , et par conséquent Vunité.
On pourra donc prendre q assez grand pour que les arcs ;.^^„
;i ^.„ et en général les arcs l^ où p>.q soient tous de la 1^''
espèce; il reste à démontrer que le nombre de ces arcs Xj,{p>q) est fini.
J'envisage deux arcs consécutifs A, et /^+i et l'arc /i^ = Ip + A^+t formé par leur réunion; je dirai que l'arc /i^ est de la 1'*"= catégorie si les arcs Xp et A^+i sous-tendent un même sommet, et de la 2" catégorie dans le cas contraire. Ainsi l'arc CE de la figure sera de la T catégorie et l'arc FH de la première, parce que l'arc CB sous-tend le sommet A^ pendant que les arcs FG, GH et BE sous-tendent le sommet A^.
Envisageons un arc //,, de la 2" catégorie: il aboutira à deux côtés de la 1"' sorte appartenant l'un à B,„ l'autre à i?p+i et il traversera le côté C^ qui sert de frontière commune à ces deux polygones; d'ailleurs ces trois côtés n'ont aucun point commun.
Le polygone B^ étant congruent à iî„, le côté C^ sera congruent à un des côtés H àe B^. Soit B' celui des polygones B qui est limitrophe de B^ le long de H; l'arc /j^ sera congruent d'un certain arc ji dont l'une des extrémités sera sur un des côtés B de B^ et l'autre sera sur un des côtés B' de B'; cet arc traversera le côté H. D'ailleurs les trois côtés B, H et B' n'auront aucun point commun.
32 H. Poincaré.
Dans ces conditions il est clair que la L de l'arc p. et jiar conséquent celle de /x^, n'est pas infiniment j^etite et est plus grande qu'une quantité fixe K. Il suit de là, comme plus haut, que le nombre des arcs fij, de la 2"'' catégorie est limité et qu'on pourra prendre q assez
grand pour que tous les arcs /i,+i, /j^+s) et en général /i^ {^p > g)
soient tous de la 1'" catégorie; en d'autres termes tous les arcs X,^^-^, /,^+2 etc. et en général tous les arcs X^, {p > q) sous-tendront un même sommet D.
Il reste à démontrer que le nombre de ces arcs k^ sous-tendant le sommet D est fini. Nous pouvons faire deux hypothèses:
1° Ou bien D appartient à un cycle de la 1"" ou de la S""" catégorie, et alors ce sommet n'appartient qu'à un nombre fini de polygones R, et par conséquent le nombre des arcs X^, est nécessairement fini.
2° Ou bien D appartient à un cycle de la 2''" catégorie, c'est à dire de la 3"^ sous-catégorie, puisque nous avons supposé que le polygone JR^ n'admettait pas de cycles de la 4™' sous-catégorie. Nous avons vu (§ 5) qu'un arc de courbe ne coupant pas X ue pouvait traverser qu'un nombre fini des polygones auxquels appartient le sommet !>. Il suit de là que le nombre des arcs X.^ est fini.
Donc dans tous les cas, le nombre des arcs A^ est fini; donc l'arc AMB est de la 1*^^ sorte. C. Q. F. D.
Donc la partie du plan recouverte par les p>olygones B est la -partie située au-dessus de X.
Considérons maintenant un contour fermé AMA de la P" sorte, c'est à dire ne coupant pas X; appliquons lui la règle exposée plus haut et supposons qu'en le parcourant on rencontre successivement les polygones
jRj, i?j, pour arriver au polygone Jî„ quand on sera de retour au
point A. Si le polygone i?„ est précisément B^, je dirai que AMA est de la 1'" espèce et, dans le cas contraire, qu'il est de la 2''" espèce. Pour que le groupe fuchsien existe il faut et il suffit que tous les contours AMA de la 1"" sorte soient de la P" espèce. A ce sujet je démontrerai successivement les théorèmes suivants:
III. Si le contour AMA se compose T d'un arc de courbe AMB, 2" d'un contour fermé infiniment petit BNB, 3° de Varc AMB parcouru en sens contraire, il est de la f''" espèce.
En effet construisons successivement, d'après la règle exposée jjhis haut, les polygones 7?^^, 7?,, i?^ 7?,,, que l'on rencontre en parcom-ant l'arc
Théorie des groupes fuchsicns. 33
A3IB. Parcourons ensuite le contour infiniment petit BXB. On peut faire au sujet de ce contour trois hypothèses:
1° Ou bien BNB reste tout entier à l'intérieur du polygone R^ et alors parcourant ce contour on ne sortira pas de ce polygone.
2° Ou bien BNB franchit un des côtés C„ de R„, mais sans envelopper un des sommets de ce polygone. Alors en suivant le contour, on sortira d'abord de R,„ en franchissant le côté C„. pour entrer dans un nouveau polygone i?,„+,, puis on sortira de R„,+i en franchissant le côté C,„ en sens contraire et par conséquent en rentrant dans R„.
3° Ou bien BNB enveloppe un des sommets de E„,. Ce sommet sera forcément de la P" catégorie puisqu'il ne pouiTa être sur X Ce sommet appartiendra h un cycle comprenant par exemple n sommets et la somme
des angles correspondants sera ~ On rencontrera alors en parcourant BNB
successivement j»i polygones i?,„+i, i?,„+2, Rm+pn', la somme des
angles en D de tous ces polygones étant 2r, -B„.+;,„ se confondra avec R^.
Donc dans tous les cas possibles, on retombera sur le polygone i?,„
après avoir parcouru le contour BNB- Parcourons maintenant l'arc AMB
en sens contraire; nous rencontrerons successivement les polygones R,„,
B^^^ i?^, i?^, c'est à dire, dans l'ordre inverse, ceux que nous
avions rencontrés en parcourant une première fois l'arc AMB. Quand nous serons de retour au point A, nous retomberons sur le polygone i?„. Donc le contour AMA sera de la 1'" espèce. C. Q. F. D.
IV. Si deux, contours AMBPA, APBNA sont de la f" sorte et de la T" espèce, il en sera de même du contour AMBNA formé par leur réunion.
En effet si AMBPA, APBNA sont de la 1^" sorte, c'est que ni AMB, ni ANB ne sortent de la région recouverte par les polygones R et par conséquent que AMBNA est aussi de la 1^" sorte.
Si AMBPA est de la 1'" espèce on arrive au même polygone R„ en suivant l'arc A3IB ou l'arc APB; si APBNA est de la r" espèce on arrive au même polygone R„ en suivant l'arc APB ou l'arc ANB. Donc on arrive au même polygone R„ en suivant l'arc A3£B ou l'arc ANB. Donc AMBNA est de la 1'" espèce. C. Q. F. D.
Acfa malhemafica. I.
34 H. Poincaré.
V. Si un contour AMA est de la 1^" sorte, tout contour ANA qui lui est intérieur est aussi de la 1"'' sorte.
En effet si AMA ne coupe pas X, il en sera de même du contour intérieur ANA. C. Q. F. D.
VI. Un contour quelconque AMA de la 1'" sorte est de la 1''' espèce. En effet ce contour pourra être décomposé en une infinité de contours
comme ceux qui sont considérés dans le théorème III. En vertu du théorème V, ces contours sont tous de la P" sorte; donc en vertu du théorème III chacun d'eux est de la P" espèce, donc en vertu du théorème IV le contour total lui-même AMA est de la 1*" espèce. C. Q. F. D.
L'existence du groupe fuchsien correspondant à E^ est donc démontrée.
Les polygones B transformés de B^ par les diverses substitutions de ce groupe recouvriront toute la partie du plan située au-dessus de X et ne la recouvriront qu'une fois.
Je suppose maintenant que B^ admette des cycles de la 4"" sous-catégorie.
Les théorèmes I, III et IV seront évidemment encore vrais. Mais il n'en sera pas de même du théorème II. Voyons comment il faudra le modifier dans le cas qui nous occupe.
Reprenons les notations de ce théorème. On démontrera comme plus haut que l'on peut prendre q assez grand pour que tous les arcs k^, où p>q soient de la ]*■" espèce et sous-tendent un même sommet D. Je n'ai rien à ajouter pour le cas où D est de la l^""^ ou de la 3"" catégorie, ou bien de la 3°"^ sous-catégorie. Supposons maintenant que D soit de la 4™' sous-catégorie. Le nombre des arcs /^, {p > q) sera-t-il fini ou infini? Nous avons vu (§ 5) qu'un arc de courbe qui ne coupe pas X 'traverse un nombre infini des polygones B (jui ont un sommet en D ou seulement un nombre fini, selon qu'il coupe ou ne coupe pas un certain cercle C passant par I) et ayant son centre sur A".
Il suit de là qu'un arc AMB qui ne coupe pas X peut cependant être de la 2"°" sorte.
Considérons un arc AMB de la 2" sorte venant aboutir à un cercle G et supposons qu'il se déforme d'ime façon continue, il ne pourra cesser d'être de la 2°"" sorte qu'en cessant de couper C, comme il est aisé de le comprendre.
Le théorème V est encore vrai, mais il a besoin d'une démonstration nouvelle. Envisageons un contour fermé AMA qui soit de lu 1"" sorte et un second contour ANA intérieur au premier; je dis que ce second contour ne peut être de la 2''' sorte: en effet s'il en était ainsi, il devrait couper un certain cercle C; on pourrait passer du contour ANA au contour AMA d'une façon continue, et en variant de la sorte, le contour ANA ne cesserait pas de couper C: il ne cesserait donc pas d'être de la 2''° sorte, de manière que AMA devrait être de la 2^" sorte, ce que nous n'avons pas supposé.
Le théorème V étant démontré, le théorème VI doit être vrai également et par conséquent l'existence du groupe fucJisien correspondant à R^ est démontrée. Les polygones R, transformés de. E, par les substitutions de ce groupe, recouvrent toute une partie du plan S et ne la recouvrent qu'une fois. Cette région S est tout entière au-dessus de X et elle est limitée par des segments de cet axe et par une infinité de cercles tels que C ayant leurs centres sur X.
Nous avons donc démontré dans tous les cas possibles l'existence du groupe fuchsien correspondant à i?/, mais la démonstration peut être considérablement simpliiiée dans certains cas particuliers, par exemple quand on n'a pas de sommet de la V" catégorie. Dans ce cas, en effet, le polygone R^, s'il a 2n côtés de la première sorte, divise la partie du plan située au dessus de X en 2/t -f 1 régions, à savoir le polygone i?„ luimême et la région comprise entre l'axe X et chacun des côtés de la P" sorte. Considérons un côté C^, la région S^, comprise entre C\ et X et • le polygone i?, limitrophe de 7?„ le long de C\. Le polygone R^ subdivisera la région S^ en 2« régions plus petites, à savoir le polygone i?, lui-même et la région comprise entre l'axe X et chacun des côtés de la 1*" sorte restés libres. Quand on aura construit plusieurs polygones iî„, B , 7?,„ la- partie du plan située au dessus de X se trouvera partagée en un certain nombre de régions, à savoir les polygones i?^, i»,,
R^ et les régions 5,, S^, S., comprises entre X et chacun
des côtés de la 1*" sorte restes libres. Si l'on cherche à construire un
nouveau polygone limitrophe de R„ R„ R,„ il se trouvera tout
entier dans une des régions S^, S^, 5,. Il est donc impossible que
les polygones ainsi construits se recouvrent mutuellement. L'existence du groupe fuchsien correspondant à R^ est donc démontrée.
'66 H. Poincaré.
§ 7. Principaux exemples.
Avant de donnei' quelques exemples de ces groupes fuchsiens dont je viens de démontrer l'existence d'une manière générale, je vais expliquer une notation dont je me servirai dans la suite pour définir certaines propriétés du polygone B^. Je commencerai par désigner chacun des côtés de R^ par un numéro d'ordre de telle sorte qu'en parcourant le périmètre de ce polygone dans un sens convenable, on rencontre successivement le côté 1, puis le côté 2, etc. Cela fait j'écrirai le numéro d'un des côtés de la 1'"" sorte, puis celui de son conjugué, puis ime virgule, puis un autre côté de la 1'" sorte, puis son conjugué, puis une virgule etc., puis enfin j'écrirai à la suite les numéros des côtés de la 2''" sorte.- Par exemple, si R^ est un octogone dont les côtés de rang impair soient de la l*''^ sorte, ceux de rang pair de la 2° sorte et dont les côtés opposés de la 1*" sorte soient conjugués, je dirai que le polygone R^ est du système
J'aurai ainsi défini le nombre des côtés de chaque sorte et la distribution des côtés en paires. De cette distribution des côtés en paires, nous déduirons celle des sommets en cycles.
Je vais maintenant étudier quelques exemples, en me servant des notations précédentes.
Exemple I. (14, 23).
Le polygone R^ est un quadrilatère dont je désigne les sommets par ABCD; le côté 1 sera le côté AB; le côté 2, le côté BC; le côté 3, le côté CD; le côté 4, le côté DA. Tous les côtés sont de la P" sorte, ce sont donc des arcs de cercle ayant leur centre sur X; les côtés AB et AD, CB et CD sont conjugués, ils sont donc congruents. Enfin l'angle
A est égal à —, l'angle B -\- D à ^, l'angle C à — ; les nombres «, /9,
Y étant entiers.
Nous pouvons joindre les deux sommets opposés ^ et C par im arc de cercle ayant son centre sur X, le quadrilatère R^ se trouvera ainsi décomposé en deux triangles curvilignes ACD et ABC.
Théorie des groupes fuchstens. 37
Je voudrais maintenant définir une expression dont je serai quelquefois appelé à me servir dans la suite. Envisageons dans le plan une transformation par rayons vecteurs réciproques; soit 0 le centre de la transformation et IC son paramètre; le cercle C dont le centre est 0 et le rayon K demeure inaltéré par la transformation. Je dirai que cette transformation est une réflexion sur le cercle C et que deux figures transformées réciproques sont symétriques par rapport à ce cercle.
Cela posé, il est clair que les deux triangles ACD, ABC sont symétriques par rapport au cei-cle AC. Il suit de là que les angles curvilignes CAD et CAB, ACD et ACB, ABC et ADC sont égaux, et par conséquent
que le triangle ABC a ses trois angles respectivement égaux à -, '-i, -■
Soit maintenant E^ un quadrilatère limitrophe de Bg le long d'un de ses côtés, de AB par exemple; ces deux polygones seront symétriques par rapport au cercle AB.
Ceci nous conduit, dans le cas particulier qui nous occupe, à une construction très-simple du système des polygones B.
On construira d'abord un triangle ABC dont les trois angles seront
respectivement -, ^, -; on peut construire une infinité de pareils triangles
mais ils sont tous congruents entre eux; on construira alors les triangles symétriques de ABC par rapport à leurs côtés restés libres et ainsi de suite. On partagera ainsi le plan en une infinité de triangles tous congruents à ABC ou à ACD et en les réunissant deux à deux, on aura partagé le plan en une infinité de quadrilatères congruents à R^ = ABCD. Qu'arrivera-t-il si l'un des nombres entiers <x, ,?, y devient infini; supposons par exemple que ce soit ■/- qui devienne infini; l'angle C qui
2n était égal à — deviendra nul; le sommet C cessera d'être de la V" catéc. r
gorie pour devenir de la 3"^ sous-catégorie. B^ se composerait encore de
deux triangles ABC, ADC symétriques par rapport au cercle AC. Les
deux côtés AC et BC sont des arcs de cercle qui sont tangents en un
point C situé sur X; le côté AB est aussi un arc de cercle coupant AC
et BC sous des angles - et 5- ° a /3
Supposons en particulier:
38 H. Poincaré.
Supposons de plus, pour achever de déterminer le triangle ABC, que les côtés AC et BC se réduisent à deux droites perpendiculaires à X de telle façon qvie le point C soit rejeté à l'intini; que la droite BC prolongée vienne passer par l'origine 0; que la distance des deux parallèles AC et
BC soit égale à ^- Le cercle AB aura alors pour centre 0 et pour rayon
1. On retombera ainsi sur le FundamenfahJreieck de M. Klein (Mathematische Annalen, Bd. XIV). Le groupe fuchsicn correspondant est extrêmement remarquable; il se compose de toutes les substitutions (s, -; — X~^l
telles que a, b, <■, d étant entiers, on ait ad — Z»c = 1. C'est la considération de ce groupe et des sous-groupes qui y sont contenus qui est le fondement des recherches de M. Klein sur les fonctions modulaires.
Exemple II. (16, 25, 34).
C'est l'exemple I du paragraphe 5. Le polygone B^ est un hexagone ABCBEF et les sommets forment quatre cycles distincts formés respectivement des sommets A; BF; CE; D; les angles curvilignes A, B -\- F,
C -\- F, D doivent être respectivement égaux a — ' "3"' TT' ~^'i % pi Ti '^
étant des nombres entiei's positifs ou infinis.
Un cas particulier intéressant est celui oi'i l'hexagone se' décompose en deux quadrilatères ABCD, ADEF, symétriques par rapport au cercle AD. Dans ce cas on a pour les angles curvilignes de ces deux quadrilatères les valeurs suivantes:
BAD = DAF = -; GDA = EDA=-^\
ft r
Pour construire tous les hexagones B, on poiu'ra alors opérer comme dans l'exemple précédent; on construira le quadrihitère ABCD, ])uis les quadrilatères symétriques par rapport à chacun de ses côtés, puis les quadrilatères symétriques de ceux-ci par rapport à. chacun de leurs côtés et ainsi de suite.
Considérons maintenant un exemple plus général. Supposons que B^ soit un polygone de 2» côtés de la 1 "'■'-' sorte dont les sommets soient
successivement A^, An, A„, -4„^,, £„, B„.„ Z?2- Supposons
que les côtés
Théorie des groupes fuehsicns. 39
A, A^ et A, B,, A, A^ et B, J?,, . . . . ^„-, A„ et i?„, ii„, ^„ A„+i et B„ J„+i
soient conjugués. Les sommets se répartiront en ii + 1 cycles:
et le polygone R^ s'écrira dans le système de notation adopté:
Dans un certain cas particulier, ce polygone B^ se divisera en deux moitiés ^1 ^2 ^3 ^..+1 et yl^ B^B^ B„ A„+, symétriques par
rapport au cercle J, J„+,. Chacune de ces moitiés est un polygone curviligne dont les côtés ont leurs centres sur X et dont les angles sont des parties aliquotes de - Pour construire tous les polygones R, il suffit de
partir de A^ A. A^ A„^^, de construire les polygones symétriques
de celui-ci par rapport à l'un de ses côtés, puis les polygones symétriques de ceux-ci par rapport à chacun de leurs côtés et ainsi de suite.
On pourrait citer un grand nombre d'autres exemples de polygones générateurs de groupes fuchsiens. Parlons seulement des exemples déjà cités au paragraphe 5. Avec le mode de notation adopté les polygones R^ des exemples II, III, IV et V s'écriraient:
Quelles sont les conditions auxquelles dans ces quatre exemples doit satisfaire le polygone R^ pour donner naissance à un groupe fuchsien?
Dans les trois premiers exemples les côtés conjugués doivent être congruents. De plus dans l'exemple II, la somme des angles de rang pair, comme celle des angles de rang impair doit être une partie aliquote de 2-; dans les exemples III et IV c'est la somme de tous les angles qui doit diviser 2-.
Dans l'exemple V, le polygone R^ n'est assujetti à (umme condition.
§ 8. Classification en Genres.
J'ai fait voir dans ce qui précède comment on pouvait partager la partie du plan qui est au dessus de X en une infinité de polygones curvilignes
40 H. Poincaré.
R congruents entre eux. Envisageons maintenant la partie du plan qui est au dessous de X, et dans cette partie du plan les polygones curvilignes Eo, Bi, etc. qui sont respectivement symétriques de B^, B^, etc. par rapport à X II est clair que si iî; est le transformé de B^ par une certaine substitution /J (à) du groupe G, B\ sera le transformé de i?j par cette même substitution. Les substitutions du groupe G qui transforment B^ en
i?j, B.2, transformeront donc de même B^ en i?,, B.2, Mais
plusieui's cas sont à. considérer; si B^ n'a pas de sommet de la 4' souscatécorie, l'ensemble des polygones B et B' recouvre tout le plan; si au contraire, nous avons des sommets de cette sous-catégorie, les polygones B et B' laissent non recouvertes les régions situées à l'intérieur d'une infinité de cercles ayant leurs centres sur X.
Voici une seconde distinction plus, importante pour ce qui va suivre. Supposons que le groupe G soit de la 1™, de la 2""' ou de la 6"° familles, nous n'aurons ni sommet de la 3^ catégorie, ni côté de la 2" sorte. Le polygone B^ n'ayant pas pour côté de segment de X, sera complètement séparé de son symétrique i?,, ou bien confinera à ce polygone par un sommet seulement (s'il a des sommets de la 2' catégorie) et non par tout un côté. Supposons au contraire qvie le groupe G soit de la 3", de la 4% de la 5^ ou de la 7^ familles, le polygone B^ aura un ou plusieurs côtés de la 2° sorte et confinera à son symétrique Bf, tout le long de ces côtés. Supposons qu'on supprime ces côtés de la 2' sorte qui servent de frontière commune k B^ et à B^, on pourra considérer l'ensemble des deux figures jRj -\- i?o comme une seule région qui sera limitée seulement par des arcs de cercle ayant leurs centres sur X, c'est à dire par les côtés de la l*"" sorte de B^ et ceux de Bg. L'ensemble de ces arcs de cercle formera en général plusieurs courbes fermées séparées.
Nous allons maintenant pouvoir parler d'une nouvelle classification des groupes fuchsiens. Considérons d'abord un groupe de la \"'^, de la 2" ou de la 6"" familles: le polygone B^ n'aura pas de côté de la 2° sorte; par conséquent les points du périmètre de B^ seront correspondants deux à deux puisque à chaque point d'iui côté de la 1"" sorte correspond un point de son conjugué; les points intérieurs à jR^, n'auront aucun correspondant ni dans ce polygone, ni sur son périmètre; enfin tous les sommets d'un même cycle seront correspondants. Supposons qu'on découpe le polygone 7?^,, puis qu'on le replie en le déformant d'une manière con-
Théorie des groupes fuchsicns. 41
tinue et de telle façon (|ue les points correspondants de son pérhnètre viennent se coller l'un contre l'autre; après cette déformation, R^ sera devenu une surface fermée. Si par exemple on reprend le quadrilatère ABCB de l'exemple I du paragraphe précédent, et qu'après l'avoir découpé, on le replie en le déformant de telle sorte que AB vienne se coller contre AT), i)uis BC contre CD, B^ aura \mA l'aspect d'une surface fermée convexe. Considérons maintenant un quadrilatère ABCJ) du système (13, 24) de telle sorte que AB soit conjugué de CD et AC de BB. Replions le quadrilatère de façon à coller AB contre CD, il prendra l'aspect d'une sorte de cylindre ouvert par les deux bouts, les côtés AC et BD étant restés libres, mais étant devenus des courbes fermées; si on colle ensuite AC contre BD, le quadrilatère prendra l'aspect d'une sorte d'anneau fermé.
On sait que les surfaces fermées sont susceptibles d'être classées en genres de la manière suivante. Sur une sphère, par exemple, on ne peut tracer xm cycle fermé sans subdiviser la surface de la sphère en deux régions distinctes; il n'en est pas de même sur un tore dont un cercle méridien, i)ar exemple, ne subdivise pas la surface en deux régions distinctes; mais on ne pourrait tracer sur le tore deux cycles fermés séparés sans obtenir une semblable subdivision.
Le o-enre d'une surface fermée est alors le nombre maximum des cycles fermés séparés que l'on peut tracer sur la surface sans la subdiviser en deux régions distinctes. Ainsi une surface fermée dans laquelle on aurait percé p trous serait de genre p.
Le genre d'un c/roupe fnclislen sera le genre de la surface fermée, ohtemie comme il vient d'être dit par la déformation de B^.
Comment obtenir l'expression de ce genre?
Supposons qu'on ait subdivisé une surface de genre p en F polygones curvilignes, que le nombre total des côtés soit A et celui des sommets S, on aura la relation
Reprenons le polygone B^; soit 2n le nombre de ses côtés de la P" sorte, et rj celui des cycles fermés. Après la déformation, les côtés étant venus se coller l'un contre l'autre deux à deux, le nombre des côtés distincts restants sera n; de même le nombre des sommets distincts restants sera q.
Acta mathematica.. I.
42 H. PoÏDcaré.
On aura donc:
d'où
ou
Reprenons les exemples I et II du paragraphe précédent; nous aurons:
q = n + l a ou
jj = 0.
Je vais donner une autre application de la règle qui précède.
Supposons que le polygone B^ ait 2)i côtés de la 1'" sorte et de
telle façon que les côtés opposés soient conjugués. Pour trouver le genre
du- groupe fuchsien correspondant, il faut chercher le nombre des cycles
entre lesquels se répartissent les 2n sommets. En appliquant la règle du
<§ 5, on trouve que tous les sommets appartiennent à un même cycle si
ti est pair, et que si n est impair, on a deux cycles formés, l'un de tous
les sommets de rang pair, l'autre de tous les sommets de rang impair.
On a donc:
5 = 1 ou 2
selon que n est pair ou impair, et par conséquent:
si n est pair, et
si n est impair.
Supposons maintenant que le polygone B^ admette des côtés de la 2"^ sorte; il sera contigu tout le long de ces côtés à K^, de sorte que la région it^ + -^o sera d'une seule pièce; les points situés à l'intérieur de cette région ne pourront être correspondants à aucun autre point de la région; les points du périmètre, qui appartiendront tous à des côtés de la r" sorte de B^ ou de Ej, seront correspondants deux à deux; enfin les sommets d'un même cycle seront des points correspondants. Découpons
Théorie des groupes fuchsiens. 4 H
maintenant la région 7?^-f-^o et replions-la en la déformant de telle façon que les points correspondants de son périmètre viennent se coller l'un contre l'autre. Le genre du groupe fuchsien sera par définition celui de la surface fermée ainsi obtenue.
Soit encore 2n le nombre des côtés de la l'"^" sorte de 7?^, rj celui de ses cycles fermés; Bg aura de même '2n côtés de la V" sorte et q cycles fermés. Supposons que nous ayons h côtés de la 2" sorte et par conséquent h cycles ouverts qui seront communs à E,, et à Rq.
Reprenons la formule:
Nous aurons F = 2, car nous avons deux polygones iî.(,etiîj; nous aurons A = 2n -\- h, car nous avons n paires de côtés de la l'"'" sorte provenant de B^, n paires de côtés de la P" sorte provenant de i?o et h côtés de la 2' sorte; enfin on aura S = Iq -{- h, puisque nous avons en tout 2q cycles fermés et h cycles ouverts.
Il vient donc:
Supposons par exemple que Bq soit de la 3" famille, c'est à dire que tous ses sommets soient de la 3" catéçrorie. On a aloi's:
Ainsi dans l'exemple V du § 5, le genre est égal à 2. Comme second exemple, je prends un polygone B„ dont la distribution des côtés est donnée par la formule suivante:
(15, 24; 3) ou plus généralement:
de telle sorte que le « + V côté soit seul de la 2" sorte et que les côtés
d'ordre m et 2n -\- 2 — m soient conjugués.
On aura dans ce cas:
d'où
44 H. Poiucaré.
§ 9. Simplification du Polygone Générateur.
Nous avons vu au commencement du § 5 que les régions i?o ne sont pas complètement définies par .cette condition que chacune d'elles ne contient qu'un seul point correspondant à un point z donné. Nous avons ensuite imposé à ces régions une condition de plus, celle de se réduire à des polygones curvilignes ayant pour côtés des arcs de cercle et des segments de X. Mais les l'égions iî„ ( ou polygones générateurs) ne sont pas encore par là complètement déterminées. En effet nous avons vu qu'on pouvait ajouter à i?„ une région quelconque Sf, à la condition d'en retrancher une région Sj, transformée de S^ par une des substitutions du groupe fuchsien, et que la région ainsi obtenue i?o + 'S'o — 8^ pouvait servir de la -même façon que i?o ^ engendrer ce groupe. Si les régions iîo, 'S'o et Sj, sont contiguës et si elles se réduisent toutes trois à des polygones normaux, c'est à dire dont les côtés sont des segments de X ou des arcs de cercle ayant leurs centres sur A', la région résultante B>a-\-S(y — Sj, est également un polygone normal. 11 suit de là qu'un même groupe fuchsien peut être engendré par une infinité de polygones générateurs B^ et qu'on peut profiter de cette indétermination pour simplifier ce polygone.
Voici comment peut s'effectuer une pareille simplification. Joignons deux points ^ et iî du périmètre de i?o P^r nn arc de cercle ayant son centre sur X, de façon à diviser ce polygone en deux autres 8^, et T^\ considérons deux côtés conjugués CB et EF de B^ et supposons que CB appartienne tout entier au périmètre de 8^ et EF à celui de T^. Soit i?i le polygone qui est limitrophe de B^ le long de EF et supposons-le décomposé en deux polygones 5'i et 1\ respectivement congruents à 8^ et T^. Le polygone i?j = 6'i + T^ pourra servir, aussi bien que B^, de polygone générateur pour le groupe fuchsien G. Il peut se faire que la considération de U^ soit plus avantageuse que celle de B^, ou bien encore qu'en faisant sur B^ une opération analogue à celle qu'on vient de iaire sur B^, on arrive à un polygone B>^ plus simple que les deux autres.
Dans chaque cas particulier, on se .laissera guider par les circonstances du problème, aussi ne veux-je ])as insister plus longuement sur ce point. -Je me bornerai à quelques exemples, en reprenant les notations du § 7.
1° Un polygone li^ du système (16, 23, 45) peut toujours être ramené à un polygone du système (16, 25, 34).
2° Un polygone du système (12, 84, 56, 78) peut toujours être ramené à un polygone du système (18, 27, 36, 45).
3° Un octogone du système (13, 24, 57, 68) peut toujours être ramené à un octogone du système (15, 26, 37, 48).
Quelles sont, dans cette transformation des polygones curvilignes R^, les propriétés de ce polygone qui demeurent invariables?
1° La famille du polygone i?^ ne change pas, sauf une exception dont je parlerai plus loin.
2° Son genre ne change pas non plus.
3° Le nombre des cycles fermés de la 3° sous-catégorie ne varie pas,
4° Il en est de même du nombre des cycles fermés de la 4'"°" souscatégorie.
5" Le nombre des cycles fermés de la 2° sous-catégorie ne varie pas non plus. On a vu que la somme des angles correspondants aux divers
sommets d'un pareil cycle était égale à — , jj étant un nombre entier
supérieur à ruiiité. La valeur de ce nombre p demeure également invai'iable.
6° On peut au contraire en général augmenter ou diminuer à volonté le nombre des cycles fermés de la 1"' sous-catégorie qui sont tels que la somme des angles qui correspondent à tous les sommets du cycle est égale à 2/T.
§ 10. lsomorphi.sme.
Nous avons vu au commencement du § 3 qu'un groupe fuchsien H est isomorphe à un autre groupe fuchsien G si le nombre des substitutions fondamentales est le même et si de plus toutes les relations de la forme [(6) § 3] qui existent entre les substitutions de G, subsistent entre celles de H. Pour reconnaître l'isomorphisme de deux groupes doimés, nous sommes donc amenés à chercher les relations de la forme [(6) § 3] qui existent entre les substitutions d'un groupe donné et en particulier les relations fondamentales dont toutes les autres ne sont que des combinaisons.
Nous avons vu au § 3 qu'on obtenait les relations de la forme (6) de la manière suivante: on décrit à partir d'un point A intérieur à R^
46 H. Poincaré.
un contour fermé quelconque AMA ne sortant pas de la région du plan située au dessus de X. Supposons que ce contour traverse successivement
des régions i?o, B^^, i?5„ ^?j-\ ®* enfin une région B^ se confondant
avec iîg, qu'il passe de la région -B,î^j dans la région B^^ en franchissant un côté de i?,î. qui est l'homologue de celui des côtés de jR^, qui sert de frontière commune à cette région et à i?„ . Nous pourrons écrire la relation identique :
«=/«. [A(A ifaAz)) ]
qui est de la forme (6) et on obtiendra de la sorte toutes les relations de cette forme. ^lais si on ne veut écrire que les relations fondamentales, il ne sera pas nécessaire de décrire tous les contours AMA possibles; on se bornera aux contours infiniment petits qui enveloppent les sommets de B^. Envisageons donc successivement les divers sommets de 7?^ et décrivons autour de chacun d'eux un contour infinitésimal. Comme ce contour AMA ne devra pas sortir de la partie du plan située au dessus de X, on ne pourra décrire de semblable contour autour des sommets de B^ qui sont situés sur cet axe X lui-même. Les seuls sommets du polygone jB(, que nous ayons à envisager sont donc des sommets de la V" catégorie. Je suppose que les différents côtés de B^- soient numérotés de telle sorte qu'en suivant dans un sens convenable le périmètre de ce polygone
on rencontre successivement les côtés Cj, C,, C^, C^; q étant le
nombre total des côtés; A-^ sera le sommet situé entre C^ et 6V, A^ le sommet situé entre (■, et C,; etc. En général A, sera le sommet situé
entre (7,i et C^. Si C, est de la 1"\ sorte, la région limitrophe de i?,„ le long de C- s'appellera iî, et la substitution fondamentale correspondante sera:
Considérons l'un quelconque des sommets de la l"" catégorie que j'appelle Aa^. Ce sommet fera partie d'un certain cycle de la 1"'" catégorie; on trouvera les autres sommets de ce cycle en appliquant la règle du § 5. Supposons que cette règle donne successivement les sommets:
et précisément dans cet ordre. Supposons que la somme des angles corrç-
Théorie dos groupes fuchsiens. 47
spondants à ces sommets soit -j-, X sera un nombre entier. Posons pour
abréger :
La relation fondamentale à laquelle conduira, d'après la règle exposée plus haut, un contour iniinitésimal décrit autour' de A^^ sera:
Les sommets A^, A,,^ A„ qui appartiennent au même cycle
que A^ conduisent à la même relation. Donc:
Le nombre des relations fondamentales qui existent entre les substitutions fondamentales d'un groupe fuchsien G, est précisément celui des cycles de la f" catégorie du polygone B^ correspondant.
Or les polygones des 2^ 3° et 4^ familles n'admettent pas de cycle de cette catégorie. Donc il n'y a aucune relation fondamentale entre les substitutions des groupes de ces familles, et les relations de la forme (6) que l'on pourrait trouver entre ces substitutions se réduisent toutes à des identités.
Voici une première conséquence que l'on peut tirer de ce fait: tout groupe II dérivé de n substitutions fondamentales est isomorphe à un groupe fuchsien G de la 2% de la 3' ou de la 4' familles, pourvu que ce groupe soit également dérivé de n substitutions fondamentales. En effet la première condition de l'isomorphisme qui exige que le nombre des substitutions fondamentales soit le même est remplie, et la seconde qui exige que toute relation entre les substitutions de G subsiste entre celles de H est satisfaite d'elle-même puisqu'il n'existe pas de pareille relation. Seulement une distinction est à faire. S'il y a des relations de la forme (6) entre les substitutions de H, G n'est pas isomorphe à H et par conséquent l'isomorphisme est mérièdrique. Si au contraire il n'y a pas de semblable relation, l'isomorphisme est réciproque et par conséquent holoèdrique. Il en résulte que deux groupes fuchsiens de la 2% de la 3' ou de la i™^ familles sont Jwloèdriquement isomorphes pourvu que le nombre des substitutions fondamentales soit le même, c'est à dire pourvu que les deux polygones B^ correspondants aient un même nombre de côtés de la T" sorte.
48 H. Poincaré.
Considérons maintenant deux polygones i?o et B'o quelconques, mais dont les côtés de la 1^" et de la 2" sorte soient distribués de la même manière, de telle sorte qu'ils soient désignés par la même formule, si on emploie la notation exposée au commencement du § 7. Ces deux polygones appartiendront évidemment au même genre et à la même famille et le nombre de cycles, formés par les sommets des deux polygones, est le même, de telle façon qu'à chaque c}'cle de B^ corresponde un cycle de Pi'o et réciproquement. D'ailleurs, à un cycle fermé du premier polygone, correspondra dans le second polygone un cycle également fermé. Si de plus la somme des angles de chaque cycle fermé de 2?o est la même que la somme des angles du cycle correspondant de JR„, les deux groupes fuchsiens engendrés par ces deux polygones seront holoèdriquement isomorphes.
§ 11. Formation effective des Groupes Fuchsiens.
Un groupe fuchsien est complètement déterminé quand on connaît ses substitutions fondamentales, qu'il suftit de combiner de toutes les manières possibles pour obtenir toutes les substitutions du groupe. Former un groupe fuchsien, c'est donc calculer les coefficients de ses substitutions fondamentales. Ce problème ne présente aucune difficulté. Supposons en effet que l'on ait construit le polygone i?o correspondant au groupe à former et que l'on ait calculé les coordonnées et par conséquent les affixes de tous ses sommets. Les substitutions fondamentales cherchées sont celles qui changent chaque côté de la 1"'" sorte en son conjugué. Soit donc a, /? et ;-, à les affixes des sommets de deux côtés conjugués de Bq. Supposons d'abord que les quantités a, /?, ^, â soient toutes quatre imaginaires, de telle façon qu'aucun de ces sommets ne soit situé sur X. On devra avoir en appelant a', /?, ;•', à' les quantités imaginaires conjuguées
de ot, ^, y, o:
(«, /9) = (,-, ô) c'est à dire
" La substitution réelle (jui change a^î en yd est alors parfaitement déterminée; ])our l'écrire en mettant en évidence la réalité des coefficients, je poserai:
a — a [i — fi
Tlidorie des groupes fuchsiens. /î = [i^ + i^^ Y= ;-, + iy^
La substitution cherchée s'écrira alors:
« = «, + ia, a ^ a, — ia.
,y = â. —toi.
/ Az + B\ V Cz + I)j
ou:
— «. Tî
-fi.'\
fi: O,
Mais on peut faire encore deux hypothèses; supposons que ot et ^ soient réels tandis que y? et o restent imaginaires; la rondition (1) n'a plus alors de raison d'être; la substitution réelle qui change a/? en yd est encore parfaitement déterminée et elle s'écrit
/ Az + B\ V Cz + d)'
les coefficients A, B, V, I) ont la même expression (juc plus haut, mais il faut remarquer que a^ et y^ sont nuls.
Supposons maintenant que les quatre quantités et, jS, y, à soient réelles, la substitution qui change ct^î en yà ne sera plus déterminée. Dans l'expression de ses coefficients entrera un paramètre arbitraire h. Elle s'écrira
/ Az + B\ V Gz + DJ
et les coefficients A, B, C, D auront pour expression:
ay y 1
/JJ d l
ay
■fid
fi
ay
fi
Acta malhematica. l.
50 H. Poincaré.
Les quantités réelles a, /9, ■)-, d pour pouvoir être les sommets d'un polygone R^ sont assujetties à l'inégalité:
Quant h h, c'est un paramètre arbitraire qui est supposé réel et assujetti à l'inégalité:
Ainsi quand on connaît les affixes des sommets de R^ qui exprime que le déterminant AT) — BC est positif, on peut calculer les coefficients des substitutions fondamentales de G. 11 s'agit donc de choisir ces affixes de telle façon que le polygone R^ satisfasse aux conditions du § 6 qui sont nécessaires pour c^u'il donne naissance à un groupe fuchsien. C'est là un problème purement algébrique et 'qui ne présente aucune difficulté. La grande variété des cas possibles ne me permettra pas de les examiner tous en détail ce qui m'entraînerait à des répétitions et à des longueurs inutiles. Je me bornerai donc à envisager quelques exemples.
Cherchons d'abord à former les groupes fuchsiens de la 3'"'' famille dérivés de n substitutions fondamentales. Le polygone R^ correspondant aura 2k côtés de la 1'" sorte et 2» de la 2'"^ Pour déterminer complètement un pareil polygone, il faut s'imposer arbitrairement in conditions. Mais nous avons vu au § 9 qu'un même groupe G peut être engendré par une infinité de polygones R^. Si l'on tient compte de cette circonstance, on reconnaîtra aisément que pour déterminer complètement le groupe de la 3"" famille dérivé de n substitutions fondamentales, il faut s'imposer arbitrairement 3» conditions. Or c'est là précisément le nombre total des coefficients de n substitutions réelles quelconques. Il ne s'en suit pas qu'il suffise de prendre au hasard n substitutions réelles pour que le groupe qui en dérive soit un groupe fuchsien de la 3""" famille; mais les coefficients de ces substitutions ne seront assujettis à aucune condition d'égalité; ils devront seulement satisfaire à certaines inégalités.
Quelles sont ces inégalités? tel est le problème qu'il nous reste à résoudre. On trouve d'abord sans peine que toutes les substitutions doivent être hyperboliques et par conséquent leurs points doubles doivent
être réels et situés sur X. On peut énoncer un résultat général au sujet de la distribution de ces points doubles sur X. En effet, considérons doux côtés conjugués ah et cd de B^ et supposons qu'ils soient de la l"'' sorte et appartiennent à la nièine paire. Supposons de plus pour fixer les idées que le point co fasse partie de B^ de telle façon que ce polygone soit la réf^ion du plan située au dessus de X et extérieure aux différents cercles qui forment ses côtés de la 1^" sorte. Si cela n'était pas, on ferait un changement convenable de la variable. Il y aura une substitution fondamentale qui changera ah en cd et ses deux points doubles seront situés l'un sur le segment ah de X, l'autre sur le segment cd.
Pour pousser plus loin l'étude des inégalités qui ont lieu entre les cotAfficients.des substitutions fondamentales d'un groupe de la 3°" famille, je vais prendre un exemple particulier, à savoir l'octogone de l'exemple V du § 5. La méthode que j'emploierai s'étendrait d'ailleurs au cas le
plus général.
Les deux substitutions fondamentales changent AB en BC et EF en HG. Considérons d'abord la substitution S qui change AB en DC; ses deux points doubles M et N sont situés respectivement sur les segments AB et CD de l'axe X. Décrivons un cercle sur AN comme diamètre, et envisageons le triangle curviligne ABJSf; envisageons également le cercle décrit sur DN comme diamètre et le triangle curviligne DCN; la substitution S changera le triangle ABN en DCN; nous pouvons donc en vertu des principes du § 9 remplacer l'octogone iî, = ABCDEFGH par l'heptagone K^ = ANDEFGH. Envisageons de même la substitution S^ qui change EF en HG et ses deux points doubles M^ et X, situés l'un sur le segment EF, l'autre sur le segment GH. Par un raisonnement tout sembrable à celui qui précède, on verrait que l'on peut remplacer l'heptagone i?o par l'hexagone B'^ = ANDEN^ H. Remarquons que B'^ est de la 4^ famille et du 2°"= ordre de cette famille, tandis que B^ était de la 3"^ famille. C'est là l'exception que j'avais annoncée aux principes du § 9; on peut simplifier le polygone générateur i?„ de façon à ramener un polygone de la ir^ à un polygone du 2"^ ordre de la 4"' ou mènie de la 2°' familles; mais jamais à un polygone du 1" ordre de la i"" ou de la 2"' familles. Envisageons maintenant l'opération S, qui consiste à faire d'abord la substitution 6" puis la substitution inverse de i',. La substitution S change AX en DX, et la substitution inverse de 6\ change
H. Poincaré.
DN en un certain cercle FQ intérieur à iV, H. La substitution 6\ change donc ^iV" en PQ et ses deux points doubles N^ et Jf^ sont situés, l'un sur le segment AN, l'autre sur le segment PQ. La substitution S change N en un certain point N^ ; la substitution S^ devra changer aussi N^ en iV^ ; iVg est donc situé sur le segment iV^ E. Décrivons des cercles sur N.,N.,
iVoiV,, N^N.^, iYiVg comme diamètres; la substitution S change iV„ N en N^ N, N^ N^^ en iVg iVj et cela nous permet en vertu des principes du § 9 de remplacer l'octogone B^ par
le quadrilatère jRo'==^i ^2-^-^3-
Ce quadrilatère est de la 2"" famille et du 2"^ ordre de cette famille.
Nous allons maintenant pouvoir trouver les inégalités qui ont lieu
entre les coefficients de -S' et de S^ ; on peut toujours su2)poser que les
points doubles de S^^ sont 0 et c» de telle sorte que
N^ = 0 M, = co
car si cette condition n'était pas remplie, il suffirait d'un changement très simple de variable pour être ramené au cas où l'on a N^ = 0, M^ = co. Les deux substitutions s'écrivent alors:
TK
