partie imaorinaire de

^ ° yz + o

et que j'appellerai cercle fondamental.

2° Le transformé d'un point z par une des substitutions (2) sera intérieur ou extérieur au cercle fondamental selon que le point z sera luimême intérieur ou extérieur à ce cercle.

Nous supposerons par exemple que si z est au-dessus de X, le point

— ^ sera intérieur au cercle fondamental.

yz + o

Supposons maintenant que l'on égale successivement les coëfticients de (1) à ceux des diverses substitutions d'un groupe fuchsien G. On obtiendra ainsi une infinité de substitutions (2) qui formeront un groupe G', et ce groupe sera évidemment discontinu. À ce groupe G correspondra une décomposition de la partie du plan située au-dessus de X en une infinité de polygones normaux iî„, B,, B, tous congruents entre eus.

Supposons que z parcoure l'un de ces polygones lî^ dont les côtés sont on l'a vu, ou bien des segments de X ou bien des arcs de cercle ayant leurs

centres sur X; le point "'"!"'> parcourra de son côté un certain polygone s, dont les côtés seront, ou bien des arcs du cercle fondamental, ou bien des arcs de circonférence coupant orthogonalement ce cercle.

Ainsi de même qu'au groupe G correspondait une division de la partie du plan située au-dessus de X en une infinité de polygones nor-

60 H. Poiucaré.

maux coïigruents; de niènie au groupe G' correspondra une division de l'intérieur du cercle fondamental en une infinité de polygones normaux congruents, à la condition d'adopter les dénominations suivantes:

Un polygone normal est un polygone curviligne dont les côtés sont des arcs du cercle fondamental ou bien des arcs de circonférence coupant orthogonalement ce cercle.

Deux figures seront congruentes si l'on passe de l'une à l'autre par une substitution telle que (2), c'est-à-dire par une substitution qui conserve le cercle fondamental. Tout ce qu'on a dit de la distribution des côtés en paires et des sommets en cycles, et de la classification des polygones normaux en familles, en ordres et en genres, reste vrai comme dans le cas particulier auquel nous nous étions restreints jusqu'ici.

Quelles seront maintenant les conditions pour qu'un polygone normal donne naissance à un groupe discontinu (?'? Ce seront les mêmes conditions que nous avons trouvées dans le cas particulier des groupes de substitutions réelles, mais l'énoncé de ces conditions doit être convenablement modifié.

1° La somme des angles des divers sommets correspondants à un même cycle doit être une partie aliquote de 2-

2° Si ah et cd sont deux côtés conjugués; on devra avoir comme dans le cas des substitutions réelles:

a — ha — V c — de — d'

b', c', (V ne désigneront plus les c^uantités imaginaires conjuguées

de a, b, c, d, mais les symétriques de a, b, c, d par rapport au cercle

fondamental (voir la définition du § 7). En d'autres termes si a est le

centre du cercle fondamental et p son rayon:

a = « + imaginaire conjuguée de — =

et de même pour b', c', d'.

Nous appellerons groupes fuchsiens les groupes discontinus tels que 6^'; car ils ne diffèrent pas essentiellement des groupes de substitutions réelles et nous réserverons le nom de groupes Kleinéens à ceux des groupes dont les substitutions ne conservent pas un même cercle fondamental. Nous ferons de ces groupes l'objet d'un mémoire spécial.

Les particularités qui peuvent se présenter sont les mêmes que pour les groupes correspondants de substitutions réelles;

Si le polygone générateur i?^ est du 2*' ordre de la 2^, de la -i", de la 6° ou de la 1" familles, l'ensemble des polygones i?, ne recouvrira pas tout l'intérieur du cercle fondamental mais l'intérieur d'un certain domaine limité par une infinité de circonférences coupant ortliogonalement ce cercle.

Si le polygone R^ est de la 3', de la 4^, de la 5° ou de la 7° familles, il a des côtés de la 2° sorte. Nous avons vu au commencement du § 8 que dans ce cas il y a avantage à adjoindre à chaque polygone B, son symétrique -R', par rapport à X; de telle façon que le plan tout entier se trouve divisé en une infinité de régions 7?, + 7?', limitées par une ou plusieurs périphéries séparées. Dans le cas qui nous occupe maintenant, nous adjoindrons à chaque polygone R^ son symétricjue R\ par rapport au cercle fondamental, de telle façon que le plan tout entier va se trouver encore divisé en une infinité de régions i?, + ^'>-

Laissons de côté pour le moment les régions que nous venons d'appeler R'i et ne nous occupons que des polygones iî, eux-mêmes. La somme des surfaces de ces polygones, tous intérieurs au cercle fondamental, sera finie, ce qui est très important au point de vue des applications ultérieures. Il y aurait exception lorsque le cercle fondamental se réduit à une droite ce qui arrive en particulier dans le cas des groupes de substitutions réelles; mais comme on l'a vu au commencement de ce paragraphe, im changement linéaire de variable suffirait pour ramener au cas général.

Dans mes travaux ultérieurs, je supposerai pour fixer les idées que le cercle fondamental a pour centre l'origine et pour rayon l'unité. Si l'on n'était pas placé dans ce cas, un changement très-simple de variable y ramènerait aisément.

§ 13. Historique.

Le premier exemple de groupe discontinu formé de substitutions linéaires est celui que l'on rencontre en étudiant le module A- d'une fonction elliptique (notation habituelle) ou le module ./ (notation de M. Klein) considérés comme fonctions du rapport des périodes. M. Hermite a fait une étude approfondie de cette sorte de transcendante et, en montrant qu'elle était uniforme, il faisait voir du même coup que le groupe correspondant était discontinu.

Les fonctions k et J ont été dans la suite, ainsi que le groupe dis-

continu correspondant, étudiées par MM. Dedekind, Fuchs et Klein et plus récemment par M. Hurwitz. Nous citerons en particulier les importants travaux de M. Klein que l'on trouve dans les Mathematische Annalen et un remarquable mémoire de M. Fuchs inséré au Tome 83 du Journal de Crelle.

Il est évident qu'un groupe quelconque G en contient une infinité d'autres qui seront tous discontinus, si le groupe G l'est lui-même; de sorte que la connaissance d'un seul groupe discontinu permet d'en former très-aisément une infinité d'autres. C'est cette remarque qui est le point de départ des belles recherches de M. Klein sur la transformation des fonctions elliptiques et sur les fonctions modulaires en général.

Outre ces groupes contenus dans le groupe modulaire dont la discontinuité était évidente, il y a encore un autre groupe dont la discontinuité avait été remarquée par M. Schwarz dans un mémoire inséré au Tome 75 du Journal de Crelle; c'est l'exemple I du § 7. C'était la première fois qu'on arrivait à un pareil résultat sans prendre pour point de départ la théorie des fonctions elliptiques. Enfin M. Fuchs reprit une question analogue dans des travaux insérés au Tome 89 du Journal de Crelle et dans les Actes de la Société de Gôttingen. Bien que les groupes étudiés dans ce dernier travail se ramenassent tous à des groupes déjà connus, c'est la lecture de ce remarquable mémoire qui m'a guidé dans mes premières recherches et qui m'a permis de trouver la loi de génération des groupes fuchsiens et d'en donner une démonstration rigoureuse.

Je l'ai donnée d'abord dans un mémoire que j'eus l'honneur de soumettre au jugement de l'Académie des Sciences dans le concours pour le Grand Prix des Sciences Mathématiques du 1" Juin 1880 et j'ai poursuivi l'étude des groupes dans une série de travaux insérés aux Comptes Rendus de l'année 1881.

Le mode de représentation que j'ai employé, c'est à dii'e la division d'une portion du plan en une infinité de polygones curvilignes^ peut être très utile pour l'étude des propriétés générales d'un groupe; c'es tce que j'ai cherché à faire voir. Aux géomètres qui désireraient poursuivre dans cet ordre d'idées l'étude d'un groupe fuchsien ou de tout autre groupe, je recommanderai la lecture de l'Habilitationsschrift de M. Walther Dyck de l'université de Leipzig, qui emploie un mode de représentation analogue et en fait ressortir les nombreux avantages.