V. — Maxima et minima

La propriété fondamentale de l'expression Dm est la suivante : Si la fonction u est maxima, Dw est négatif; si la fonction u est minima, \)u est positif; ce qui signifie, au point de vue physique, qu'un point où la température est maximum peut céder de la chaleur aux points voisins, mais ne peut en recevoir.

Examinons la chose d'un peu plus près, et pour cela reprenons Téqualion (3 bis^ du paragraphe II[

(M>is) fDudoi=f~(h.

Si au point P la fonction u est maximum, dans le voisinage de ce point, les courbes u = const. seront de petites courhes fermées s'enveloppant mutuellement et enveloppant le point P.

L'intégrale j -j-d'j, prise le long d"unc de ces petites courbes, sera

(lu . . . „

toujours négative, car -p sera toujours négatif.

L'intégrale / Dmc^w, étendue à l'aire limitée par une de ces petites courbes, sera donc négative.

Il faut donc qu'à l'intérieur de chacune de ces petites courbes u puisse prendre des valeurs négatives et, comme je puis supposer cette courbe aussi voisine du point P que je le veux, on pourra trouver, aussi près du point P qu'on le veut, des points où Dm sera, négatif.

Si la fonction D« est continue, elle ne pourra pas être positive en P ; elle pourra s'annuler en P, mais à la condition qu'il y ait dans le voisinage de P des points où elle est négative. Il peut se faire que D« devienne infinie en P, mais toujours à la condition qu'il y ait dans le voisinage de P des points où elle soit négative.

Journ. de Malh. (5» série), tome IV. — Fasc. II, iSgS. 21

l62 H. POINCARÉ.

Il convienl toutefois de s'assurer que, si D« devient infini, Tintégrale

reste finie. C'est ce qui arrivera dans le problème qui nous occupe.

Nous avons vu que, aux sommets de la deuxième espèce, DU devient infini de l'ordre de