VJ'-1US

Cherchons maintenant une limite supérieure des deux exposants qui entrent dans cette formule, à savoir Y.y -\- iq et Slog/?. Soit ^"S le transformé du point 3 par la substitution s du groupe (j qui correspond à S. Joignons z et 2s par un arc de cercle orthogonal au cercle fondamental, et soit R la L àa cet arc de cercle. C'est en fonction de Pi que je veux exprimer les limites supérieures cherchées.

Considérons l'un quelconque des sommets du polygone B^ ou de l'un de ses transformés, et décrivons autour de ce sommet un petit cercle défini de la manière suivante. Si ce sommet est de la T" sorte et situé à l'intérieur du cercle fondamental, il devra être le centre de ce petit cercle au point de vue non-eudldien. Si le sommet est de la 2'''' sorte et situé sur le cercle fondamental, le petit cercle devra toucher le cercle fondamental en ce sommet même. Je puis toujours supposer que ces cercles ont été pris assez petits pour n'avoir aucun point commun. Il arrivera alors que la L d'un arc de courbe qui ira d'un point de l'un de ces cercles à un point d'un autre de ces petits cercles, restera toujours supérieure à une certaine limite X. L'arc de cercle z-zs, défini plus haut, traversera un certain nombre de ces petits cercles et ce nombre ne pourra

Mémoire sur les fonctions zétat'uclisicnnes. 2t)l

pas ctro isUpcricur h - . Maintt^iiaut, si nous considérons un arc de

courbe ne traversant aucun de nos petits cercles et joignant deux points appartenant à deux côtes ditt'crcnts du polygone li^ ou d'un de ses transformés, la L de cet arc restera toujours supérieure à une certaine limite /j.

Voyons maintenant (pielle est la signification géométrique des exposants i3 et ;- qui entrent dans l'expression (5). L'are 3-2S, en allant du point z au point zs, traverse divers côtés appartenant au polygone R^ ou à ses transformés. La substitution 6' peut se mettre d'une infinité de manières sous la forme (2). Nous avons d'ailleurs le droit de choisir parmi ces différentes manières, celle ([ui nous convient le mieux; car chacune d'elles nous conduira à une limite supérieure des coefficients. Voici celle que nous adopterons: Soient C\, C.,, ... , C'.,„ les 2)i côtés du polygone R,^ ; soit R^ le polygone contigu à Rg le long de C\ ; soit s^ la substitution du groupe // qui change 7΄ en i?, , et «S, la substitution correspondante du groupe G. Les substitutions Si, S.,, ..., S.,„ seront les substitutions fondamentales du groupe G. Cela posé, supposons que l'arc z-zs dont nous nous occupons, sorte du polygone R^ par exemple par le côté 6'„^ , puis du polygone suivant par le côté homologue à 6'^. et ainsi de suite jusc^u'à l'avant-dernicr polvgone d'où il sortira par le côté 6'„^ . Nous poserons alors:

Mais ce ne sera pas encore là la forme définitive que nous adopterons pour S. Supposons en eflet que l'arc z-zs pénètre dans l'un des petits cercles relatifs à l'un des sommets de la 2"^^ sorte et y franchisse un certain nombre de côtés appartenant à R^ et ;i ses transformés. Tous ces' côtés iront alors forcément aboutir au sommet de la 2*' sorte oii le petit cercle en question touche le cercle fondamental et où ils se succéderont périodiquement de la façon suivante: On rencontrera d'abord un côté homologue à C';^, puis un côté homologue à C^, etc. jusqu'à ce qu'on retombe sur un côté homologue à C';^; on retrouvera ensuite un côté homologue à t'^, et ainsi de suite dans le même ordre. Si nous réunissons ensemble les facteurs de l'expression (6) qui correspondent aux côtés

262 H. Poincaré.

rencontrés à l'intériciir ili; ce [)ctlt cercle, ce» Itietcurs [loiirrDut s'écrire de la manière suivante:

k est le nombre de côtés compris dans une [)ériode et c'est précisément le nombre des sommets de R^ qui forment un même cycle parabolique; j3 est le nombre des périodes; enfin

' /n '■/il- 1 '2 l

est l'ensemble des facteurs de l'expression (6) qui forment un résidu n'entrant dans aucune période; leur nonibre est plus petit que A". Mais:

est une substitution critique, de sorte qu'on peut remplacer dans l'expres- ■ sion (6) l'enscndjle des facteurs (7) par:

(^uand on aura fait cette opération, rex[)ression (6) sera devenue l'expression (2) définitive et il n'y entrera, comme on le voit, que des substitutions fondamentales et des substitutions critiques.

Maintenant S;- est le nombre des substitutions fondamentales entrant clans cette expression (2). Chacune d'elles correspond à une intersection de l'arc z-zs avec un côté -des transformés de JR^. Quelques-unes de ces intersections auront lieu en dehors des petits cercles et leur nombre ne

pourra pas être plus grand que — ; les auti'cs auront lieu à l'intérieur

des petits cercles. Si l'on considère d'abord les petits cercles relatifs à un. sommet de la i'"" sorte, on reconnaîtra sans peine que le nombre des intersections possibles dans chacun d'eux est limité. A l'intérieur des petits cercles relatifs aux sommets de la 2''° sorte, le nombre des intersections pourrait au contraire être illimité; mais un nombre limité d'entre elles seulement se rapportent à des substitutions fondamentales entrant dans l'expression (2) définitive. On a vu en effet que dans cette expression, nous avons remplacé l'ensemble des facteurs (7) par \r. produit

Mc^inoire sur les fonctions zétafuchsiennes. 203

dun nombre Unùté de substitutions fondamentales et d'une certaine puissance d'une substitution rritiqne. Ainsi on peut trouver une limite supérieure h du nombre des substitutions fondamentales entrant dans 1 expression (2) et relatives à des- intersections avant li,.„ a rintôri..ur d un petit cercle. Il en resuite que:

Quant au nombre q. il est au plus égal au nombre des petits cercles traversés; on a donc:

Il faut maintenant trouver une limite supérieure de Zlog^î. Consi-. dérons un petit cercle quelconque relatif à un sommet A de la a"" sorte et la substitution critique T correspondante; elle entrera à la puissance 8 dans lexpress.on (2) définitive, et ce nombre ,9 est au plus égal au nombre des intersections qiii ont lieu à Imtérieur du petit cercle entre l'arc s-^s et certains côtés qui vont tous converger au sommet A et qui sont fow^ homologues entre eux. Il est aisé de trouver une limite supérieure du nombre de ces intersections. Faisons passer par le sommet A deux cercles AB et AC orthogonaux au cercle fondamental, B et G étant par exemple sur le petit cercle considéré. La L de l'arc BC de ce petit cercle pourra s appeler l écart des deux cercles AB et AC. Soit AB^ un côté appartenant a lun des transformés de R^ et aboutissant au point A; soit AB le transformé de AB^ par la substitution parabolique du groupe g qui a pour point double le point A; AB^ le transformé de AB.^ par cette même substitution, etc.; l'écart de deux de ces transformés consécutifs ^Z?„ , AB„+, sera une constante v. Soient maintenant B et I) les deux extrémités de la portion de l'arc z-zs qui est à l'intérieur du petit cercle Le point B se trouvera sur la circonférence de ce petit cercle et il en sera de même de D, à moins que D ne soit le point zs lui-même. Soit A la L de lare BB et N l'écart des cercles AB et AD, on aura:

264 H. Poincaré.

et d'autre part:

i, -il -

le cas de l'égalité se présentant lorsque les cercles z-zs et AD se coupent orthosonaleineut en D. On déduit de là:

(l OU

log y9 < i, log2V.

On peut trouver une quantité }i\ telle que pour tous les petits cercles relatifs à un sommet de la 2^'' sorte:

— log 2v < ;;•, ;

on aura alors

Telles sont les deux limites supérieures cherchées. On en déduit que les coefficients de la substitution 8 sont plus petits que

a étant une constante. C'est le résultat auquel nous étions parvenus dans le paragraphe 5 et d'où nous avions conclu la convergence des séries f. Ces séries sont donc encore convergentes dans le cas qui nous occupe.

Ainsi les conclusions du paragraphe 5 subsistent ici. En est-il de même de celles du paragraphe 6 et en particulier de l'identité suivante:

lf\-'' ^ A, , ^ A,

où Z, est une fonction zétafuchsienne et f une fonction fuchsiennc de e, où les a sont les infinis du premier memlire et les A les résidus correspondants?

Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes. 20.'j

Eli d'autres tonnes l'int^snile:

prise le long d'un contour convcnaljlenient choisi tend elle encore vers o, lorsque ce contour se rapproche indéfiniment du cercle fondamental? Cela ne serait évidemment pas vrai si nous choisissions l'expression sous le signe f d'une façon tout à fait quelconque. Nous lui imposerons la condition de s'annuler en tous les sommets de R^ situes sur le cercle fondamental; je veux dire qu'en tous ces sommets les j) fonctions

du système considéré multipliées par — î — i'-j-) s'annuleront en même

temps. Il existe évidemment une infinité de systèmes zétafuchsiens, engendrés par deux^ groupes g et G donnés et satisfaisant à cette condition. Je puis supposer également, mais cette fois pour simplifier seulement, que l'expression

■(.o) z,(.)pig-';]-

ne devient pas infinie le long du périmètre de J?^ , non plus bien entendu qu'aucune des expressions qu'on obtient en donnant à l'indice i l'une des valeurs i , 2 , 3 . . . . ^ p.

Cela posé, nous avons dit que l'expression (10) devait s'annuler pour z = rti, (si a, est un sommet de la 2''' sorte) c'est à dire que son module devait tendre vers o quand z tend vers a,, en suivant l'un des côtés de -^0- Voyons comment cette expression tend vers o. Supprimons l'indice i du sommet a,, et appelons-le simplement 7. pour abréger. Le module de et sera égal à i puisque ce sommet est sur le cercle fondamental.

Posons

^ étant un coefficient convenablement choisi.

Acta matlieiiMlkd. ."). Iiu[)iimô 2ij Août 18si. oj

266 H. Poincaré.

Nous avons vu que les fonctions fuehsiennes de „- sont dans le voisinage de z = et, holomorphes eu e', et les fonctions zétafuchsiennes sont de la forme

(il) , P,é''(I>, + P,e'^'0, + . . . + I'/''<P.,

où les (I> sont holomorphes en e' et où les P sont des polynômes entiers en f. D'ailleurs il est aisé de voir que ^9 est une quantité telle, que quand l'argument de z est le même que celui de a. et son module plus petit, la valeur de / est réelle et négative; si donc z tend vers a en suivant un des côtés de B^, e' tend vers o. On a d'ailleurs:

0' étant holomorphe en e'.

Donc l'expression . (lo) peut se mettre sous la forme d'une somme de termes de la forme suivante:

où B, n et y sont des constantes. Pour que l'expression (lo) tende vers o, il faut et il suffit que toutes les constantes v aient leur partie réelle positive.

Soit maintennnt 7? la distance de l'origine au point z, comptée au point de vue non-euclidien. Nous aurons

Supposons que l'argument de z soit le même que celui de a, on aura: Lorsque z tend vers a, l'expression

^léiiioirc sur lys fonctions zt-tiifuchsiennes. 267

tend vers uiiu limite finie — ' . Il est aisé de voir (|u"il en est encuro de

même quand »~ tend vers a en suivant l'un des eotés de 11^. Il en résulte (|ue l'expression

.le""'

tendra vers o quel (jue soit m quand z tendra vers a en suivant les eotés de B^. D'où, eette eonelusion, e'est (|u'on peut trouver un nombre Jl/" tel que Tinéiralité

subsiste tout le long du périmètre de B^.

Considérons maintenant deux points transformés l'un de lautre s et zs^ et appelons A et R leurs distances à l'origine évaluées au point de vue non-euclidien. Soit /„ le plus grand module des p quantités:

au point „-, et soit /, le module de l'un des .1 au point zs,. Cherchons

une limite supérieure du rap[iort -' .

Nous avons • vu que les coëfticients de la substitution S^ du groupe G (jui eorres[)ond à s^ étaient plus petits que:

a étant une constante et L la distance non-euclidienne de z k zs^. Mais on n'a qu'à se reporter au mode de démonstration adopté, pour voir que dans cette expression. L peut tout aussi bien représenter la distance du point zs^ à un point quelconque situé dans le même polygone que z. Si donc les points 0 et z sont tous deux dans le polygone B^ , les coëfticients de Si seront tous plus petits que:

D'autre part on a

df(zsi) df(^),f" + e -" +

dzsi dz e -f- e ■ +2

H. Poincaré.

On déduit de là:

Si le point ^ est sur le périmètre de B^, un a:

/„ < Jl/(e" + c"^-' + 2)-\ On eu déduit:

Nous pourrons écrire plus siuiplenient:

Il reste à montrer maintenant que la longueur du contour d'intégration est finie. Nous supposerons que la portion du plan limitée par ce contour est formée d'un certain nombre de polygones transformés de B^ . Le contour sera donc formé d'un certain nombre de côtés de ces polygones, et il s'agit de faire voir que Ton peut choisir ces polygones de manière que le contour se rapproche indéfiniment du cercle fondamental et reste cependant de longueur finie.

Pour simplifier la démonstration, nous nous restreindrons aux groupes [/ de la 2'"'' famille, laissant de côté la 6'' famille qui est beaucoup moins importante et pour laquelle d'ailleurs le résultat reste vrai.

Pour la 2" famille, le polygone B^ et ses transformés ont tous leurs sommets sur le cercle fondamental, et le contour d'intégration, quels (jue soient les polygones qui le forment, se compose toujours d'un certain nombre d'arcs de cercles tangents deux à deux et orthogonaux au cercle fondamental. Il est aisé de voir alors que sa longueur reste toujours plus petite que -'. Supposons maintenant que l'on prenne poiu' contour d'intégration le périmètre de la portion du plan formée de tous les polygones transformés de Bg qui sont, en totalité ou en partie, intérieurs au cercle K qui a pour centre l'origine et pour rayon B (au point de vue non-euclidien). L'intégrale (9) est alors plus petite que:

Tz'p^Ié'"''"'''-

Si 2h est plus grand que a, elle tendra vers o quand B croîtra indéfiniment. C'est ce qu'il s'agi.ssait de démontrer. On peut en conclure que

Méiiiilirc sur les lonclions /.ctafaclisicnncs. 269

l'identité (8), analogue à l'identité (5) du paragniplie préeédent, subsiste encore dans le cas (jui nous occupe. Il on est <lc nu"'nic des résultats que nous en avons déduits et en particulier de la décomposition en éléments simples des expressions telles que .1 et des l't)nctions zétafuchsiennes. Le résumé du présent paragraphe, c'est qu'il n'y a aucune différence essentielle entre les fonctions zétafuchsiennes que nous venons d'appeler de la I'" espèce et les fonctions engendrées par les groupes fuchsiens de la i^'^^ famille.

§ S. FonctioiiH (le la deuxième espèce.

Dans ce (pii précède, nous avons supposé que les fonctions zétafuchsiennes étudiées étaient de la première espèce, c'est à dire (jue les substitutions critiques avaient des multiplicateurs de module i. Les mêmes résultats subsisteront-ils pour les fonctions de la deuxième espèce? Il est aisé de voir que non.

Reprenons en effet dans ce cas la série ç du paragraphe 5. Je dis qu'elle sera divergente ou tout au moins qu'elle ne sera pas absolument convergente. En effet ne conservons dans cette série qu'une partie des termes. Soit:

une substitution parabolique s, du groupe (j et soit 5", la substitution critique correspondante du groupe G. Elle pourra toujours se mettre sous la forme canonique

Ne conservons dans la série ç que les termes qui correspondent à la substitution s^ et à ses puissances positives et négatives. Ces termes s'écriront :

où H est le signe d'une fonction rationnelle et oxi q prend toutes les valeurs entières positives et négatives.

270 II. Poincaié.

J"c(:rlrai plus siiiiplcinuut:

^{q) étant uiiu foiietioii nitioiiitelle de >j. Cette série est évklemiiient divergente.

Les résultats du paragraphe 5 ne sont done plus vrais iei, et il en est de même de ceux du paragraphe 6 qui y sont d'ailleurs intimement liés.

Mais de ce que ces résultats ne peuvent être étendus sans modification à la deuxième espèce, il ne suit pas qu'il ne peuvent être généralisés et c'est ce que nous allons chercher à faire.

Enonçons d'abord les résultats partiels qui subsistent sans changement.

i". Les coefficients d'une substitution S] quelconque du groupe G sont plus [)ctits que A", A étant une constante et a l'exposant de la substitution .S',.

2". Si l'on a:

et (juc .1, s'annule ainsi (pie ses p — i conjuguées en tous les sommets de la 2° sorte de iî^ , l'expression

Ae'""

(lii II désigne la distance non-euclidienne de z h l'origine, tend vers o (piand .: tend vers l'un de ces sommets en suivant le périmètre de lî^. 3°. Si de plus les .1 ne deviennent pas intinrs le hmg du périmètre de I\^, on pourra trouver lui nombre M tel (|ue le long de ce périmètre, on ait:

4°. Le périmètre d'une figure simplement connexe formée par un certain nombre de transformés de 11^^ est toujours plus petit que -'' (si nous nous restreignons à la 2" famille, comme nous l'avons fait précédemment). '

Il résulte de ce qui précède, et l'on peut s'en assurer en se reportant au paragraphe précédent, que si z est un ])oint du périmètre du transformé de 2?,j par une substitution .S', d'exposant «t, on a en ce point „":

.AK'iiiiiiro pur les f'i)nctinns ziîtafiiclisicnnes. 271

Maintenant voici Iç problciiic (|irU faudrait clii'i'chcr à résoudre: Trouver une fonction F[z) tel le ((uc l'intégrale

Adz

tende vers o (juand on la i)i'end le lnni;' d un contour conveiiahleiuent choisi et se rapprocliant indeliuinieut du cercle fondamental.

Voici le contour (|ue nous choisirons: Considérons un cercle ayant pour centre l'orifrine et pour rayon ^o au point de vue non-euclidien. Considérons l'ensemhle des polygones transformés de B^ et qui sont partiellement intérieurs à ce cercle. Cet ensemble formera une figure simplement connexe dont le périmètre sera plus petit que -'' et dont tons les points seront à. nue distance non-e>iclidienne de l'origine plus grande que ^o. Nous ferons ensuite croître p indéfiniment.

Voyons quelles sont les conditions qu'il nous faut pour cela impo.ser ta la fonction F:

i". Lorsque z tend vers un sommet de la 2'''' sorte, en suivant le périmctn' de B^, F ne doit pas tendre vers o assez rajjidement pour que

ne tende pas vers o.

2". Lorsque z se trouve sur le périmètre du transformé de 7?^, par une substitution d'exposant rr, son module doit être plus grajul que: