FT = FT

I>u ce cas, T 'T' est l'une des substitutions de G qui n'allèrent pas F. Il peut donc arriver que le nombre des réduites soit fini, bien que

^l(i, H. POINCARE.

celui des substitulions réductrices soit infini. C'est ce qui se passe, par exemple, si F a ses coefficients entiers et si G est le groupe arithmétique.

Il en est encore de même si, les coefficients de F étant entiers, (î est un sous-groupe d'indice fini du groupe arithmétique.

.rappellerai f^roitpc reproductif àc F le groupe des substitutions linéaires de déterminant -h i qui n'altèrent pas cette forme. O sera le transformé par la substitution - du groupe reproductif de <I>, car toute substitution qui n'altère pas F peut se mettre sous la forme

S n altérant pas *1*.

.l'appellerai sous-groupe inaltéranl de G par rapport à F \c groupe commun à G et au groupe reproductif de F. Le transformé de ce sousgroupe par la substitution t"' sera le groupe inaltéraut transformé relatif à G et à F. C^e sera un sous-groupe du groupe reprodurlil de <1>.

Nous avons \u au numéro précédent qu'à toute substitution du groupe reproductif de # correspond une substitution fuchsienne .v. Donc au groupe inaltérant transformé relatif à G et à F correspondra un certain groupe fuchsien que j'appellerai groupe fuchsien relatif à G et à F.

Nous adopterons des dénominations spéciales, pour abréger le langage, dans le cas où G sera le groupe arithmétique. Le sous-groupe inaltérant s'appellera le groupe principal de F; le groupe inaltéranl transformé s'appellera le i^/-o;//3e transformé principal de F; enfin le groupe fuchsien relatif à F et au groupe arithmétique s'appellera le groupe fuchsien principal de F.

11 résulte de là que, pour étudier le groupe principal de F, formé des substitutions seniblables de F, il suffit d'étudier le groupe fuchsien principal de F.

Nous adopterons le mode suivant de représentation géométrique.

Nous considérerons un plan repn'senlanl la variable imaginaire r; nous ferons correspondre à la substitution S la substitution

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET i/aHI Fil M KTlol F \l-

«imj nous représenterons elle-même par le poinl du plan des z qi\\ a pomaffixe