I.KS KONCTIONS HCIISIENNKS KT i/\lUTIl MKTInl K . '\^i

La subslillUion S sera hyporboliquc si 1 osl iiulofinic. 11 ariivo alors que chaque classe de substitutions contiendra j)lusieurs réduites, comme cela arrive pour les formes indéfinies.

Nous prendrons alors pour unique condition de réduclinn (pic A cl r soient de même sis;ne.

l'jufin la substitution S sera parabolitpie si ■]/ se réduit à un cane parfait. Nous dirons alors que •]/ est réduite si elle s'écrit ■.{/ = r;-. de telle sorte que les conditions de réduction de S s'exprinicnl ((niiiiic il suit :

h = o, d"où a = r/ ^ ± r .

l'.numérons maintenant les substitutions elliptiques réduites, l'our a + d = o, le discriminant de 2]/ est égal à — 4, et celui de j/ à — I . Si ']* est une réduite, on a donc

La subslilulinn réduite S s'écrit alors

l'our a -\- d ^ i , le discriminant de 2']/ est ég:al à — 3. et cette forme 2'i est improprement jarimitive. On a alors, si 2'J/ est réduite,

de sorte que l'on trouve pour S

Pour a -h d = — i, on trouve encore

'I = H- -f- ^Tj -+- q-, Jount. de Math. (4' série), tome lU. — Fasc. IV, 1387.

."iH

rc qui donne

H. POINC.VRE.

Nous classerons encore parmi les suhslitulions ellipli([ues la sul)stitution suivante

pour laquelle la forme '>p, étant identi(piement nulle, ne peut être l'cc^ardée ni comme définie, ni comme indéfinie.

Il y aura donc en tout quatre classes de substitutions elliptiques.

Nous remarquerons (jue la substitution S., n'est autre cbose (pie l( carré de la substitution S^.

Quant au\ substitutions paraboHipies réduites, elles s'écriront, soit

soi!

où c est un entier (pieleonque.

Ne supposons j)lus maintenant (pie /', cl r, soiil nuls ei éiTixons notre subslilnlion S sous la forme suivante

I II o