TIONS ET DEIT.MTIONS
Dans le .Mémoire qui va suivre, et qui a pour objet rétude arithmétique (les fonctions fuchsienncs, nous ferons usage d'un système abrégé de notations qui a déjà été assez souvent employé.
Nous désignerons une substitution linéaire quelconque par une seule lettre.
Aiti-^i soil
une forme homogène en x^ y et z.
Considérons une substitution linéaire portant sur ces trois variables et définie par le système de neuf coefficients
rt, /;, c, Cl., b., C2 «3 ^3 c,
Nous désignerons par exemple cette substitution par la lettre S. Alors la notation
F. S désignera la forme
F(a,a-+ b,y-hc,:, a^x + ^2.)'+ c^r, a,,x + b^y -1-^3-).
loG H. POINCARÉ.
(]ommc F. s sera aussi une forme homogène en x, y, z, nous pourrons lui appli({uer une autre substitution linéraire
Nous obtiendrons ainsi la forme
a , ( a\ X -h b\ y -hc\z)-h b,( a'., x -^ b'.,y -h c'.,z) + c.,( «'., x + b'.j' -h c'.^z)J
<|ue nous désignerons par la notation
(F.S)S', ou plus simplement
Cela définit en même temps la substitution SS' et montre tpie l'on ii
F(SS') = (FS)S'.
Nous allons considérer en particulier la forme quadratique
(1) = Y^' - XZ,
dépendant des trois variables indépendantes X, Y et Z et les transformées de cette forme quadratique par diverses substitutions lin('aires S. 11 est aisé de trouver toutes les substitutions linéaires S cpii iraltèrent pas <I', c'est-à-dire qui sont telles (pic
Mais il convient d'abord de distinguer ces substitutions en deux sortes.
Une transformation qui n'altère pas une forme quadratique ])eul
LES FONCTIONS KUCIISIENNES ET l'aRITIIMÉTIQU E.
S écrire
«3 ^3 Cj
Formons l'équation on S, du troisième de^ré
a.> ôj — S c,
cette équation aura une racine égale à 4- i, ou une racine é-aK- à i. Dans le premier cas, la transformation sera dite droite; dans le second cas, elle sera gauche.
Dans ce qui va sui^Te nous ne nous occuperons que des transformations droites, de déterminant + j . Il est aisé de voir alors que les substitutions semblables droites de la forme # peuvent s'écrire
où a, ^, Y, 0 sont quatre quantités quelconques telles que
(ao-PY/=..
Nous n'envisagerons que les substitutions à coefficients réels; nous supposerons donc que a, % ^;, 0 sont réels, de sorte qu'on devra avoir
Nous rejetterons également les substitutions de déterminant - i, desorte qu'on aura enfin
Nous avons appela sub.sli/u/ion.sfuchsicnnes les substitutions de la
loB II. POINCARÉ.
OÙ a, ^, Y, 0 sont des quantités réelles telles que
aS — [By = I .
On voil ainsi qu'à la substitution S correspondra une substitution fuchsienne
Si S et S' sont deux transformations linéaires qui n'altèrent pas $, ol que s et 5' soient les subslilulions fuclisiennes correspondantes, à la Iransformalion SS' correspondra la substitution fuchsienne ss'.
A tout groupe discontinu de transformations n'all(''raiil pas <!' correspondra un groupe fucbsicn, et récijirocjucmenl.
Soil mainlciiant T une transformation linéaire de déterminant quelconcpie et qui altère <!'. Posons
La forme ([uadratiquc F sera inallérée j)ar certaines subslilulions linéaires de délerminant i, que nous appellerons, pour employer une expression consacrée par l'usage, traiisfoi-mations semblables de F.
A toute transformation semblable de F correspondra une transformation semblable de $.
Si en efîel S est une transformation semblable de î*, T"' ST sera une transformation semblable de F.
Ainsi à tout groupe discontinu de transformations seml)ial)les de F correspondra un groujic de transformations semblables de <!', et jtar conséquent un groupe fuchsien; et réciproquement.
Supposons que F ait ses coefficienls entiers; parmi les transformations seml)la])les de F nous distinguerons celles dont les coefficienls sonl entiers. Elles forment un groupe discontinu qui a (l<''jà allirc' l'altenlion de nombreux arithméticiens désireux de parcourir la voie ([u'a ouverte INI. Hermite.
LES FONCTIONS FVCIISIENNES ET L'AniTII M ÉTIQIE. '[OQ
A ce groupo discoiiliiui ((in-cspondra donc im i^rnupc fuchsicn d par consoquciiluiisyslciuc de li)nclioiis fuchsiomics. De purrlll,-, lonctioiis fuclisi(Miiics poiiiToiU ■A i\\)\wW fonctions fuch.sieniics aiilliniriiques (Cf. Bulletin de l' Association française pour V avancement des Sciences, t. X, p. i32 et i38, et Comptes rendus de l' Académie des Sciences, Note du 29 mars 188G).
Le but du présent travail est Télude de ces fonctions fuchsiennes arithmétiques et de leurs a[)|)licalions à la théorie des nombres.
Je me propose en jiarticulier d'établir que ces fonctions admellmt un ihéorème qui piuil être regard('> comme la généralisation du tiii'orème d'addition des fonctions eliiplicpies, ce qui ne parait pas avoir lieu pour les fonctions fuchsiennes ordinaires.
Pour compléter ce système de définitions qui me seront nécessaiics dans la suite, je vais rappeler ce (ju'on doit entendre par indice d'un sous-i^roupe.
Ou peut trouver dans le grou|)e principal un certain nombre de substitutions
telles (pie toute substitution du groupe principal puisse se mettre d"unc manière et d'une seule sous la forme
T,- étant une substitution du sous-groupe et S^ une substitution du système (i).
Le nombre des substitutions de ce système (qui peut d'ailleurs être infini) est l'indice du sous-groupe.
Le groupe commun à deux groupes G et G' est le groupe formé de toutes les substitutions communes à G et à G'.
Deux groupes sont commensurables cjuand leur groupe commun est pour chacun d'eux un sous-groupe d'indice fini.
On définirait de même le groupe commun à trois groupes ou la commensurabilité de trois groupes.
Voici maintenant quelques propositions qu'on peut déduire immédiatement de ces définitions.
'|IO II. POINCARE.
1° Soient G et G' deux groupes quelconques, C leur groupe comnuin, soit ^ un sous-groupe d'indice fini de G; soit c le groupe comaiun à «• et à G'; c sera un sous-groupe de C; je dis que ce sera un sous-groupe d'indice fini.
Soit // l'indice du sous-groupe g.
Soient
n substitutions convenablement cboisics dans le groupe G. Toute substitution de G pourra se mettre sous la forme
T,Sa (A- = i, 2, ...,«),
T, étant une substitution de g.
Nous pourrons toujours supposer que S, se réduit à la substitution
Identiciue
Formons le tableau des substitutions de C, c'est-à-dire des substitutions communes à G et à G'. Nous pourrons les classer en n classes. (]bacune d'elles peut, en effet, se mettre sous la forme T,Sa et K peut prendre n valeurs différentes. Il peut ai'river toutefois qu'une ou plusieurs des classes ainsi définies ne contienne aucune substitution.
Soient
T,, T„ ..., T„ ..., à l'infini,
les substitutions de la première classe cjui correspond au cas de k — i
et de
Ce seront par définition les substitutions du sous-groupe c.
Nous pourrons supposer
Soient maintenant
les substitutions de la seconde classe.
LES FONCTIONS FICHSIENNES ET I.\niTIIMÉTIQlE. ', , I
Je disque toutes ces substitutions pourroni se mettre sous la lonuo
T, otani un.- subslilution d.. la première classe, c-esl-u-diro du j^roupc r.
•le dis que l'on aura par exnmpli-
T, appartenant à c; cela revient à dire que
appariient à c. En effet, T; et T\ appartenant par hvpothèse à s. il n, est de même de T; T^' ; de plus. T, S, oi T; S, appàrlo„a„. à C. il .■„ sera encore de même de
Cette dernière substilulion faisant partie à la lois de - ,-t de (i l'.-ra partie du groupe commun c.
Ainsi le Tableau des substitutions du groupe ( : réparties e„ n classes pourra s écrire
T-S„. T,TVS , T,TrS„,
quelipies-unes des classes pouvant manquer.
Par conséquent Imdice de c par rapport à C est au plus éi^al à indice de o- par rapport à G.
2° Si g et g' sont deux sous-groupes d'indice fini de G et de G' l.-ur groupe commun sera un sous-groupe d'indice fini par rapport au groupe commun de G et de G'.
Cette proposition se déduit immédiatement de la précédente.
Journ. de Math. ( ',' série i, tome III. - Fasc. IV. iSS;. 5 {
4l2 II. POINCARÉ.
3° Si g et g' sont deux sous-groupes d'indice fini par rapport à un même groupe G, leur groupe commun sera encore un sous-groupe d'indice fini de G.
fl" Si deux groupes G et G' sont commcnsurables à un même troisième G", ils seront commcnsurables entre eux, et les trois groupes seront encore commensurables entre eux.
Soient en effet C,, C, et C, les groupes communs, respectivement à (î' et à (!", à G" et à ( i, et enfin à G et à G'.
Soit enfin c le groupe commun aux trois groupes G, G' et G"; c sera ('•videmmenl aussi le groupe commun à deux rpielconques des trois groujjes ( ",|, il., et C^.
Par hypothèse, les indices de C, par rapport à G' et à Ci", et de ('..^ |)ar l'apport à G et à (î", sont finis.
Je dis que c est un sous-groupe d'indice fini de G"; c'est en eiFet le groupe commun à C, et à G^, sous-groupes d'indice fini de G".
.le dis également cjue c est un sous-groupe d'indice fini de G'; on ellel , r est le groupe commun à G' et à C^ ; ( ^^ est un sous-groupe d'indice fini de G". Donc l'indice c par rapport au groupe commun à G' et à G", c'est-à-dire par rapport à G,, est lini. Or l'indice de G, par rapport à (t' est lui-même fini. Donc l'indice de c par rapport à G' est encore fini.
Hien ne distingue d'ailleurs G de G'. Donc l'indice de c par rapport aux trois groupes G, G' et G" est fini; donc les trois groupes sont commcnsurables entre eux. c. q. f. d.
G.i contenant c aura évidemment un indice fini par rapport à (i et à G'; d'où il suit que ces deux derniers groupes sont aussi commensurables entiN^ eux.
