IX. — Généralisation m théouème d'aiuution

Dans ce qui précède, je me suis efforcé de montrer la possiliilité d'employer les fonctions fuclisieunes dans des questions d" A ri llnm'licpic. l.'ap|ilication inverse de TArithmétique à la théorie des fcmctions fuclisiennes est au moins aussi féconde.

L'analogie des fonctions fnchsiennes et des fonctions elliiihipies est l'-videnle; les premières ne changent pas cpiaud l'argument sulùl une substitution linéaire appartenant à un certain groupe, de même ipic les secondes ne changent pas quand l'argument augmente de certaines périodes. Il y a cependant une propriété des fonctions elliptiques qui ne s'étend pas immédiatement aux fonctions fuchsiennes, c'est le théorème d'addition.

Si l'on augmente Targumenl d'une transcendante ellipli(|ue d'une (juanlilé qui ne soit pas une période, il y a uncrehition algébrique entre l'ancienne et la nouvelle valeur de la transcendante. Si donc V(z') est une fonction elliptique, il y aura une ivlatioii algé])ri(jue eiiir<' F(r ) et F(:; + h), h étant une constante.

Voici quelle serait la générahsalion la plus naturelle de celte propriété. Soient F(^) une fonclion fuchsienne, S une substitution linéaire n'apparlenanl pas à son groupe. 11 devrait y avoir une relation algébricjue entre F(::) et F(::, S). (Je désigne par ^S, selon l'habitude, ce que devient z quand on applique à cette variable la substitulion S.) Il est aisé de voir que cette propriété ne peut subsister pour luti/e.s- les sujjstitulions fuchsiennes S, c'est-à-dire pour toutes les substitutions linéaires S qui n'altèrenl pas le cercle fondamental. D'autre jiail. il

Jotini. de Math. {'^' série), lome III. ~ l"asc. IV. i88;. ()0

'jGo H. POINCARK.

arrivera, en général, (jue celle propriété n'apparliendra à aucune suljslilution fuchsienne; ce n'est donc cjue pour certaines fonctions fuclisicnnes exceptionnelles qu'elle appartiendra à quelques substitutions fiiclisiennes.

A ce double point de vue, on peut dire que le théorème d'addilioa «les fonctions elliptiques ne s'étend pas, en général, aux fonctions fuclisiennes.

Je vais faire voir toutefois que, pour certaines fonctions fuclisiennes j)articulières F(:r), il existe une infinité de substitutions S, telles que V(z-) et F(r, S) soient liées par une relation algébrique. 11 est clair ipie, dans ce cas, ces substitutions S formeront un groupe.

Oui' l'aul-il pour qu'il en soit ainsi"? Soit G le groupe de la fonction !■'(:). La fonction F( r. S) sera aussi une fonction fuchsienne, et son groupe sera le transformé de G par la substitution S, c'est-à-dire S"'GS. Si les deux groupes G et S"' GS sont commensurables entre eux, leur groupe commun g sera un sous-groupe d'indice fini pour chacun d'eux. Ce sera donc encore un groupe fuchsien. Mais alors on peu! regarder F( j) et F(;, S ) comme les fonctions fuchsiennes admettant le groupe g. Ces deux transcendantes seront donc liées par une relation algébrique.

D'où la conclusion suivante :

Pour qu'il y ail uitc i-rlalioii algébrique entre une fonction fuchsienne V{z) de groupe (i et sa transformée F(;, S) par la substitution S, il faut et il suffit que les deux groupes G et S"'GS soient coniinensurables.

^^' citerai li'abord un pi'emier exemple siu' Icfpiel je ne m'arrêterai pas. Soient (ï un groupe fuchsien et g un second groupe fuchsien, sous-groupe du premier; soit F( ; ) une fonction fuchsienne de groupe ^i,''. Soit enfin S une substitution appartenant à G, mais non à g. Je dis qu'il y aura une relation algébrique entre F(:;) et F(r, S).

Soit, en efi'et, *!'{:;) une fonction fuchsienne de groupe G; nous pourrons la regarder aussi comme une fonction de groupe g-^ elle sera donc liée algébriquement à F(:;). Mais nous pourrons de même regarder *!'(-) comme une fonction fuchsienne de groupe S~'^S, puisque

LES FONCTIONS iUClISlKNNES KT l"aIUTIIM KTIi^lf K. /jCi

S-'^'S osl aussi un sous-groupc do G. Donc <!'(:; sera aussi liée alj;.''hriqucmonl à F(z, S). Cela prouve que F^;) et F(;, Sj sonl liées algél)nqueniriii l'une à l'autre.

Les sui)stitulions S fonnenl, dans ce cas, un groupe (i qui est diseonlinu. Aussi ce premier exemple n'olTre-t-il jjas grand intérêt. \ou> le laisserons donc de côté pour ne nous occuper (pie des cas où les suhslilulions S, telles que F(;) et F(:r,S), soient liées algébriquement, forment un groupe continu.

C est ce que nous observerons dans un second exemiili'. à savoir quand V(z) se réduit à la fonction modulaire J. Le groupe de celte fonction se conqiose alors de toutes les substitutions