II. — Rédictio:* des formes

Dans mon Mémoire sur les groupes kleinéens ( - ic(a matliematica, I. \\\,Jig. i, § 2), j'ai exposé la distinction entre les groupes propreiiirnl discontinus et les groupes improprement discontinus. On a vu (piuii groupe peut être proprement discontinu dans une région donnée de l"<!space et improprement dans une autre région.

Ici nous envisageons des formes quadratiques ternaires (pii ont six

LES FONCTIONS KICHSIENNES ET l'aIMTIIMÉTIQIE. 4 I 'i

rooflicienls: elles pcuvi'iil donc êlrc regardées eomiiic drs ciiscinhh's :'i si\ dimensions (ou à (■in(| seulcnienl si l'on su|i|)()si' le disciiininanl donné). Les groupes (pie nous envisageons piMncnl donc rlri' iironrenienl discontinus quand les six coeflicienls soûl >ouinis à ciTlaines in('-galil(''s, et ne plus l'être (pi'inipropreuient ipiand ces inégalil(-s eessenl d'èlre remplies. Par exemple, ils pourront l'être pro|)rement en ce (pii concerne les formes définies el impropicnienl en ce (pii coucciiir les formes iiuh'-fiuies.

(Considérons donc un groupe (i formé de >ul)>lilulious linéaiies et proprement discontinu par rapport à toutes les formes (piadraliques ternaires définies. Soient F el F' d(>u\ formes (piadiaTKpirs lenuiires définies; je dirai que ces deux formes sont écpiivalenles par rapport au groupe G quand on pourra passer de Tune à l'autre par une substitution de ce groupe. Parmi les formes équivalentes à 1"', il ^ en aura nue que l'on regardera comme plus simple (pie limles les auti'es et que l'on appellera la réduite de F.

(^ette définition conqiorte évidemment un très grand arbitraire; on peut d'une infinité de manières trouver des inégalités telles que, parmi les formes équivalentes à F, il y en ail une et une seule qui v satisfasse (et cela quelle que soil F). ( ".i- soûl alors ces inégalités (|ui sont les conditions de réduction.

i']n d'autres termes, et pour enq)io\er un langage gi''oniétriipi sidérons les six coefficients de notre forme quadratique comm coordonnées d\m point dans l'espace à six dimensions. Cet espace sera divisé en deux régions, R correspondant aux foriries définies et R' corlespondant aux formes indéfinies. Notre groupe G sera proprement discontinu dans R, improprement dans R . On pourra doue partager I! en une infinité de régions partielles r,, i\, . . ., ad ////'.; de telle façon que les substitutions de G changent ces régions j)artielles les unes dans les autres. Cette subdivistion sera tout à fait analogue à (•<• (pi'est dans la théorie des groupes fuchsiens la subdivision du plan, ou d'uni; partie du plan, en une infinité de polygones curvilignes. Alors les formes réduites, par rapport au groupe G, seront celles qui correspondent à des points intérieurs à la j)remière région partielli' /•,.

Cette définition de-la réduction par rapport à un groupe G est une généralisation immédiate de celle de la réduction arithmétique. Dans

coue les

I 1 '( II. rOINCARÉ.

le cas delà rcdiiclion iirilliiu(''li([uo, en efTel, G n'est autre eliose cjue le groupe aritliDiélique, qui est formé des substitutions linéaires à coefficients entiers et de déterminant i. On peut prendre alors pour conditions de réduction, soit celles qui ont été adoptées par M. Selling-, soil celles de ÎNIM. Korkine et Zolotareff. Mais ou pourrait en imaginer une infinité (Tautres.

Un autre cas particulier intéressant est celui on Ci est un sous-groupe d'indice fini du groupe arillunéliipie. Alors une substitution (pu-lconque du groupe arithmétique pourra se meiire d'une manière et d'une seule sous la foi'me

T, étant une substitution de G et

étant des substitutions du groupe arithmétique dont le nombre n est précisément l'indice du sous-grouj^e.

Si alors F est une forme définie quelconque, sa réduite arithmétique

s'écrira