I.KS FONCTIONS 1 TCIlSIIi .N.NES ET l.AlilTIIMKTroUE
avec la condilioii
ad — hc = \.
On pcul supposer que la n'duclion a (-té t;iitp rommr si h, ,.| «•tai.Mil nuls et par conséquent que Ton a
O) |r/-r/(<;Ai<|,.|
ou
si la substitution est elliptique;
si elle csl liy[)erholique, et
si elle est parabolique.
Il s'agit maintenant de réduire autant que possible les coellici.'uts l> clc,. '
Ponr cela, écrivons les équations qui définissent la substitution S de la laçon suivante :
y = b^x + ay + bz.
z'= c^x -\- cy + dz.
Posons ensuite
(.1 (lU
Les deux dernières équations s'écriront alors
y\ = x[b,+{a~i)y. + hr^ ] + „,.^^^.^^
/|((3 H. l'OINCVKÉ.
En d'autres Lcrmes, les coefficienls de la suhstitiilion S ironi jias changé parcelle Iransfonnalion, sauf que h^ et r^ sont devenus
h, +{a — i)a H- b'^, i\ -4- cy. +((■/— \)[i.
Le prohlèiiic cdusisle à d(''lerniiner les entiers a et |ii pom- diminuer autani (pie jiossilile b, et r,. Je dirai que deux systèmes de nomlires (b,, c, ) et (//,, r\) ajipartienncut à une même classe si Ton peut trouver deux entiers a (^l [i, tels que
I^e nombre des classes entre lesquelles se répartissent les systèmes ( b^, c, ) est alors égal à
Parmi les systèmes (/>,, c,) appartenant à une même classe, il y en aura un que Fou regardera comme plus simple que les autres et que Ton appellera système réduit; le nombre des systèmes réduits est fini.
Alors, pour qu'une substitution
soit réduite, il faudra non seulement (pie les quatre eutiers a^ A, r. il satisfassent aux conditions (i^, {':>■), (>) ou ( 'i ) én(uicées plus haut, mais encore que le système (^,, c, ) soit iN-diiil.
Nous avons vu plus haut c|ue, si />, et r, sont nuls, les substitutions S crinvariant donné se répartissent en un nombre Uni de classes. n"a|irès ce qui précède, cela est encore \rai si A, et r, ne sont jias unis.
LES l-ONCTIONS FUCIISIENNES ET I. AIIITII M KTr(JL E. \l^n
Hcvcnons au cas des subslilutions ellipliqiios cl clicrchous à délciluiiier les systèmes rétliiils (/>,, r,). Il y a (|iiali-e cas à coiisi(l('rcr, puisque les substitutions elliplicjues, quand h, = r, = o, se réparlissmi en quatre classes.
l'rciiniT cas :
■-2 — f/ — r/ = 2; il y a deux syslèmes réduits
Deuxième cas :
■1 — a — ^Z = 1 : il n'y a (prun système réduit
Tioisiènic cas :
2 — r/ — r/ r= 3; il y a trois systèmes réduits b, = o, c, = o, />, = !, c, = o, b, = 2, c, = o.
Oiialrit'nni' cas :
■-Î — " — <■/ = 4 ; i' > '' quatre systèmes réduits
b, ^ o ou I , r, =z II ou I .
Mais, si nous observons qu'en appliquant à j' et ;: une Iransforniatiori linéaire, on fait subir celte même transformation à b, et c, sans changer d'ailleurs les autres coefficients de S; nous verrons que ces quatre systèmes peuvent être réduits à deux.
