H,, IL, .... H
Supposons que toutes les fimetions II .soient nulles, exeepté //, , la série ?,, se réduira a
Les séries de eette lornie oii p — i des fonctions arbitraires i? sont nulles peuvent sappeler séries ç simples.
Choisissons maintenant p fonctions H quelconques et formons un système de séries ç,^ k l'aide de ces p fonctions. Formons ensuite avec chacune de ces p fonctions, avec H^ par exemple, un système de séries simples ç,,.^ , les p — i autres fonctions étant supposées nulles, on aura:
C/i = Ç/i + Çrj + • • • T" Çij)
ce qui montre qu'une série ? quelconque peut être regardée comme une somme de séries simples.
Voyons maintenant quelle est l'expression analytique des séries ç au moyen des intégrales d'une équation diftérentielle linéaire, donnant naissance à un système de fonctions zétafuehsiennes. D'abord, afin d'éviter des complications inutiles et qui ne tiennent pas au fond des choses, je
238 H. Poinoarc.
supposerai que le groujje ij est uoii-seulenieiit de la i'" fauiille, mais encore du genre o. Le système zétafuchsien considéré:
Zj , Z.j , . . . , /jp
regardé comme fonction de la transcendante fuchsicnne x = f{z) satisfera à l'équation:
où 1(!S coefficients ^^^ sont rationnels en x seulement. Je supposerai pour simplifier (jue cette équation (4) soit du 2" ordre et quelle soit réduite au sens donné à ce mot au paragraphe 3 de ce mémoire. Je l'écrirai:
Les infinis de jr.^, c'est à dire les points singuliers, seroiit rt, , «., , ..., a„ et co. Je sui)poserai qu'il n'y a pas de points à apparence singulière ou plutôt s'il y en a, je les regarderai comme des points singuliers ordinaires et je les ferai correspondre à un sommet de lî^ . J'appellerai «1 , a.,, ..., o(„ , «,,^.1 les sommets de B^ qui correspondront aux h -{- i
points singuliers «, , o, , ..., rt„ , co. J'appellerai -5-, comme dans le
paragraphe 5 du Mémoire sur les functions fuchsiennes, la somme des angles du cycle dont fait partie le sommet a, . Les racines ;', et i — y^ de l'équation déterminante i-elative h. x = a^ et ;i l'équation différentielle
(4) devront être des multiples de -^. Les intégrales Z, et Z.^ de l'équa-
tion (4), regardées comme fonctions de 3, seront infinies d'ordre (;-, — i)/3i
pour 3 = oii. Leurs dérivées ZJ = -^ et 1\ — --^ seront infinies d'ordre
Yiji^. Voici maintenant quelle est l'expression générale d'une série ç quelconque :
(5) (g)'"[F(x)Z. +F,(.r)Z;]^ç, F[x) et i\{x) étant des fonctions rationnelles de x.
Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes. 239
• Nous allons chercher si Ton peut déterminer ces deux fonctions rationnelles de telle façon que l'expression (5) 'et l'expression conjuguée
(5') (;g)"VFz, + F,z;) = .^
ne deviennent pas infinies à l'intérieur du cercle fondamental.
Si Ton a, comme nous pouvons le supposer puisque le coefficient de
— est nul dans l'équation (4):
il vient
et
dz) ^' ^ çiZ., — f,Z,.
Il suit de là que les deux fonctions F et F^ ne peuvent devenir infinies que pour les points singuliers z = a, , la première d'ordre (^1 + "0/^' — ^'* '^'^ P^'*'' ('^" *) ^* ^'^ seconde d'ordre (y, -\- m — i)y9, — m au plus.
On aura donc
et
(.1- -a, )'■'(■»• — «.)'" ■■• Cl'— «-./■"
où ^>i , ^12, ..., ?,„ sont les plus grands nombres entiers satisfaisant aux inégalités:
et où d et â^ sont des polynômes entiers en x qu'il s'agit maintenant de déterminer plus complètement.
240 H. Poincaré.
Nous venons de voir que F ne pouvait devenir pour x = «, infini d'un ordre plus grand que A, et que F^ ne pouvait devenir infini d'un ordre plus grand que X^ — i .
Cherchons maintenant un nombre /i, tel que si F est infini d'ordre
/j, et F^ infini d'ordre /i, — i pour x = a, ç, et z-i soient certainement finis.
idx\ "' /<i'f\ "' .
11 arrive alors que FZi (-^1 et i^jZJ (y-j deviennent infinis d'ordre:
//, + /'.— I — '»fi — ^.
,d'où il résulte cjue /i, est le plus grand nombre .entier satisfaisant à l'inégalité:
Pour fl" = co, -^ devient infini d'ordre i + 3 — ? Z, dordre r,,,,.,
(IZ Pii + l
et Z[ d'ordre f„^y — i . Il en résulte que F ne peut pas être infini d'ordre pins élevé que:
et F^ d'ordre plus élevé que ^^, + i .
D'autre part si F est infini d'ordre /i„^.i et F^ d'ordre ^„^] -|- 1 ? Ci et ^2 seront au plus d'ordre:
de sorte que si ii„^x satisfait à l'inégalité:
on sera certain que 1, et f^ sont finis. Posons maintenant
/", çr, /J , ^''j étant des fonctions rationnelles devenant infinies respectivement d'ordre //,, X, — /i, , /i, — i, h, — /i, pour .r = ru, et d'ordre /i„+],
Mémoire sur les fonctions zéiafuchsienncs. 241
K^-i — /i«+i, /J„+i + I, /„,i — /A.+1 pour X = co. Pour que cette décomposition ne puisse pas se faire d'une infinité de manières, nous supposerons qu'un corfficiont quelconque de f et iin do /j sont assujettis à avoir une valeur donnée.
Voici alors le nombre des coefficients restés arbitraires:
dans f, Il/Il
dans /", , S/i, -j- I — ti
dans jr et dans ^'^ , S/, — Z/i, + i
en tout
iS;, + 3 — M.
Mais entre ces coefficients, il y a certaines relations dont il faut chercher le nombre. Considérons un quelconque des infinis a, , posons pour abréger «,= 0 et^ supprimons partout l'indice /. Soit:
I (? = Ax-'-'- + ^\r"-' + ' + ^V-^+- + . . . + ^'-"-'.r-' -f ç' \ ç, = A,x'^-'- + A\x^ '-' -f + A>r'-'x-' + ^;
^' et ^[ étant finis pour x = o. On peut maintenant toujours supposer que Zj et Z., aient été choisis de manière à être respectivement infinis
d'ordre (j i) et — ^ pour .t = o, car si cela n'était pas il suffirait de
remplacer Zj et Z^ par aZ, -f yîZ^ et j-Z^ + ^ÏZ^, a, /5, ;- et <î étant des coefficients convenablenient choisis. Cela posé, imaginons qu'il n'y ait aucune relation entre les coefficients A des expressions (7), l'expression (5) sera infinie d'ordre:
et l'expression (5') d'ordre:
L'expression (5') est donc finie en vertu de l'inégalité (6). Mais pour que l'expression (5) soit finie, il faut qu'il y ait entre les coefficients
Aela matlifnuUica. "i . Imprimé 4 Septeiiihre 1SS4. 31
242 H. Poincaro.
A des expressions (7), des relations dont le nombre est précisément le plus petit entier qui est égal ou supérieur à l'expression (8), c'est cà dire / — /i. '
Le même raisonnement s'appliquerait pour .r = co et on trouverait qu'on doit avoir entre les coefficients de ^ et çti ^^, — //„^., relations pour que (5) et (5') restent finis pour :r = co. Il y a donc en tout
relations et il reste:
coefficients arbitraires. Dans cette expression S/, signifie
Ainsi toutes les séries qui ne deviennent pas infinies, s'expriment linéairement à l'aide de:
d'entre elles. On trouverait un résultat analogue pour le cas de j) > 2 . Nous devons adjoindre au groupe zétafuchsien G, le groupe zétafuchsien corrélatif G^ défini de la façon suivante; soit:
une substitution correspondante de G. la substitution correspondante de G^ sera:
en appelant
l'im des systèmes zétafuchsiens engendrés par le groupe G^ . On sait que dans la tbéorie des formes algébriques et en particulier dans celle des formes appelées contr avariant s et mixed-concomitants, la considération de la substitution corrélative d'une substitution linéaire donnée joue un rôle fort important.
Mémoiru .■<ur lus fonctions zctafuohsicQncs. 213
Considérons maintenant l'expression suivante
(9) ■ Z,1\ + Z,T,+ ... + ZJ^,.
Quand la variable z subit une substitution du groupe fuchsien g, les Z, subissent la substitution correspondante de G et les 1\ subissent la substitution correspondante de G^ . Il en résulte que l'expression (9) elle-même demeure invariable. C'est donc une fonction fuchsienne de z.
On verra [)lus loin le rôle des fonctions zétafuchsiennes et surtout des séries ç engendrées par le groupe corrélatif G^ .
llcmanjuons maintenant que dans le cas particulier de p = 2, à la substitution:
Ci il
du groupe G, correspond la substitution
^h — Ci — bi a,
du groupe G^ . Ces deux substitutions ont évidenunent mêmes multi[)licateurs, d'où il suit cpie les quantités que nous avons a])pelées plus liant
Tm r-i
Vu > r«+i
sont les mêmes pour les deux groupes G et Cr^ .
Supposons maintenant j) > 2; si x = a est un [)oiiit singulier [lour lequel l'équation déterminante relative à une c(piation (4) engendrée par le grou{)e G, ait pour racines:
l'équation déterminante relative à l'une des équations (4) 'engendrées par le groupe G^ aura pour racines:
Ss-^,-
r(p— 0 y, j'il'— ') y
vil'— 0
§ 6. DécoiiipositioH en éléments siuijtles.
Soit (i) Zi, Zj, . . . , Z^
un système zétafuchsien que je supposerai de la i'" faïuille, comme dans le paiagraphe précédent. Soit f{s) une. fonction fuchsienne de la i'" famille ayant même groupe fuchsien que ce système. Je supposerai, pour fixer les idées, que cette fonction est de genre o et que toutes les autres transcendantes fuchsienncs de même groupe en sont des fonctions rationnelles.
Je vais reprendre les notations du § 5 du Mémoire sur les fonctions fuehsiennes (Acta mathematica, T. i, p. 240).
Considérons l'intégrale:
X \ dz
prise le long du contour S défini à la dite page 240. Je dis que cette intégrale tend vers o quand r tend vers i , pourvu que h soit suffisamment grand.
En effet nous pourrons aisément trouver une limite supérieure Mi
du module de ;. Supposons maintenant que le module de y reste
inférieur à 31^ le long du périmètre de B^; il restera inférieur à:
le long du périnlètre de S. Supposons enfin que le long du périmètre de lî^, les modules des jj fonctions:
restent inférieurs à Jf^. Cherchons la limite supérieure du module de ces mêmes fonctions le hmg du périmètre du polygone 11^ en supposant que la substitution s, qui change /l'o eu R^ soit d'exposant a. Soit S^ la
Mt'iiiniri' sur les fonetioDS zdtafuclisicnnes. 245
substitution dv <r (jui correspond à s,. Nous avons vu au paragraphe précédent que les coefficients de S^ sont plus petits que
a étant une constante convenableuienf choisie. Donc le long de 11^ le module des p fonctions Z est plus petit que:
Considérons on particulier les polygones 2?. qui forment la bordure de S. Leur exposant est, d'après le paragraphe précédent, [ilus petit (pie
- (iî + /) où h est une constante convenablement choisie. D'où ce résultat: a
mod Z, < 2)^1./^"+''
le long de «S. La quantité sous le signe j a donc son module plus petit que
Si l'on se reporte à la valeur de H [Fonctions fuchsiennes, Acta matlicmatica. T. i, p. 241) on verra que cette expression (3) tend vers o pourvu que
L'intégrale (2) tend donc aussi vers o, d'où l'on peut conclure que les p fonctions
peuvent se développer en séries de la façon suivante:
^^' Z- z— a "^ 2* {z — ay + • • • + Z- (z — a)"'
où les a sont les infinis et les A les résidus. Si la fonction n'admet que des infinis simples, cette série se réduit à
24(3 H. Poincarc.
Quand on connaîtra les infinis et les résidus de ces p fonctions à l'intérieur de B^ , on connaîtra tous les infinis et tous les résidus de ces mêmes fonctions et par conséquent la série (5). Supposons que a soit un infini des fonctions (4) situé à l'intérieur de R^ et que nous supposerons simple pour fixer les idées. Soient;
Al, A.,, . . . , Aj,
les résidus des p fonctions (4) correspondant à cet infini. Les ])oints:
/'■«■ + Ôi
seront aussi des infinis simples de ces mêmes fonctions (4). Nous écrirons comme plus haut:
si la substitution 5", s'écrit:
Or nous avons
et
Multiplions l'identité précédente par z — a et faisons z = a, il viendra, en appelant
les résidus des p fonctions (4) pour 2 = as, d'où
Méinoiro sur lo,> t'unolinns zc'iaf'iiclisienncs. 247
Telle ejît l;i valeur des résidus eherchés. Hi'iuiissons ensemble les ternies de ht série (5) qui correspondent aux infinis de la forme rw, ; nous trouviToiis la série suivante:
(6) ^:X^, 0) = y Ir^?^ '
■^-Z f.z — asi)(yia + o,)
de sorte que chaque fonction (4) se trouve décomposée en une somme d'im nombre fini d'éléments simples de la forme 0„{z, a).
Mais on peut pousser plus loin encore cette décomposition en éléments simples.
L'identité (6) pourra en eftet s'écrire:
ou encore :
en posant
de sorte que si les fonctions (4) admettent les infinis simples
0j , £'2 , • • • y Zq
à l'intérieur de lî^, et si elles admettent l'infini z^. respectivement avec les résidus:
il viendra pour la // des fonctions (4) l'identité:
qui nous montre cette fonction décomposée en éléments simples. On arriverait à un résultat analogue pour les cas où cette fonction admettrait des infinis multiples. . "
248 H. Poincaré.
Voyons ce que sont ces éléments simples et pour cela regardons dnns l'expression <?,„(<?, o) z comme une constante et a comme la variable.
Cherchons maintenant à former les séries ^ simples du paragraphe précédent avec le groupe <7, corrélatif de Q do 'ce même paragraphe, ({ étant toujours la variable; nous trouverons:
ou en faisant:
il viendra
HÂn) = — !— , m = h ^ \
Ainsi la transcendante (l).,„ regardée comme fonction de a est une fonction ç admettant le groupe G^ corrélatif de Q.
Nous allons supposer maintenant f =^ 2 pour fixer les idées et nous allons étudier de plus près la décomposition en éléments simples des fonctions:
J)""(FZ, + F,Z0 = 4
Z| , Z2 , ZJ , Z2 ayant la même signification qu'à la fin du paragraphe précédent et F et F^ désignant des fonctions rationnelles en x. 11 est clair que .'Ij et A^ sont des fonctions de la forme (4) auxquelles, par conséquent, on peut appliquer tout ce que nous venons de dire.
Dans ce qui va suivre, les lettres y9, , /',, A,, /i, auront la même signification qu'à la fin du paragraphe précédent, et nous poserons:
Cherchons la condition pour que les fonctions Jj et .l^ ne deviennent pas infinies pour % = «.;. Il faut que F et F^ deviennent nuls d'un ordre suflisammcnt grand et c'est cet ordre qu'il s'agit d'abord de déterminer. Supposons pour le faire plus aisément que Z^ et Z, soient respectivement
Mémoire sur los fonctions zétafuchsionncs. 240
infinies d'ordre ;-, — i et — /-, ; cela est toujours possible, car si cela n'était pas, on reniplaceriiit Z, et Z., par ctZ, + /ÎZ^ et yZ^ + ''^j» 1, i3, y, o étant des coefficients convenablement choisis. Si alors F devient nul d'ordre «, et 7'', d'ordre '?, + '» -'i et .l., seront respectivement infinies d'ordre:
et
On doit donc avoir d'abord:
ou ce qui revient au même
ai > /i, — I •
Cette condition est suffisante pour que A^ ne devienne pas infini. Pour que .1, reste également fini, il faut encore qu'il y ait certaines relations entre les coefficients de F et de F^ .
Supposons maintenant que F et F^ deviennent nuls d'ordre «„^i et <î„+i — I pour X = cX) et Z^ et Z^ infinis d'ordre y,^^-^ et i — y„^,y . Il en résultera que .Ij et .1^ deviendront infinis d'ordre:
et
pn + y'
Par conséquent A.^ reste fini pourvu que ou ce qui revient au même:
Acia Mathematiea. ô. Imprimé 18 Aoflt 1884. 32
250 H. Poincaré.
Si en outre il y a certaines relations entre les coefficients de F et de J^'j, A restera fini. Nous ne restreignons pas la généralité en supposant que o, et o„^, sont égaux à leurs limites, c'est à dire que Ton a
^n + l = /Ai + l + 3-
Considérons maintenant les relations dont il vient d'être question et qui doivent exister entre les coefficients de F et de F^ pourvu que les deux fonctions .1 restent finies pour z = a, et pour z = g(„+i et avant tout, cherchons quel en est le nombre.
Si F et JPj étaient des fonctions rationnelles quelconques assujetties seulement à être nulles d'ordre
ai et o, + I (ou f/„+i et d„^i — I pour z ^ <x„+,)
/!, serait infini d'ordre
+ r^ — I — à)j (ou —h(^i + ^J + j;, + , — '^+0
Dans le développement de /Ij suivant les puissances croissantes de x — fl^ , il y aurait donc
(ou E' [;-„+, — r;„+i — // (i + ^J I pour z = a,, ^,)
termes infinis. Nous désignons par E'{'x) le plus petit entier satisfaisant à la condition
et par E{x) le plus grand entier tel que
Le nombre des relations nécessaires pour que les deux .1 restent finis pour s = a, est donc égal à:
Mémoire sur les fonctions zétafuehsiennes. 251
OU bien
4n'-,ïj +'•■-■]-■'•■
ou, tiinsi qu'il est aisé de le voir:
h — I — «j ^ K — /A- En ce qui concerne le point z = a,.^,, le nombre des relations est égal à:
ou
ou enfin
On a en effet
« et i étant des entiers.
Le nombre total des relations est donc ainsi de:
Considérons maintenant les diverses fonctions A qui admettent q infinis simples donnés sans en admettre d'autres. Toutes ces fonctions s'exprimeront linéairement à l'aide dun certain nombre d'entre elles. Quel est ce nombre? Les fonctions F et F^ admettent les q infinis donnés; mais comme elles doiveiit être nulles respectivement d'ordre d„
252 H. Poincarc.
et d'ordre r?„^i — i pour x = co, elles admettront q — o„+i et q — (?„+i + i zéros. Mais la fonetion F admet o^ fois le zéro «; et la fonetion F^ l'admet Oj + i fois; il reste donc
q — So zéros arbitraires dans F
et
q — 2(7 +1 — " dans F^ .
11 y a donc en tout dans F et F^
2q — 2ZJ + 3 — n = 2q — 22/i; + w — 3
coefficients arbitraires.
Mais nous n'avons pas tenu qpmpte des relations qui doivent exister entre les coefficients de F et de F^ et dont nous venons de déterminer le nombre. Il faut donc retrancher de l'expression qui précède le nombre de ces relations, c'est à dire
Il restera ainsi:
Q = 2q — YX, — T/i, + n — 3
coefficients réellement arbitraires.
Ainsi toutes les fonctions A qui admettent les q infinis dormes s'expriment linéairement à l'aide de Q d'entre elles.
Dans toute décomposition en éléments simples, il y a un nombre que l'on peut appeler fondamental et qui joue un rôle très important. Supposons qu'il s'agisse de décomposer en éléments simples les fonctions qui appartiennent à une certaine catégorie G. On doit supposer que la somme de . deux fonctions appartenant à cette catégorie C, appartient également à C; ce n'est que dans ces conditions qu'on peut être conduit à chercher une décomposition en éléments simples. Il peut arriver (^uc les éléments simples fassent eux-mêmes partie de C; c'est ainsi que dans la décomposition des fractions rationnelles, on est conduit à des éléments
de la forme qui sont eux-mêmes des fractions rationnelles. Dans
ce cas, nous dii'ons que le nombre fondamental est égal à o. Mais le contraire peut arriver également. Ainsi dans la décomposition des fonctions doublement périodiques, les éléments simples sont de la forme
Mémoire sur les fonctions zctafuchsicnnes. 253
A-r-\ogtf{x — a) et ne sont pas des fonctions doublement périodiques.
Mais il existe des fonctions doublement périodiques qui sont des sommes de deux éléments simples seulement, et à l'aide desquelles toutes les autres s'expriment linéairement. Dans ce cas, le nombre fondamental sera égal à I . En général s'il existe des fonctions de la catégorie C, décomposables en m + i éléments simples seuleinent et à l'aide desquelles toutes les autres fonctions de la catégorie C peuvent s'exprimer linéairement, le nombre fondamental sera égal à m, pourvu que m soit le plus petit nombre jouissant de cette propriété. Ainsi dans la décomposition des fonctions rationnelles de x et de //, (// ét^nt lié à x par une relation algébrique ç (.r , ^) = o) décomposition découverte par M. Rocii , le nombre fondamental est égal au genre de la relation ^ = o.
Envisageons de même la décomposition de la fonction ,j(^-) que nous avons considérée aux pages 238, 266, 275 et 284 du mémoire sur les fondions fuchsiennes en éléments simples de la forme:
Dans le mémoire cité, nous avons déterminé le nombre fondamental relatif à cette décomposition. C'est ainsi que dans le cas du genre o et de la 2' famille (loco citato p. 276) nous avons trouvé pour ce nombre:
Quel est maintenant le nombre fondamental relatif à la décomposition qui nous occupe ici, c'est à dire à la décomposition de la fonction ,1, en éléments simples de la forme:
A-^i..(^, -"x) ou A,<P,,^{z. z^).
Pour cela, il nous sufiit d'énoncer le résultat suivant: si m est le nombre fondamental d'une décomposition quelconque en éléments simples, toutes les fonctions qui s'expriment linéairement à l'aide de q éléments donnés, peuvent être exprimées linéairement à l'aide ào. q — m d'entre elles.
Nous avons vu que les fonctions .1 qui admettent q infinis donnés
C) Acta mathenjatica, T. r, p. 242.
254 H. Poincaré.
peuvent s'exprimer linéairement à l'aide de
d'entre elles. Or ces fonctions peuvent s'exprimer linéairement à l'aide des 2q éléments simples:
Donc le nombre fondamental est égal à:
ZA; + Z/ii 4- 3 — ««•
Dans la théorie des fonctions fuchsiennes et des fonctions A{s) engendrées par ces transcendantes, le nombre fondamental jouissait d'une propriété remarquable que je vais rappeler.
Soit (/'{h) le nombre fondamental relatif à la décomposition en éléments simples des fonctions de la forme
où F désigne une fonction rationnelle des deux fonctions fuchsiennes X et ij.
Soit ^^{ni) un nombre tel que les fonctions de la forme
(où F a la même signification que plus haut) qui ne deviennent pas Infinies à l'intérieur du cercle fondamental, s'expriment linéairement à l'aide de ^{in) d'entre elles.
On avait l'identité:
C'est de cette identité que nous avons tiré une conclusion importante, à savoir que toute fonction de la forme (a) pouvait être représentée par une série thétafuchsienne (de la forme (4) , § i , Mémoire sur les fondions fuchsiennes) .
Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes. 255
De même ici, soit:
le nombre fondamental relatif <à la décomposition de .1 .
Soit j.'(>h) un nombre tel que toutes les fonctions de la forme:
(forme (5) du § précédent) puissent s'exprimer linéairement à l'aide de f?(w) d'entre elles. On aura encore:
Voyons si on pourra tirer de cette indentité la même conclusion que dans le paragraphe cité, c'est à dire si on pourra démontrer que toutes les fonctions de la forme (/9) peuvent s'exprimer par l'une des séries c du paragraphe précédent.
Supposons que toutes les séries ç qui ne deviennent pas infinies à l'intérieur du cercle fondamental et qui correspondent à un exposant m égal à /; + I puissent s'exprimer linéairement à l'aide de d{h + i) d'entre elles. On aura évidemment
(0') 0[h + i)<<f{li+ i)
puisque toute série c est égale à une fonction de la forme {,3). Si l'on a:
toute fonction de la forme (^9) pourra réciproquement s'exprimer par une série ç. Il n'en serait plus de même si l'on avait:
Soient maintenant
2l , Zj , . . . , S^
q quantités quelconques, intérieures au cercle fondamental. Soient
B,, B,, ..., B., 2q quantités que nous assujettirons plus loin à diverses conditions.
256 H. Poincaré.
Soit maintenant ^^{s) une série 6 ne devenant pas infinie à l'intérieur du cercle fondamental et ç.-^{z) sa conjuguée. Ces séries ç sont engendrées par le groupe fuchsien g et par le groupe zétafuchsien G^ corrélatif de G. Assujettissons les quantités A et B à la condition suivante:
Ecrivons cette même relation pour toutes les séries ^ qui, restant finies à l'intérieur du cercle fondamental, correspondent à un exposant m égal à // + I . Nous aurons de la sorte assujetti les A et les B à â{h + i) conditions distinctes.
Posons alors
/!,(.-) = Ta, (!>,,,{-', z,) + TB,<P,,,{z, z,)
A,{2) = TA,<D,,,{s, s,) + TB,0,,,{z, z,). Posons maintenant:
en supposant que
soit le tableau à double entrée des coefficients de la substitution 5, correspondant <à s,. Il est clair que :ç^{z) et 7]^{z) sont deux séries f conjuguées ne devenant pas infinies à l'intérieur du cercle fondamental. Donc en vertu des relations (e) on a:
A,{zs,) = (^^y'[oM^) + h,M^)].
Mémoire sur les fonctions zt'tafuclisiennes. 257
On en conclut rpic .1, et .1,^ sont deux fonctions de la forme:
dont les identités (C) nous donnent la décomposition en éléments simples. Or les coefficients ^ et J5 de cette décom])osition ne sont assujettis qu'à 0(Ji + i) conditions. Ce nombre d{h + 0 ^''t donc au moins égal an nombre fondamental, d'où l'inégalité
ff{h + i)>ç''(/0- De la comparaison de cette inégalité avec (j) et («) on déduit:
Donc toute expression de la forme {fi) qui ne devient pas infinie peut s'exprimer par aine série ç.
On en déduit aisément qu'il en est de même d'une expression de la forme (y9) qui devient infinie.
D&)ic toute fonction zétafuchstenne est le quotient d'une série ? par une série thétafuchsienne.
Nous avons, il est vrai, pour fixer les idées, supposé que ^j = 2 , mais la démonstration et le résultat subsistent quand /) est plus grand que 2.
§ 7. Extension à In deuxième faniille.
Tout ce qui précède ne s'applique encore qu'aux groupes fuchsiens de la i^''"' famille et aux groupes zétafuclisiens qui leur sont isomorphes. Il nous reste à étudier les fonctions zétafuchsiennes dont le groupe fuchsien g est de la 2*" ou de la 6" familles.
Parmi ces fonctions nous distinguerons deux espèces.
Acla nuithftiuttifa. 5. Imprimé -1 Août 1H>^. 33
258 H. Poincaré.
La i''"''^ espèce, dont nous nous occuperons d'abord, comprendra les fonctions dérivées d'un groupe zétafuchsien G jouissant des propriétés suivantes: Le groupe fuchsien g étant de la 2'^'^ ou de la 6" familles, son polygone générateur B,^ aura des sommets sur le cercle fondamental. A chacun de ces sommets correspond une substitution parabolique du groupe g qui admet ce sommet comme point double. Les substitutions ainsi définies sont les substitutions paraboliques du groupe g; les substitutions du groupe G qui leur correspondent en vertu de l'isomorphisme s'appelleront snhstitutions critiques. Il ne faut pas confondre les substitutions critiques du groupe G et. les substitutions fondamentales de ce même groupe. Les substitutions fondamentales de G seront, dans ce qui va suivre, celles qui correspondent aux substitutions de g qui changent un côté de B^ en son conjugué ou à leurs inverses. Les substitutions critiques de G seront celles qui corresiJondent aux substitutions paraboliques de g qui n'altèrent pas l'un des sommets de la 2*'' sorte de i?^, ou à leurs inverses. Formons pour chacune de ces substitutions critiques l'équation aux multiplicateurs que l'on obtient, comme on sait, en écrivant le. tableau à double entrée des coefficients, ajoutant — S k chacun desternies de la diagonale principale et égalant à o le déterminant ainsi obtenu. Si toutes les racines de ces équations relatives à toutes les substitutions critiques ont pour module l'unité, le groupe G et les fonctions zétafuchsiennes qui en dérivent seront de la i"" espèce. Soit:
Z, , Zo , . . . , Z
un système zétafuchsien et .r = f[z) une fonction fuchsicnne ayant même groupe. Nous avons vu que Z, considéré comme fonction de x satisfait •A une équation linéaire à coefficients algébriques. Quelles sont les conditions que doit remplir cette équation pour que le système (i) soit de la i''" espèce? Il faut et il suffit que si l'on envisage les différents points singuliers de cette équation, toutes les équations déterminantes correspondantes aient tontes leurs racines réelles.
La seconde espèce, dont il sera .question au paragraphe suivant, comprend toutes les autres fonctions zétafuchsiennes.
Je dis que si le groupe G est de la i'" espèce, les séries ç du paragraphe (5) seront absolument convergentes.
Mémoire .sur les l'ouctions zctafuchsieunes. 259
Considérons en effet une substitution quelconque S du groupe G.
Nous pourrons lu mettre sous lu forme suivante:
(2) ^ - ^T'ir ... X"
où les substitutions 1\ . 1'., 2'„ sont choisies parmi les substitutions
fondamentales ou les substitutions critiques et dont les exposants a,, a.,, ... sont des entiers positifs. Parmi les substitutions 2', , Z,, .... 2'„ , il y en aura en général un certain nombre que j'appellerai Tj , T.,, . . . , T,^ qui seront des substitutions critiques et j'appellerai yî, , i%. .... y^,^ leurs exposants. 'J'appellerai y, , y.,, . , . , ^„,^ les n — q exposants qui affectent des substitutions fondamentales. Nous allons chercher, comme dans le paragraphe 5 , une limite supérieure des coefficients de S. et p(jur cela nous envisagerons la somme des logarithmes des exposants yî, Slog/5 et celle des exposants y, Y.y. Soit d'abord M un nombre plus grand que les modules des coefficients des substitutions fondamentales et de leurs inverses. Soit ensuite T une quelconque des substitutions critiques, nous pourrons toujours la mettre sous la forme suivante:
T= UVU-'
oii V est une substitution canonique. J'appelle ainsi, à l'exemple de plusieurs -géomètres, toute substitution de la forme suivante:
(3) ' {^i, Z,, .. . , Z,/, in,Z, . m,Z,, . . ., m,,Z^) ou bien, plus généralement:
(4) ■ (Zi , Z.,, ..., Z^, ; m,Z, , m.,Z, + it,Z, , m,Z^ + h^Z, , . . . , «?^,Z^, + »^,Z^,i)
où «, est nul, si m^ est différent de m,^^ .
J'aurai donc à considérer à part les substitutions U et les substitutions F. Je supposerai que le nombre M, défini plus haut, est plus grand que les modules de tous les coefficients de V et de U~^.
Maintenant nous avons
et il s'agit de trouver une linîite supérieure des coefficients de V'\ Si V est de la forme (3), tous les coefficients de F'* ont pour modules o
260 H. Poincaré.
OU I. Si F est de la t'ornic (4), un pourra trouver uu polynôme entier en 3 de degré \/j au plus, à coefficients positifs et qui sera plus grand que les modules de tous les coefficients de V'\ Plus simplement on pourra toujours trouver un nombre M' assez grand pour que l'expression M'/î^ soit plus grande que tous ces modules. Tour simplifier encore, nous supposerons M' = M, en prenant pour la valeur commune de ces deux iiombres, un nombre assez grand pour satisfaire à toutes les conditions que nous leur avons imposées.
En appelant M^ et M., la limite supérieure des modules des coefficients de deux substitutions S^ et S.^, les modules des coefficients de S^^S.^ seront plus petits que
Si donc on se reporte à l'expression (2) de la substitution S, on verra que ses coefficients sont tous plus petits que:
