IV. — La fonction L
.Nous considérons diverses quantités
Z, Z, Z' toutes fonctions rationnelles de Z, Z', et les fondions correspondantes
telles qu'elles ont été définies dans le § IL
LKS FONCTIONS FLCIISIENNES ET I.'ÉOUATION lt/ = c". IJD
Posons iiiaiiilciiaiil
e^ = e"-rail)
()ii en conclurait, si la surface de Klein élail isolrope,
Dans tous les cas on aura égalcmenl
Taire diï étanl Taire du plan des Z' qui correspond à Taire c/Ll du jilan des Z; et, en effet, Ton a
^ ~ rfS^' ^' ~ d6'-'' du' " dS"'
On aurait de même
dni
La dcfutllion de la fonclioii U est donc indépendante du choix de la fonction Z par/ni les diverses fonctio/is
Il vient alors
et enfin
Da = lu^ =Se"^ =«6''
DU = 8e^ + Dlog^;
comme D log ~ est une fonction connue que je puis poser égale à — *!>, je puis écrire
(i) DU = 8e'^^-$.
l56 II- POI>C.VRÉ.
La définilion de U ne dépendant pas du choix de Z, on devra avoir
— $ = D lo^ -^ = D log -7- = D log -^ = . . .
el par conséquent
^, du' ., du'
ce qu'il est d'ailleurs aisé de vérifier.
Je dis maintenant que la fonction $ ne peut devenir iulinie. Eu effet,
elle ne peut cesser d"ètrc finie (pie si log -^ est iulini, c"esl-à-dire si
/j ^ oc ou -jTT, = o.
INIais il faudrait en même temps que
du log
ce qui entraînerait
/, ^ ^ ou -T7 = <•■
rtZ.
Il n'y a donc de doute que pour les points de la surface de Klein qui correspondent aux points à l'infini ou aux points doubles de la courbe
Mais il faudrait encore que pour toutes les fonctions Z " on eût
, du'
Or c'est ce qui n'arrive pas, pour un point à rinflni, si l'on fait
ni pour un point double, si l'on fait
LES FONCTIONS FUCHSIENNES Eï l'ÉQVATION llt = r". 137
Ir iiiiiiK''raleur ot le dénominateur de R s'aniiulaiil à la l'ois au point
• IoIiIiIl'.
Lafonclioii'\><'sldoii(toiijoiii:sfiiiii'. c. q. f. h.
(JiiL' (liic iiiaiiitoiiaiil (II' la l'onction L .
Si on laisse de coté les points de la surface de Klein qui corres- |Hiii(liiil à iiii sommet de deuxième on de troisième espèce du polygone Ko, on poiiria trouver une fonclion /" ti'llc cpic
, , du" n et los:-r-
soient finis. T. a fonction U est donc finie.
Si la fonction fuchsiennc est de première eapèce. la fonction l sera donc finie sur toute la surface de Klein <-l file sera définie par r équation
Supposons maintenant que a soit un sommet de deuxième espèce de R„ et soient A, A', A" les valeurs correspondantes de Z, Z' et Z" et P le point correspondant de la surface de Klein.
Nous pourrons supposer que Ton a choisi la fonclion Z" de telle sorte que
^^ ^ resie fini; alors la dilTérenee
„" + lIlJ^l loo- 1 Z" - A" I et, par conséc|uent, la dilférence
U + ^i^i^l^logMP resteront finies.
Lne observation cependant; lorsque Z tend vers A", Texpression
„" + VL^l lojr I Z" - A" I
l58 H. POINCARÉ.
tend vers une limite finie et déterminée; mais quand le poinl M se rapproche de P, l'expression
Il '^
(à moins que la surface de Klein ne soit isotrope) reste finie, mais ne tend pas vers une limite déterminée; sa limite dépend de la direction d,e la droite MP. Si p est le rayon d'un cercle très petit situé dans le plan des Z" et i le diamètre de l'ellipse correspondante de la surface de Klein dont la direction est la même que celle de MP, c'est l'expression
L H vos: ^
([ui Icnd vers une limite déterminée quand MP tend vers o. Posons
V" = II" H l0£^ Z" — A ,
il A'iendra
Ac" = Au" = 8e"" 5^ = 8^"" 1 Z" - A" 1^ —■
On voit qui-' la fonclion v" satisfait à une équation de la forme
où 0 est une fonction donnée, conslammcnl positive, mais devenanl infinie pour Z" = A".
Posons maintenanl
c = e --T- ■ dut
Si nous conservons aux lellres 0 et O leur sit^iiification
0 = 81Z"-A"|'"^; <P^-lMo'j~,
\ I ' ~ do)
il viendra
DV = Oe'-$.
T.ES FONCTIONS FUCIISIENNES ET l'ÉQIATION A?/ = ''". i5()
Au poinL P (correspoiulaiil au point Z" —. A"), la fonclion 0 dcvicri- (Ira inliiiic, mais V cl <!> rcslcront finis.
lùivisagcons do mômo un soniniet ch,' la lioisiénu' csprcc; nous choisirons u" (l<> li'll<" l'aron que
u" + 2 log I Z" - A" I 4- 2 log- log- i Z" - A" !
rcstp fini l't nous poserons
p" = u" + 2 log I Z" - A" I -H 2 log log I Z" — • A" I , 0 = 8 I Z" - A" 1^- log-- 1 Z" - A" |.
Nous aurons alors A." = A«"+ 2AiogloglZ"- A"| = f (8.«" - „/^„|.,;..|,„,,„|
et si nous posons encore
V ,„ du" e = e -7- >
flto
il viendra
4 diM
Nous sommes ainsi conduits à changer la définition de U. Nous poserons
U = M + log^ + A,
où h est une fonction uniforme rpii reste finie en tous les [)oints de la surface de Klein, sauf aux points qui correspondent à des sommets de deuxième ou de troisième espèce de Ro.
En un sommet de la deuxième espèce, la différence
h - vi^z:l loo- 1 Z" - A" I
devra rester finie; en un sommet de troisième espèce, la dilTérence
h -7. log I Z" A" I - 2 log log I Z" - A" I
devra rester finie.
l6o H. POINCARÉ.
Nous pourrons toujours choisir la fonction h de façon à satisfaire à ces conditions et même de telle façon que la fonction li en dehors des sommets de deuxième et de troisième espèce, cl les fondions
// - ^^^ log I Z" - A" I ; A - 2 log I Z" - A" j - 2 log log- [ Z" - A" |
dans le voisinage de ces sommets, cjue ces diverses fonctions, dis-je, aient leurs dérivées de tous les ordres finies et continues.
Dans ces conditions La fonction IJ sei-a toujours finie et elle satisfera à l'équation
DU = Se'-e-'' + D log ^ -f- D/i,
o (7CO '
OU en posant
0 z= 8r-% - $ = D log ^ + DA,
à l'équation
(\ bis) DU=Oe"-$.
Les fonctions 0 et $ sont des fonctions données; la première est toujours positive, elle ne peut jamais s'annuler; elle ne })eut devenii infinie qu'aux sommets de deuxième et de troisième espèces; la fonction <I> ne peut devenir infinie qu'aux sommets de troisième espèce.
Aux sommets de deuxième espèce, 0 devient infini comme
Aux sommets de troisième espèce, 0 et <I> deviennent inlinies comme
(|Z"- A"|log|Z"-A"|)-=.
Le rapport
reste donc fini; la limite de ce rapport est d'ailleurs égale à
elle est donc positive.
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION \u = c". iGl
Ainsi, s'il y a des sommets de troisième espèce, 1<t fonction <I> peut devenir infinie, mais infinie {)Ositive; elle n'a donc ])lns de limite supérieure, mais elle a tuujoius une limite inférieure.
