TIC

B et C étant des constantes suffisamment griindes.

Il est sans doute poi;sible de trouver une pareille fonction F, mais ce n'est pas ainsi que nous procéderons ici. L'analogie avec la théorie des facteurs primaires de M. Weiekstrass et avec le théorème de M. Mittao-Leffleiî va nous conduire à la généralisation cherchée.

Soit en effet /"(.r) une fonction entière à décomposer en facteurs primaires. Supposons par exemple qu'elle n'a que des zéros simples a,, (7.,, ..., a„, .... Pour résoudre ce problème, on cherche à décomposer en fractions simples le quotient:

272 H. Pnincarc.

et on obtient ce résnltat par la considération de l'intégrale:

dz f\z)

prise le long d'un cercle dont le centre est l'origine et dont le rayon croit indéfiniment.

Supposons d'a]>ord que l'on puisse trouver un nomlM-e m assez grand pour que cette intégrale tende vers o. On trouve alors:

P(^x) étant un polynôme entier- d'ordre m — i.

Dans ce cas la fonction f(^x) est dite, comme on sait, de première espèce et de genre vi-.

•Si au contraire on ne peut paï; trouver de nombre t» assez grand pour que l'intégrale tende vers o, on fera croître le nombi'c m avec le rayon du cercle qui sert de contour d'intégration et on pourra toujours le faire croître assez vite pour que l'intégrale tende vers o. (Jn trouve alors :

:f^==iimrr-^— ,+p(^)l

Dans cette expression le signe S se rapporte à l'ensemble des points a situés à l'intérieur du cercle de rayon E et P(.r) représente le polynôme

formé des m premiers termes du développement de -r^ suivant les puissances de X. Quand m et R croissent indéfiniment selon une certaine loi, le second membre tend vers une limite qui n'est autre chose que

j7-^- C'est de cette expression qu'on peut déduire le développement de

- sous forme de série:

H étant un entier qui croît indéfiniment avec le module de a et G[x) étant une transcendante entière.

Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes. 273

La fonction entière f{x) est alors de 2''" espèce.

L'analogie avec le problème qui nous occupe est évidente. Les fonctions zétafuclisiennes de i'" espèce, dont nous avons parlé dans les paragraphes précédents, sont analogues aux transcendantes entières de i"" espèce et on en obtient le développement et la décomposition en éléments simples en remarquant que l'intétrrale:

Im^ë^

t.Mul ver> o quiuid le nombre m est suffisamment grand et que le contour d'intégration, d'ailleurs convenablement choisi, se rapproche indéfiniment du cercle fondamental.

Si nu contraire Z{z) est une fonction de 2"' espèce, on ne peut plus trouver un nombre m assez grand pour qu'il en soit ainsi. On est donc conduit, au lieu de conserver à l'exposant m une valeur constante, à le faire croître indétiniment en même tmips que le contour d'intégration se rapproche du cer.le fnn.lamental. et .•ela as>ev. vite pour que ^intégrale tende vers o.

Cela est toujours possible. II faut toutefois faire .me hypothèse sur In fonction fuchsienne f{z) dont la dérivée j|' entre sous le signe / dans l'intégrale précédente. Il faut supposer que |-' croisse indéfiniment quand .- tend vers un des sommets de B^ situé sur le cercle fondamental, en suivant l'un .les côtés de ce polygone. Il existe en elfet une infinité de fonctions fuciisiennes admettant le groupe g et jouissant de cette propriété.

Mais nous pouvons généraliser un peu la forme de l'intégrale considérée en procédant de la manière suivante. Soient f et /; les°deux fonctions fuciisiennes à l'aide desquelles toutes les autres s'expriment rationnellement et soit F{x, y) une fonction rationnelle de r et de y, choisie de telle sorte (|ue:

tende vers o (juand .^ se rapproche indéfiniment d'un sommet de 7?„ sit.ué sur le cercle fondamental.

Acta vMlhriiuilim. h. Inipriiiu' U Sr|i!eiulpr<> lst4.

274 H. Poincaré.

Considérons alors l'intégrale:

prise le long du contour envisagé dans le paragraphe précédent et qui limite la portion du plan formée de tous les polygones transformés de R^ (jui sont en tout ou en partie intérieurs au cercle dont le centre est o et le rayon non-euclidien R. Nous ferons croître /i indéfiniment en même temps que ce contour se rapproche indéfiniment du cercle fondamental, c'est à dire en même temps que la quantité R croît elle-même au delà de toute limite.

On peut d'abord trouver deux nombres M et A tels que le long du périmètre de 7?,,, le modidc de Z^ soit plus petit que:

où

De plus nous pouvons trouver deux nombres positifs N et a tels (jue le long du pérlmèti-e de i?„ , le module de

soit plus petit que

p étant la distance non-euclidienne des deux points o et z. Le module de la quantité sous le signe / en laissant de côté le facteur:

dont le module est essentiellement fini, est plus petit cpie:

]\[N"é'*-"'^'{e-' + c---' + 2)-" le long du ])érimètre de R^^.

Mdnioiri- sur les fonctions zctafuchsicnnos. 275

Mais riiitégnilc doit être- prise le long d'un contour i^uc nous avons défini plus haut, qui est formé de côtés appartenant à divers transformés de i?„ et qui est d'ailleurs tout entier extérieur au cercle de centre o et de ravon non-euclidien R. Considérons un des côtés de ce contour appartenant à un polygone Ri transformé de R^ par une substitution 5j. Soit zSi ce point; le point corresjiondant du périnictre de R^ sera z. Nous conserverons la notation:

et nous appellerons /> et // les distance» non-euclidiennes des point» z et zSi au point o. 11 vient alors:

Le module de Z au point zs, est plus petit que le module de cette même fonction au point „- multiplié par A", A étant une constante convoiablenient choisie et a étant l'exposant de la substitution s,. Quant à

son module se trouve multiplié par

quand on passe du point z au point zs,. Il résulte de là quan ])oint zs^ le module de la fonction sous le signe / est plus petit (|ue:

A''MN"e^'""'^'{é'''' + e '"' + 2)-" ou que

Je puis d'abord toujours supposer que A^ est plus petit que i. En effet s'il n'en était pas ainsi, je remplacerais la fonction F que j'ai choisie arbitrairement parmi les fonctions fuchsiennes de groupe ff par la fonc-

tion ^.

276 H. PuiiK-aro.

Si ji est sui'tisaimnent grand, le facteur e<'-"''" est également plus petit que i , de sorte qu'il reste à considérer les deux facteurs:

On voit aisément que

jS étant un nombre convenablement choisi, mais on [)eut faire croître // assez rapidement avec B, pour que

é'"^ log A — 2/iR

tende vers — oo. Dans ces conditions, la quantité sous le signe / tend vers o et, comme le périmètre d'intégration est fini, l'intégrale elle-même tend vers o.

Quelle conclusion devons-nous tirer de là en ce qui concerne le développement de la fonction Z?

La fonction:

a à. l'intérieur du contour d'intégration le caractère d'une fonction rationnelle. Nous pourrons donc trouver une fonction rationnelle Q{.2) telle que la diftèrencc

soit liolomorphe à l'intérieur de ce contour. Pour achever de déterminer la fonction rationnelle Q, nous su[)poscrons que son numérateur est de degré inférieur à son dénominateur.

Dans ces conditions, la différence J tend vers o lorsque /t et R croissent indéfiniment. C'est là, lu conséquence immédiate de ce que nous avons vu au sujet de l'intégrale.

On voit par là que la fonction Z peut avec une approximation aussi grande que l'on veut être mise sous la forme d'une fonction rationnelle multipliée par une expression de la forme:

M('iii'iiio sur les fniiutions zétafiichsiennes. 277

F"\dzJ

F et /' étant duux iotiL-tions i'iiclisit'iincs.

C'est tout ec ((iiL' j'ai pu trouvui' jusi|ii"H.i coiiiiii»' extciisiuii aux fonctions (le 2" espèce des {(l'opriétés (juc nous avons dé montrées plus haut. Je ne doute pas qu'on ne [luisse arriver un jour à une théorie plus complète.

En attendant, nous pouvons toujours exprimer une fonction zétafuclisienne quelconque, soit sous la forme d'une série ordomiée suivant les pui.ssances de z, soit sous la forme du quotient de deux pareilles séries.

Soit d'abord en effet une équati(jn linéaire:

d''o , -r-^ , -.(lu a,e '— • k (l.e

les f,. étant rationnels et x et ij étant liés par la relation

On pourra toujours rcniplacer x et >/ [lar deux fonctions fuchsiennes f{2) et fj{2), de la :2""' famille, choisies de telle sorte qu'elles satisfassent à la relation :

et qu'elles ne puissent prendre aucune des valeurs qtii correspondent aux points singuliers ni aux points à apparence singulière de l'équation précédente. Dans ces conditions, v sera une fonction zétafuchsienne de z ne devenant pas infinie à l'intérieur du cercle fondamental et développable par conséquent en série suivant les puissances de z. Les coefficients se calculent par récurrence.

Supposons maintenant que Z{z) soit une fonction zétafuchsienne admettant des infinis à l'intérieur du cercle fondamental; elle ne pourra plus être développée en série ordonnée suivant les puissances de z et toujours convergente. Mais on pourra toujours trouver deux fonctions fuchsiennes f et F admettant le groupe ff et un nombre entier m, tels que les deux fonctions

278 H. Poincard.

dont le quotient est Z, restent finies à rintcrieur du cercle fondamental. Elles pourront alors être développées en séries suivant les puissances croissantes de s. Quant aux coefficients, on pourra les calculer par récurrence, ainsi que nous l'avons dit plus liaut.

§ î). Fonctions diverses.

Les fonctions zétafuchsieniies, dont il a été question dans les paragraphes précédents, ne sont pas les seules que l'on peut imaginer. On peut construire en effet des fonctions zétafuchsiennes qui existent dans toute l'étendue du plan; ce sont des fonctions qui subissent les substitutions linéaires d'un groupe G quand la variable subit les substitutions d'un groupe fuchsien g de la 3°, de la 4°, de la 5° ou de la 7" familles. On peut aussi remplacer le groupe g par un groupe kleinéen, et on obtiendra de la sorte des fonctions zéta-kleinéennes, existant, soit dans toute l'étendue du plan, soit dans un certain domaine.

Cela suffit pour faire comprendre que dans les cinq mémoires des Acta niathematica que j'ai consacrés à l'étude des tran.scendantes fuclisiennes et kleinéennes, je n'ai fait qu'effleurer un sujet très vaste, qui fournira .sans doute aux géomètres l'occasion de nombreuses et importantes découvertes. »

Paris, 30 Mai 1884.

LES FONCTIONS HCllSIENNES ET 1. ARITHMÉTIQUE.

Les fonctions fuchsicnncs et i Arithmétique ;

Par m. h. POIACARE.

Nota