REMARQUE
Dans les deux exemples qui précèdent, il est peut-être avantageux d'envisager, non l'hexagone ABCDEF de l'exemple II du § 7, qui serait noté (16, 25, 34), mais l'hexagone noté (12, 34, 56) qui lui est équivalent d'après ce qu'on a vu au § 9.
■ Soit ABCDEF cet hexagone, les côtés AB et BC, CD et DE, EF et FA seront conjugués. Envisageons les substitutions:
Théorie des groupes fachsienS. •>(
(S, qui change BA en BC
62 qui change DC en DE
5*3 qui change FE en FA
S^ combinaison de /S',, S^ et S^.
Ces quatre substitutions seront elliptiques et leurs multiplicateurs seront e''% e'-', e'S e'"; <x, ^3, y, o étant des parties aliquotes de 2-
B sera l'un des points doubles de 5,, D l'un des points doubles de S^, F l'un des points doubles de S^, A l'un des points doubles de S^; quant aux autres points doubles de ces substitutions, ce seront respectivement les quantités imaginaires conjuguées de B, D, F, A; C sera le transformé de A par 5,, E celui de C par S.,. Pour que le groupe dérivé de S^, S.„ S.j soit discontinu, il suffit que l'hexagone curviligne normal ABCDEF soit convexe; d'où les conditions:
d — hf' — h' ^
arw. -r. r; S r < «
Pour reconnaître si le groupe dérivé de S^, S„, S.^ est discontinu, on calculera les points doubles a, a', b, h', c, c', d, d', et les multiplicateurs e'", e''*, e''', e"' de ^i, So, S^ et de leur combinaison S^ et on recherchera si ces quantités satisfont aux inégalités (5) et si a, ;?, /', o sont des parties aliquotes de 2r.
Supposons maintenant que l'hexagone ahcdef ne soit plus de la 1"", mais de la 2' famille et du 1" ordre de cette famille, de telle façon que les quantités ahcdef soient réelles. Ces quantités devront satisfaire aux inégalités (3), pour que l'hexagone abcdef soit convexe. Les substitutions «S,, S.-,, aSj s'écriront:
(^ î .LJ L V ■
~\z—f'^—fa-f e—f) Si nous exprimons que la combinaison S^ de S„ S^, S^ est une substitution parabolique, nous trouverons que les quantités abcdef satisfont
Acta mathematica. I.
58 tl. foincaré.
à l'égalité (-t). Cette égalité jointe aux inégalités (3) est la condition pour que le groupe dérivé de S^, S.^, S.^ soit discontinu.
Comme 4' exemple nous prendrons un quadrilatère ahcd, dont les côtés opposés ah, cd et hc, da sont conjugués; les quatre sommets forment un seul cycle et la somme des angles E est une partie aliquote de 2-. Ce quadrilatère engendi-e un groupe de la 1^" famille et du genre 1. Joignons deux sommets opposés hd par un arc de cercle ayant son centre sur X Nous obtiendrons ainsi un triangle abd sur les côtés duquel nous marquerons trois points a, /î, y, le premier sur hd, le second sur da, le troisième sur ah et de telle façon que:
(6, a) = («, d) {cl, l3) = (A a) {a, y) = (,-, h).
Il existera alors une substitution iS, qui change ah en ad, une autre S,, qui change [^d en /9a et une autre S., qui change ya en yh; toutes trois auront pour multiplicateur — 1. Le groupe dérivé de 8^, S.^, S^ sera discontinu et aura pour polygone générateur l'hexagone hadjSay dont les côtés ha, ad: dj^, ^a] ay, yh sont conjugués et situés dans le prolongement l'un de l'autre. C'est donc un cas particulier des groupes engendrés par un hexagone ahcdef et étudiés dans la remarque relative à l'exemple précédent.
Les substitutions fondamentales du groupe engendré par le quadrilatère ahcd, sont S^ qui change ah en de et 8^ qui change hc en ad, et il est aisé de voir que 8^ est la combinaison de 8^ et de 8^; 8^ est la combinaison de 8^ et de 8^; d'où la règle suivante pour former tous les groupes fuchsiens dérivés d'un quadi'ilatère tel que ahcd:
On prendra trois substitutions 8^, 8^, 8.^ de multiplicateur — 1 et satisfaisant aux conditions énoncées dans la remarque i-elative à l'exemple précédent; on combinera 8.^ et 8.^, ainsi que 8., et 8-^ et on aura les substitutions fondamentales du groupe cherché.
§ 12. Généralisation.
Jusqu'ici nous avons supposé que toutes les substitutions étaient réelles; mais une première généralisation peut être faite immédiatement.
Théorie des groupes fuchsicns. 59
Soit
/ az + h\
une substitutiou réelle quelconque; et faisons-lui correspondre la substitution:
az + b y a — ï + p
us ■{- ji cz + d
' ez + a
où a, ,?, ;-, o sont des constantes imaginaires quelconques. Supposons que nous donnions à a, yî, ;-, o des valeurs fixes et que l'on fasse parcourir aux quatre quantités a, h, c, d toutes les valeurs réelles telles que «(7—^=1. Il est clair que les substitutions (2) formeront un groupe; et ce groupe jouira des propriétés suivantes:
r Ses substitutions n'altéreront pas le cercle dont l'équation est:
az + /? ri
