fZ -h
où a, [i, Y, S sont quatre entiers, tels que
Nous savons qu'il y a une relation algébrique entre F{z) et pf- ); c'est celte relation algébrique qui est bien connue sous le nom à'équation modulaire dam la tbéorie de la transformation des fondions elliptiques.
Vérifions que le groupe G, formé des substitutions
où a, p, Y, 0 sont entiers, est bien commensurable avec son Iranstormé S~' GS par la substitution
S = où n est entier.
En effet, le groupe S-'GS est formé des substitutions
où a, |3, Y, 0 sont entiers el tels que y.o — ^y = ' •
l\Ç)2 H. POINCARÉ.
Le groupe comnuin g aux deux groupes G et S^' GS est alors formé des substitutions
où X, ^, Y, 0 sont des entiers satisfaisant aux conditions
aS— Py=i, y^o (modn).
("est donc, par rapport à G, un sous-groupe à congruences et par conséquent un sous-groupe d'indice fini. c. q. f. d.
Pour la même raison, on a une relation algébricjue entre la fonction
modulaire V( z) et F(^ j,^ et n étant deux entiers premiers entre
eux.
Plus g-énéralement, je dis qu'il y aura une relation algébrique entre
la fonction modulaire F (^ s) et F ( -^ --,],a, b, c et t/ étant des entiers quelconques.
Gar la substitution
où <7, b, c, d sont des entiers quelconques, peut toujours être regardée comme la résultante de plusieurs autres de la forme
ou de la forme
(-'TT-rs) ^" «^-?Y=G
(z,pz) ou {^=-,-,ij-
I/enscndile des substitutions S, telles que V(z) et F(:;, S) soient liées algébriquement, forme donc un groupe continu.
Jusqu'à présent cet exemple était isolé, mais nous sommes maintenant à même d'en citer une infinité d'autres.
Envisageons une forme quadratique indéfinie F à coefficients entiers et reprenons les dénominations du § II. Considérons le groupe reproductif de F formé de toutes les substitutions à coefficients qucbonques
LES FONCTIONS FICIISIKNNES ET I. VIUTIIM ETIQIE. /|b )
qui n'allrri'iit pas cello foniio, cl le gToujn' jn iiicipal de F furmr ditoutes les substitutions à coefficients entiers ([ui u'allérrui pas celte tonne. A toute subslilulion du groupe reproductif correspondra une substitution fucbsieniie et au groupe principal de F correspondra un groupe fuclisicu G c]ui sera le groupe fuclisien j»rincipal de F.
Soit/(j) une des fonctions fuchsiennes engendrées par le groupe (i.
J'envisagerai également les substitutions du grou[)e reproductif qui ont des coefficients //•«r//o////(7//Y'5 (ce sont celles que nous avons étudiées dans le § 1\ ), les substitutions fuchsiennes correspondantes et le groupe F formé par ces substitutions fuchsiennes et qui sera un groupe continu.
Soit S une substitution fractionnaire du groupe reproductif de F; soit s la substitution fuclisienne correspondante appartenant à V. Vax vertu des lemmes II et \\ du § III, le groupe principal de F sera commensurable avec son transformé par S.
Donc G sera commensurable avec son transformé jiai s.
Il y a Jonc une relation algébrique entre
f(z) et f(z,s\
s étant une substitution quelconque du groupe continu V.
Les fonctions fuchsiennes arithmétiques jouissent donc, comme la fonction modulaire, de la propriété qui nous occupe. La fonction modulaire n'en est d'ailleurs qu'un cas particulier et on TobtiiMit en prenant, pour la forme quadratique F,
1XZ.
Amsi il y a une propriété cjue Ion peut regarder comme la généralisation du théorème d'addition, si l'on regarde les fonctions fuchsiennes comme la générahsation des fonctions elliptiques, mais que l'on peut aussi regarder comme la généralisation de la transformation, SI l'on regarde les fonctions fuchsiennes comme la généralisalion de la fonction modulaire.
'|64 II. POINCARÉ. — LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'aRITHMÉTIQUE.
( ]('llo propriété n'apparlient pas en général à loulcs les fondions fuchsiennes; mais elle appartient aux fonctions fuchsiennes arilhméliques.
Cela peut faire concevoir l'espoir fjne ces transcendantes arilliméli(pies rendront, dans la théorie de certaines classes d'équations algél)rif(ues, des services analogues à ceux qu'a rendus la f(inction modulaire dans l'étude de l'équatiiju du cinquième degré.
l'iiris, iS iriars iSS-.
LES FO.\CT(ONS FICHSIENXES ET l'ÉQVATION Su = c" . l3-
Les fonctions fiulislcnnes et l'équation A//::=:r"; Par m. h. POIINCARÉ.
