A^FG N, P M Q H -X
,Sf
= ["'iî-^ ■ ^. = <'.^*
K est essentiellement 2)ositif et plus grand que 1. De plus on peut toujours supposer que c est positif sans quoi on changerait tous les signes des quatre quantités a, h, c, cl. Les points M et N sont les points doubles de S et par conséquent les racines de l'équation:
Les points M^ et N^ sont les points doubles de la substitution
az + h
I az + b \ r K{cz-\-d)}
OU les racines de l'équation:
Théorie des groupes fuchsicns. o-i
Le point N.^ et un autre point il/., sont les [wints doubles de la
substitution
/ az + IjK\
y' cz + dKJ et les racines de l'équation:
(3) ca= + {(IK —a)z~bK=0.
L'inspection de la figure montre que les (piantités M, N, M.2, N.^, M.^, N.^ sont toutes réelles et de même signe; positives par exemple; d'où les relations:
a)- + ibc > 0
{dK-
-«)- + iKbc > 0
a>dK
bK<()
[dK-
a)' + iKb<: > 0
a > dK
qui se réduisent à:
a > dK
{a + dy- > 4
ivs^ "")'>*
en tenant compte de
ad — 6e = 1 . .
Exprimons maintenant que 31., et K, sont plus petits et que M^ et N^ sont plus grands que 31 et N. On trouve ainsi les conditions:
6 < 0 a^ + bc> l > d' + bc
h <0 '^+ bc <l<d' K+bc a — dK > a — d > ^ — d.
Toutes ces conditions se réduisent aux suivantes:
-^ + dVK<-2
Vk
Cette méthode s'applique à tous les groupes fuchsicns de la S"' famille. On peut toujours par ce procédé ramener le polygone E^ h un polygone du 2" ordre de la 2'"'^ famille. Les sommets de ce nouveau polygone seront connus car ce seront les points doubles des substitutions fondamentales ou de quelques-unes de leurs combinaisons. Pour trouver les inégalités cherchées, il suffit d'exprimer que ces sommets sont disposés d'une certaine manière.
54 H. PoÏDcaré.
Nous prendrons pour deuxième exemple les groupes de la l''^ famille et du genre 0 et, pour particulariser encore, nous choisirons l'hexagone ABCDEF de l'exemple II du § 7.
Nous avons ici trois substitutions fondamentales^
S^ qui change AB en AF Sj qui change BC en FE S^ qui change CD en ED.
Nous envisagerons en outre:
S^ combinaison de -S", et de S^ pris en sens contraire S. combinaison de S.^ et de So pris en sens contraire.
On peut considérer le groupe comme dérivé de S^, S^ et S^.
Soient a, b, c, d les affixes des points A, B, C, D; a', b', c', d' leurs quantités imaginaires conjuguées; a, y9, y, o les angles A, B -{- F, C -\- E, D qui sont des parties aliquotes de 2-. Les substitutions S^, S^, S^ et
S^ s'écriront:
(z — a . z — a\ (z — b ..z — h\ ;, C- ; p, e" yA Z — a z — a) \z — 6 z — b)
\z — c" z — d) \z — ci" z — â! )
Exprimons que la combinaison des quatre substitutions S.^, S^, S^, S^ faites successivement équivaut à la substitution identique {z, z); nous arriverons à trois relations entre a, h, c, d, a, p, y, à.
Supposons ces relations satisfaites. Sufliront-elles pour que le groupe dérivé des substitutions S^, S^, S^ soit discontinu? « Non, il faudra encore que les points A, B, C, D puissent former quatre sommetsid'un hexagone ABCDEF où les angles:
Considérons les angles curvilignes du quadrilatère ABCD obtenu enjoignant les quatre points A, B, C, D par des arcs de cercle ayant leurs centres sur X II faut que les quatre angles A, B, C, D de ce (}uadrilatère soient respectivement plus petits que a, ^9, y, o; d'où les inégalités:
Thdorie des groupes fuchsiens. 55
d — a h' — a ^ d — ah — a
0 < arg. -; T, Y < /9
(2) ^ h — cd' — c'
0 < arg. ^^-, ^— < r
Comment reconnaitrons-nous maintenant si trois substitutions données S^, S , S peuvent être considérées comme les substitutions fondamentales d'un groupe fuchsien analogue à celui qui nous occupe. On formera la substitution S.^, combinaison de la substitution inverse de Si, de l'inverse de 5"^, et de l'inverse de S^ faites successivement. On calculera les points doubles a, a'; h, h'; c, c'; d, d' de ces quatre substitutions et leurs multiplicateurs e'", e'^, e''', é" . Deux conditions devront être remplies: 1" ot, /?, ;-, d devront être parties aliquotes de 2r; 2° les quantités «, «', l>, l'', c, r', d, d', ot, 1% y, a devront satisfaire aux inégalités (2).
Nous prendrons pour troisième exemple les groupes de la 2' famille, du 1" ordre et du genre 0; et parmi ces groupes, nous choisirons encore celui qui est engendré par l'hexagone i?» = ABCDEF considéré dans l'exemple II du § 7. Seulement ici cet hexagone devant être de la 2' famille, tous ses sommets seront sur X. Nous envisagerons, comme dans l'exemple précédent, les substitutions:
6', qui change AB en AF
-S", qui change BC en FE
S^ qui change DC en J)E
S^ combinaison de S.^ et de l'inverse de S^
S, combinaison de S., et de l'inverse de S^.
Soient a, h, c, d, e, f les afiixes des sommets de 2?„ ; ces quantités seront essentiellement réelles. Les substitutions S^, S^, S. et S^ devront être paraboliques puisque le groupe est supposé du 1" ordre, et elles s'écriront:
H. Poincaré.
b-aj
où // et /.• sont deux quantités
définies par les
équations
Quelles sont maintenant les conditions pour que les trois substitutions S^^ S^, S^ donnent naissance à un groupe fuchsien? Il faut que les six quantités a, b, c, d,, e, f se succèdent précisément dans cet ordre circulaire, ou bien dans l'ordre inverse de sorte qu'on doit avoir:
ou bien
Exprimons maintenant que la combinaison des substitutions S.^, S^, S^, S^ équivaut h la substitution identique, il viendra:
