II. POI>CA.UE

a donc huit sii])slitutions L"lll[)li([iics réduites que je vais cnu-

On peut faire une classification analogue pour les substitutions paraboliques, mais le nombre des classes est infini; on doit envisager d'abord le cas où les trois multiplicateurs sont égaux à i; on trouve alors que la substitution doit être de la forme

Les transformations qu'on peut faire ne peuvent changer la valeur de a et de c. La seule réduction possible, c'est d'amener b à être plus petit que le plus grand commun diviseur de a et de c (et par consé- (pienl à être nul, si a et c sont premiers entre eux) ; on peut également supposer que c n'est pas nul.

On considérera ensuite le cas où deux des multiplicateurs sont égaux à — I ; on a alors

LES FONCTIONS FICIISIENNES KT i/aIUTI1M KTinlK. ('|()

On a donc quatre systèmes réduits (7»,, c,)ct (lualr.' suhsliliili.ms

l'i'llUIICS

^'11- — Substitutions elliptiques.

Nous allons chercher dans ce paragraphe quelle est la condition pour qu'une forme quadratique admette une suhstitution semhlahlielliptique, et d'ahord ipielles sont les formes qui ne sont pas altérées par les huit substitutions réduites S,, S',, S,, S,, S;, S;, S, et S', définies dans le paragraphe précéd(Mit.

< )ii a loutre ces diverses suhslilutions les relations sui\antes '

S:;=S,. St=i, S;'=i.

Cela posé, nous résoudrons successivement les problèmes sni\ai!l- : 1° Formes inallcrées par S,. — Ce sont les formes

2" Formes iriaUéi-cespar >.. — Ce sont les formes

\.i' 4- \'}- + 2 Bjj -f- \ z- - ( A'+ \l)xy - (A- -+- \\)xz,

où Ion doit avoir

A'=A"=1] (mod2).

3" Formes inallcrées par S, el par conséquenl par S,. — Ce soni les formes

45o II. rOI.NCARÉ.

4" Forme; inaltérées par S', et par conséquent par S',. — Ce sonl

les formes

A.T + A' (/- -¥- z- — xy — xz ),

où A' doiL être pair.

5" Formes inaltérées par S^ et par conséquent par S;, et par S^. — Ce sont les formes

Ax--h A'(y--h yz -■)- ::-),

où A' doit être pair.

Il n'y a d'ailleurs pas d'autre forme inaltérée par S.,. G" Formes inaltérées par S3. — Ce sont les formes

Aa?^ + A'(,>'^ -!- yz -+- z- — xy — xz), où A' est pair.

7" Formes inaltérées pai' S\. — Ce sont les formes

Ax'^ -4- A' (y- -h yz -4- :;- — 2 xy — 2

où A' est pair.

Nous allons chercher maintenant si une forme quadratique donnée admet une substitution elliptique; pour cela, il faut évidemment et il suflil (ju'elie soit équivalente à Tune des sept formes que je viens d'énumérer.

Je dis d'abord (ju'on pourra reconnaître s'il en est ainsi par un nombre limité d'essais.

Vax effet, prenons d'abord la première forme

Ax- -h A' y- -+- 2Byz 4- A"::'-.

Elle a pour déterminant

A(A'A"-ir\).

On décomposera donc le discriminant A de la forme donnée en deux facteurs