A = ( 2A + B'+ B")(2B'B"+ BB'+ BB
B = o (mod2), I 2B Kl 2B"+B Kl liB'+B ].
(Jn naura donc qu'un noinljre limité d'essais à faire pour reconnaître si l'une de ces formes est équivalente à la forme donnée.
Supposons maintenant que B soit impair. On ne peut pas appliquer à notre forme binaire
( 3 ) ( 2 B ■ -r- B )y-' - 2 Uyz + ( 2 B' + B ) r'^
LKS FONCTIONS FICHSIENNKS ET L AIMTIIMETIOI E
iiiio siibslitulion linéaire quclconqiio sans que les trois coefficienls de \-, (le •2yz et de r- cessent d"ètie tons trois inijiairs. Pour (iiTime --nli-'liluliiiii
ne fasse pas cesser cette particnlaritr, il fani ([iic l'on ait
ou
(nioda ).
Les subïLiLutions (jui satislont à 1 une tle ces deux conditions lornicut un groupe G qui est un sous-groupe à congruenccs du groupe aritlunélnjur.
-Nous n'avons donc plus ici le droit de supposer que la forme (3) est réduite au sens ordinaire du mol, c'est-à-dire par rapport au groiqn' arithmétique, mais seulement qu'elle est réduite par rapport au groupe G.
Il est aisé de voir que les conditions de n''(luction sécrivent alors
i 15 < uI3"+ n \< 2B + B '.
On ne pourra évidemment trouver qu'un nombre limité de formes (2) ou (i) satisfaisant simultanément aux conditions
A = (2A + B' + B")( 2B'B"+ BB'-4- BB"). B = i (moda), I B l< -B'^B |< 2B -^ B |.
Un n'aura donc encore qu'un nombre limité d'essais à faire pour ii'connaître si lune de ces formes est équivalente à la forme donnée. Ce que je viens de dire s'applique sans changement à la ff)rme
Ax- -+- A' (y- -h :■"■ — .cy — xz)
reproductible par S, .
Il nous reste à examiner comment on pourra reconnaître si une forme donnée est susceptible d'être reproduite par une substitution bomo-
Inguo à S!, ou à S'!,, c'est-à-dire si elle est équivalente à Tune des formes (\) \j- + 2B(y'^yz + :;-^ - ?.r>- - ^./-r ),
où [i = I ou 2.
.l'appellerai d'abord l'attention sur rdlet (jue produit sur cette forme la substitution suivante de déterminant 3
.r = 3x,, jK = )-, 4-!3./-,, r = r, + !3x,.
La forme devient
Le déterminant de la forme (4) est, d'ailleurs, égal à
3AB^-2B'p-, c'est-à-dire à
3AB--2B' ou 3AB=-8B^
selon que ^ est égal à i ou à 2.
Il est clair qu'on ne peut trouver que d'un nombre fini de manières deux nombres entiers A et B satisfaisant à l'une des deux conditions
3AB=-2B^ = A ou 3AB--8B' = A.
On n'aura donc cpi'un nombre limité d'essais à faire pour reconnaître si une forme donnée de déterminant A est équivalente à l'une des
formes (4)-
Ainsi, dans tous les cas possibles, le nombre des essais à faire est limité, et il peut être diminué encore ]iar la considération des ordres et des genres.
Il est clair, d'après ce qui précède et sans qu'il soit nécessaire d'insister, que toutes les formes n'admettront pas de substitution semblable
rlliplicpii'.
Mais, eu revanche, on voit tout de suite ([u'une forme cpiadratique
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET I. AlUïllM KTIQV E . /jo.)
•[uelconque F est toujours commensural)K' avec une forme qui adin<'l une sul)sliuuioH semblable elllpticiui'. Kl, en i-U'el, quelle que soil la forme F, on peut toujours li-ouvcr une subsliliilion à roefficienis conimensurables T', telle qii(>
FT'= A./-+ B>--i-C:;-.
(Ictle forme FT', connneusiiiable avec !• , ailmel la substitution <•!li])tiquc S».
Cherchons maintenant quelles sont les formes qui admeltenl uni' di's substitutions paral)nli([ues S'., Sj, S„ S^ et SJ.
lui premier lieu, les seules formes qui sont reproduites [)ar uiir des quatre substitutions S^, S'^, S'g et S^' ont leur discriminant nul. Noudevons donc les laisser de côté et ne nous occuper (jue des formes reproduites par
Ces formes s'écriront
( 5 ) Ax- + A' V- + 2 B'xz + 2 B"xy
avec les conditions
\a- -f- -2 \y b -+- iW'a = A' a -+- B'c = o.
Pour qu'une forme quadratique admette une svibslilution paiabolique. il faut et il suffit qu'elle soit équivalente à la forme (5) ou, en d'autres termes, qu'elle soit susceptible de représenter o, conformémeni aux conditions du § CCXCIX des Disquisitiones arithmelicœ.
Cela est conforme à un résultat déjà obtenu par M. Selling.
Mil. - U
VESl ME.
Nous pouvons maintenant résumer amsi les résultats encore très incomplets que nous avons obtenus.
Au groupe des suljslilulions à coefficients entiers qui n'allèrent pas une forme quadraticjue donnée F correspond toujours un groupe fuchsien qui le détermine entièrement.
Les formes F peuvent d'abord se répartir en quatre catégories :
1° Celles qui n'admettent ni substitutions elliptiques, ni substitutions paraboliques ;
2" Celles qui admettent des substitutions ellipticjues, mais pas do substitutions paraboliques ;
3" Celles qui admettent des substitutions paraboliques, mais pas de substitutions ellipti(}ues ;
4" Celles qui admettent à la fois des substitutions elliptiques et paraboliques.
Nous avons vu, dans le paragraphe précédent, comment un nombre limité d'essais permet de reconnailre à laquelle de ces quatre catégories appartieul une forme donnée.
Si la forme F est de la première ou de la deuxième catégorie, sou groupe fuchsien principal sera de la première famille ; si F est de la troisième catégorie, son groupe fuchsien est de la deuxième famille; si F (;st de la quatrième catégorie, son groupe fuchsien est de la sixième famille.
Si la forme F est de la première catégorie, le polygone générateur de son groupe fuclisicn a .\p côtés, les côtés opposés étant conjugués. Les \p sommets forment un seul cycle, et la somme des angles est égale à 211.
Si F est de la deuxième catégorie, les sommets du polygone générateur peuvent former plusieurs cycles. (Il convient d'ajouter cjue le plus souvent ils n'en forment qu'un seul et qu'il n'y aura plusieurs cvcles c|ue dans des cas exceptionnels.) Pour reconnaître combien ces sommets forment de cvcles, on construira les foiiues
A.r- -f- A'j- + A" 3- + iXlyz
( la l'oriuc binaire A'>--H A"3--|- aBy; étant réduite ) ou bien encore les formes {i) ^X (4) du paragraphe précédent. Si la forme F est équivalente à n des formes ainsi construites, les sommets du polygone générateur formeront n cycles.
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'aRITIIMKTIQUE. \jn
La somme des angles de l'uii quelconque de ces cycles sera égale à ~' â' 3 "^" T' ^^^ équivalente a une fninu- iv|ii()(lu(lil)i.' par S, ou
s;, la somme des angles du cycle correspondant sera -; si F est (Miuivalcut.,' à une forme reproductible par S, ou S',, la somme des angles du cycle correspondant sera ~; si F est équivalente à une forme reproductd)lr par S,,, la somme des angles du cycle correspondant sera -,; SI, enfin, F est équivalente à une forme reproductible par S, ou S' , la somme des angles du cycle correspondant sera — •
Si F est de la troisième catégorie, les sommets du polvgone i^énérateur sont tous sur le cercle fondamental, et ils formem ,ni ou piuslruis cycles (en général un seul), dont la somme des angles est nulle.
Si F est de la quatrième catégorie, les sommets du polygone générateur sont les uns sur le cercle fondamental, les autres à l'intérieur, et ils forment plusieurs cycles dont la somme des angles peut é(re o -
Nous avons rencontré aussi d'autres propriétés du groupe fuchsien principal d'une forme F. En premier lieu, les multiplicateurs des diverses substitutions devront satisfaire aux conditions exposées au § V. En second lieu, ce groupe fuchsien dewa être commensurable avec ses transformés par une infinité de substitutions, correspondant aux substitutions fractionnaires étudiées au § IV.
11 me reste à parler des substitutions gauches.
Dans la théorie des groupes fuchsiens, on décompose le cercle fondamental en une infinité de polygones égaux entre eux au point de vue pseudogéométricjue; les angles sont égaux entre eux au sens ordinaire du mot, et les côtés sont égaux à notre point dr vu.- s|)écial. c'est-à-dire qu'ils ont même L.
Considérons une circonférence coupant orthogonalemeiit le cercle fondamental, et supposons qu'on transforme un de nos polvgones R par inversion (par rayons vecteurs réciproques) par rapport à cette circonférence. Xous dirons alors, au point de vue pseudogéométrique, que le polygone R et son transformé R' sont symétriques par rapport à cette circonférence. Ces deux polygones auront mêmes angles et mêmes
'|5H II. rOINCARK.
côlrs (à noire point de vue spécial^, mais les élémciUs liomologiies seront disposés dans Tordre inverse.
Si nous considérons ensuite un polygone R", égal à R' au point de vue pseudogéométrique, les deux ])olygones R et R" auront aussi les l'iéments homologues égaux, mais disposés dans Tordre inverse. Nous (lirons alors qu'ils sont symétriques en grandeur, mais non en position.
Si la forme F admet une substitution gauche, on peut décomposer le cercle fondamental en une infinité de polygones curvilignes ; deux quelconques de ces polvgones sont égaux entre eux ou symétriques (en grandeur) au point de vue pseudogéomélricpie; deux polygones adjacents sont toujours symétriques, et la réunion de ces deux polygones adjacents symétriques constitue le polygone générateur du groupe fuchsien formé en ne considérant que les substitutions droites.
La substitution
peut être à volonté considérée comme droite ou gauche, puisqu'un de ses mulliplicateui's est égal à + i, et deux à — i.
Nous avons vu c{ue, pour savoir si la forme F est reproductible par niK^ substitution homologue à S,, il suffit de chercher si elle est équivalente à une forme, telle que
Mais deux cas sont à distinguer : ou bien la forme binaire
A'j'-+ iWyz + A";-
est détinie, et alors nous regarderons la substitution S., comme droite
et elliptique, ou bien cette forme binaire est indéfinie, et alors nous regarderons S4 comme une subslilulion gauche.
On comprend ainsi ce qu'on doit entendre quand je dis que F est reproductible par une substitution gauche appartenant à la même classe que S,. Si cela arrive, le polygone générateur peut se décom-
LES FONCTIONS IICIISIENNES KT I.ARITHMÉTIQl E. 4/5(j
poser en deux polygones adjacents symétri(jues Tiim de raulrc. hum seuléMienl en grandeur, mais encore en posilidii, le côté coniiunn seivanl d'axe de symétrie.
Les résultais que je viens d"exposei' ileniainlci alenl i'n idciiiiiirni à être complétés. Les propriétés nouvell<'s des groupes (pic n(nis ;iv(>us ('■ludiés ne suffisent pas pour les déterminer complètement; mais, en en taisant un usage judicieux, on peut notablement sim[)lifier it's anciens procéilés de calcul quon em|)i()yait auti-el'ois |)nMr ri)irm'rces gioupes.
