PAK
H. POINCAEE.
§ 1. Séries Thétafuchsiennes.
Dans un mémoire antérieur, j'ai montré comment il est possible de former des groupes discontinus avec des substitutions de la forme:
en choisissant les coefficients a,, ^,, /-, <?; de telle façon que les diverses substitutions du groupe n'altèrent pas un certain cercle appelé cercle fondamental. Je supposerai dans tout ce cjui va suivre que ce cercle fondamental a pour centre l'origine et pour rayon l'unité, de telle sorte que son équation soit:
mod. z = \.
Je considère un de ces groupes discontinus, dits groupes fuclisiens, que j'appelle G. A ce groupe correspondra une décomposition du cercle fondamental en une infinité de polygones normaux B, tous congruents entre eux.
Je me propose de démontrer qu'il existe toujours un système de fonctions uniformes de z qui demeurent inaltérées par les diverses substitutions du groupe G et que j'appellerai fonctions fuchsiennes.
A cet effet j'envisage les diverses substitutions de G comprises dans la formule (1) et je pose pour abréger:
Actit .Viilhematii-a. I. 2.5
104 H. Poincaré.
comme je l'ai fait an § 8 du mémoire cité. Je forme ensuite la série:
où m est un entier positif j^lus grand que 1.
Je vais démontrer que cette série est convergente en faisant successivement diverses hypothèses:
1° Supposons d'abord que z soit intérieur au cercle fondamental: il sera alors intérieur à l'un des polygones B, par exempk' au polygone B,, qui correspond à la substitution de G qui a pour indice /( et qui s'écrit:
Soit:
La substitution
fera partie du groupe G et correspondra à un certain polygone J?,. Puisque s est supposé intérieur à B,,, f^{z) sera intérieur \x B^.
Supposons que l'on décrive autour de z un contour très petit 6'^, enveloppant le point z et étant situé tout entier à l'intérieur de B,, ; le transformé de C'^ par la substitution \z, /i(^)] sera un certain contour très petit C'j, enveloppant le point f;{z) et situé tout entier à l'intérieur de iî,,.
Afin d'établir la convergence de la série (2) nous allons démontrer successivement un certain nombre de lemmes.
Lemme I. La somme des surfaces de tous les contours C, est égale à une quantité finie C.
En effet ces différents contours L\ en n(jnibrc infini sont tous intérieurs au cercle fondamental; de plus ils n'o.nt aucune partie commune puisque chacun d'eux est tout entier intérieur à l'un des polygones B. La somnu^ de leurs surfaces est donc plus petite que la surface du cercle foiidaineiital. Elle est donc finie C. Q. F. D.
Mémoire sur les Fonctions Fuchsienncs. lOô
Lkmmi: II. Le nipporf de la ^jlits ijrande à la plus petite videur que puisse prendre te module de ~ quand z reste intérieur à C; est plus petit
qu'une certaine quantité K indépendante de i. En L'ffct (111 a:
dfi 1
dz {YiZ + dif
Le iiindulc (le -^ est dune égal à :^^^ 7 divisé par le earré de la di-
stanee du point ,^ au point — -. Les points '- sont les divers trans-
formés du point o^ ; ils sont done tous extérieurs au eerele fondamental eoniine le p(jint oo lui-même et ils ne peuvent être infiniment voisins les uns des autres que dans le voisinage de ce cercle. Soient J/,- et w, la plus grande et l;i plus petite valeur que puisse prendre ce module quand 3 reste intérieur à C'„ ; soient a et b la plus grande et la plus petite
distance du point ^-^ au contour C\^; nous aurons évideininent :
Mi «'■ m., h'
Or tous les [loiiits — ^ — sont extérieurs au cercle fondamental. Soient
donc A et B la plus grande et la plus petite distance de l'origine, centre du cercle fondamental, au contour 6'^. Ces deux distances seront plus petites que 1 puisque 6'^ est tout entier intérieur an cercle fondamental. On a alors:
d'où
D'ailleurs j — —4-1 = ^^ ^^i- indépendant de i. G. Q. F. D.
Lemme III. Un a quel que soit i
196 H. Poincaré.
El) effet soit ^ = .r + ///; la surface du contour 6'^, s'écrit alors
C,= ff de chj et la surface du contour 6'j
Ci =
i — I II mou. -f- I i-Lc ail
les deux intégrales doubles étant prises à l'intérieur du contour C^. On a donc
Ci > //»*? d,v chj > m: 6'„ ou bien
ou enfin:
Rien n'est plus aisé maintenant que d'établir la convergence de la série (2). Supposons en effet d'abord m = 2 ; nous aurons à envisager la série:
(2) ^ mod. (^y=^mod. (n^ + S.y '
Or nous aurons:
mod. (f)^<ii?<Çc.
Les ternies de la série (2) sont donc plus petits respectivement que — -
multiplié par le terme correspondant de la série y C\ dont la somme est un nombre fini C d'après le lemjne I.
La série (2) aura donc aussi une somme finie S. <>ii ;i par conséquent a f(jrtiori quel que soit i
n,od. ^<VS dz
Mémoire sur les Fonctions Fuchsionnes. 197
On aura donc pourvu (jue m > 2
C'est à (lire (juc eluuiue terme de la série \ ( iiiod. ^) est plus petit que
la constante S - multipliée par le terme correspondant de la série \ Mnod. -Jij qui est convergente.
La convergence de la série (2) est donc dcniontrée et il s'agit ici, non dune semi-convergence, mais d'une convergence absolue puisque tous les termes de la série sont positifs.
2° Supposons maintenant que le point ~ soit extérieur au cercle fondamental.
Si le point 2 est l'un des points ^^^-^ , l'un des termes de la série
est infini et la convergence est impossible. Supposons donc ((uc le point
2 ne se confonde avec aucun des points ~~ '^' , je dis que la série (2) sera
encore convergente.
Considérons en effet un autre point z^ intérieur au cercle fondamental. La série
est convergente d'après ce qu'on vient de voir. Je dis qu'il en est de même de la série
(2) V u:od. (^)"'= 2 mocl. (,,. + o^)-^'"
En effet nous pouvons trouver une limite supérieure R de mod. (z^ +—]
et une limite inférieure r de mod. (2+ — l; car les points '^' ont un
module fini et limité et ils ne sont pas infiniment rapprochés du point 2. On a donc:
mod. (;-,2 + o,)~'^"' lî^"'
mod. (j-iZ^ + âiY
2 ni ^'2 m
198 H. Poincaré.
Cliiujue terme de hi série (2) est doue plus petit (jue |-| iiiulti[)lié
])dv le terme correspondant de la série (2") qui est convergente.
La série (2) est donc aussi convergente.
3° Supposons maintenant que le point ^ soit sur la circonférence du cercle fondamental. La démonstration précédente sera encore applicable pourvu que le point ^ ne soit pas infiniment rapproché d'une infinité de
points '^' . C'est ce. qui arrivera si le point z appartient à l'un des
côtés de la 2""" sorte de l'un des polygones B. La série (2) est alors convei'gente. Dans le cas contraire, les termes de la série (2) sont susceptibles de croître indéfiniment, de sorte que la convergence n'a pas lieu. Les points de la circonférence du cercle fondamental se divisent en deux classes, les uns appartiennent à l'un des côtés de la 2"'' sorte de l'un des polygones R; les autres, qui ne satisfont pas à cette condition, s'appelleront les points singuliers essentiels du groupe G, de sorte (^ue la condition de convergence de la série (2) pourra s'énoncer ainsi: le point
2 devra ne se confondre m avec aucun des points ^^ , ni avec aucun des
Ti points singuliers essentiels du groupe G.
La série (2) définit une fonction de z, mais cette fonction n'est pas inonogène, comme on le voit aisément d'après la forme même de la série. La somme de la série (2) dépend également du groupe G et si on supi)ose que les coefficients des substitutions fondamentales de ce groupe sont des fonctions d'un certain paramètre t, la somme de la série (2) sera aussi une fonction de t.
Une petite digression est nécessaire pour nie permettre d'exprimer plus nettement ma pensée, lîeportons-nous au § 1 1 du mémoire sur les groupes fuchsiens, paragraphe intitulé: Formation effective des groupes fuchsiens, et prenons pour fixer les idées l'exemple I de ce paragraphe. Dans cet exemple, il s'agissait de former les groupes fuchsiens de la 3"° famille, engendrés par un polygone normal de 2m côtés de la 2™" sorte. Nous avons vu que les coëfticients des n substitutions fondamentales de ce groupe ne sont assujettis qu'à des inégalités. Il est donc possible de les exprimer en fonctions rationnelles de 3» paramètres arbitraires
Mémoire sur les Fonctions Fuchsiennes. 199
assujettis seulement à être réels et à satisfaire à certaines inégalités. Les coefficients de toutes les substitutions du groupe sont alors, connue ceux des su])stitutions fondamentales, des fonctions rationnelles des paramctres u. De plus il est évident que tous les groupes différents que l'on obtient en attribuant aux u différents systèmes de valeurs, sont tous isomorphes entre eux.
Ce qui précède peut être étendu au cas le plus général et, pour énoncer plus facilement les résultats qui vont suivre, je vais introduire une définition nouvelle qui nous sera utile dans la suite. Considérons deux polygones normaux 7?„ et B\; je suppose qu'ils soient désignés de même dans le système de notation du § 7 du mémoire cité. Les cycles de chaque catégorie seront en même nombre dans R^ et Il\ et ils se correspondront un à un. Je suppose de plus que la somme des angles de 7?„ qui appartiennent à un même cycle de la l''" catégorie, est la même que la somme des angles du cycle correspondant de E\. Je dirai alors que les deux polygones, ainsi que les deux groupes qu'ils engendrent, font partie de la même Hasse. Il est clair que dans ce cas les deux groupes sont isomorphes entre eux.
Considérons donc une infinité de groupes appartenant à la même classe C et dérivés de n substitutions fondamentales. Prenons » substitutions quelconques et cherchons si elles peuvent être prises pour les substitutions fondamentales d'un groupe discontinu appartenant à la classe C. Nous trouverons en général que leurs coefficients doivent satisfaire à certaines égalités et à certaines inégalités. Ces coêft'icients pourront alors s'exprimer rationnellement en fonctions de p paramètres arbitraires
M, , îl.,, . . . . Up
assujettis seulement à rester réels et à satisfaire à certaines inégalités. La seule différence avec l'exemple I du § Il c'est que l'on a en général
au lieu de jj = 3w.
Deux groupes qui sont de la même classe sont en général de la même famille. Il y a cependant des exceptions. Ainsi reprenons l'exemple I du ^ 1 1 que j'ai cité plus haut. Les groupes envisagés sont en général de la 3""" famille ; mais dans certains cas limités, ils peuvent se réduire à des
200 H. Poincaré.
groupes de la 2""^ ou de la 4™" familles. En général un groupe de la 2™" famille ou de la 4"'' famille peut être regardé comme appartenant à une classe formée de groupes de la 3""* famille qui ne se réduisent à la 2""" et à la 4"- familles que pour certaines valeurs particulières des paramètres î(. De même un groupe de la 6"°' ou de la 7""" familles peut être regardé comme appartenant à une classe formée de groupes de la 5"'' famille, qui ne se réduisent à la 6"^ ou à la T""" familles que pour certaines valeurs particulières des paramètres u. Cette remarque nous sera utile dans la suite.
Ainsi il existe des classes de groupes fuchsiens qui sont tous isomorphes entre eux; les coefficients de leurs substitutions sont des fonctions rationnelles de certains paramètres réels u, assujettis à certaines inégalités. Si l'on forme la série (2) à l'aide des différents groupes appartenant à une même classe, la somme de cette série sera évidemment une fonction des ii; je dis que ce sei'a une fonction continue de ces paramètres.
Il est clair que chaque terme de la série, étant rationnel par rapport aux u, sera une fonction continue de ces paramètres; mais cela ne suffit pas pour qu'il en soit de même de la somme de. cette série. Si nous considérons en effet une série
dont les termes sont des fonctions continues de x et qui est convergente, la somme S[x) de cette série peut être une fonction discontinue de x. Mais faisons une liypothèse de plus. Supposons que quand on a:
on ait:
mod. F^{x) < Cn et que la série
soit convergente; on sait que S{x) restera fonction continue de x tant que cette variable satisfera aux inégalités (8). Ce résultat est d'ailleurs facile à étendre au cas de plusieurs variables. Ainsi pour démontrer que la série (2) est une fonction continue des u, il suffit de faire voir que l'on
Mémoire sur les Fonctions Fuchsiennes. 201
peut trouver une infinité de nombres positifs .1, (indépendants des m), tels que la série ^ .1, soit convergente et que l'inégalité
soit satisfaite quels que soient les u, pourvu que ces paramètres restent compris entre certaines limites qui peuvent d'ailleurs être aussi voisines que l'on veut du système de valeurs jjour lequel on veut démontrer la continuité de la somme de la série (2).
Pour démontrer cette continuité, je vais faire usage de certaines considérations qui me fourniront en même temps une démonstration nouvelle de la convergence de cette série, ce qui ne sera pas iimtile, vu l'importance de ce résultat. Je vais rappeler quelques-unes des définitions du § 2 du Mémoire sur les groupes fuchsiens. Dans ce paragraphe j'avais appelé figures congruentes deux figures qui sont les transformées l'une de l'autre par une substitution linéaire à coefficients réels. Posant ensuite
Z = X + lj\
j'avais appelé L d'un arc, l'intégrale
mocl. dz
prise le long de cet arc et 5" d'une aire plane l'intégrale
dy
/fdxd
prise à l'intérieur de cette aire.
La L d'un arc et la 5^ d'une aire sont des invariants pour ces figures, c'est à dire que deux arcs congruents ont même L et que deux aires congruentes ont même S.
Plus tard au § 12 du mémoire cité, j'ai envisagé des groupes de substitutions qui n'étaient plus assujetties à être réelles, mais à conserver un certain cercle fondamental. Par une extension toute naturelle, deux figures seront dites congruentes lorsqu'elles seront transformées l'une de l'autre par une substitution linéaire conservant le cercle fondamental. Il
À'-la Miilhfmiilîrci. I. 26
202 H. Poincaré.
y aura poui" les arcs et les aires deux invariants analogues à ceux que nous avons rencontrés dans le cas des substitutions réelles et que nous appellerons par extension L et S. Par exemple dans le cas qui nous occupe, le cercle fondamental a pour centre l'origine et pour rayon l'unité. Posons
J'appellerai L d'un arc, l'intégrale
mod. dz
prise le long de cet arc et S d'une aire l'intégrale
pdpdco
prise à l'intérieur de cette aire. On vérifie aisément que deux arcs congruents ont même L, pendant que deux aires congruentes ont même S. Considérons un cercle ayant pour centre l'origine et pour rayon p. La S sera:
pdp Tzp*
La L de son rayon sera:
Nous appellerons cette quantité le R du cercle. On a, en fonction de R:
Passons maintenant à la démonstration de la convergence de la série (2), et supposons pour fixer les idées que le point s est intérieur au cercle fondamental; la démonstration s'étendrait sans peine au cas général.
Mémoire sur les Fonctions Fuchsiennes. 203
Nous décrirons autour de z un contour C„ quo nous pourrons prendre assez petit pour qu'il soit tout entier <à l'intérieur de l'un des polygones 7?, de Ui, par exemple. Quand les paramètres %(, varieront entre les limites que nous leur avons fixées, les polygones R varieront, nuiis nous pourrons toujours supposer que C^ est assez petit pour rester constamment tout entier à l'intérieur de iî^. Si nous considérons maintenant les différents
transformés du point z, c'est à dire les différents points ^^ii—iJ, chacun
de ces points sera contenu à l'intérieur d'un petit contour 6', situé tout entier à l'intérieur d'un certain polygone i?^. ainsi qu'on l'a vu plus haut. Tous les contours 6'^ seront congruents entre eux et extérieurs les uns aux autres.
J'appellerai a la S de C^ qui sera celle de tous les C,. Si je considère maintenant diverses circonférences coupant ortliogonalement le cercle fondamental et les arcs de ces circonférences qui sont interceptés yjar C^, la L de ces arcs restera inférieure à une certaine limite que j'appelle X.
Démontrons maintenant quelques lemmes.
Lemme IV. Considérons les points transformés de z, c'est à dire les points
TiZ + Si
qui sont intérieurs à un cercle 6" qui a pour centre l'origine et pour rayon
^ e^R' 1 P - qIR' + 1
le nond/re de ces points est plus petit que:
JL(g2(fi' + A) ^ g-2(iî' + A) 2)
En effet soit N ce nombre.
Si un point "'^ "^ ^' est intérieur au cercle C, le contour C^ correspon- YiZ + ai dant sera évidemment tout entier à l'intérieur du cercle C" qui a pour centre l'origine et dont le B surpasse de A celui du cercle C, c'est à dire dont le R est égal à R' + X.
Il y a donc à l'intérieur du cerclp C" au moins N contours C, dont
la S totale est égale à No-.
204 H. Poinearé.
Or la s du cercle C" est
On a donc:
L(g2(s'+A) ^ g-2(iî'+;,) 2)
Lemme V. On a identiquement:
1 — mod
mocl.
(;-.» + Oi)'
1 — mod.
En effet envisageons un eontoiu" infiniment petit C',, décrit autour du point z et le transformé C\ de ce contour par la substitution
Soient a)g et <y, leurs surfaces, on aura:
mod.
Ci2
lod.
(r.« + rf
Les S de ctf„ et de <y, seront:
(1 — mod. z'f (1 — mod. z'f
dx dy
-- (fî^)' [• - »- mwj
Or ces figures sont congruentes et ont même S. On a donc
1 — mod.
In» + à,j
1 — mod. z'
Mémoire sur les Fonctions Fuchsicnncs. 205
d'où :
1 Vr.^ + "•/
mod. 5 = ; ;
[h^ + 3,) 1 — mod. z*
Considérons deux cercles ayant pour centre l'origine et passant, l'un par le point z et l'autre par le point "'^ ^ .
Soit ^ le jR du premier cercle et K' le R du second cercle. On aura:
.lA
mod. z = „. . , mod
et enfin
Théorème. La série (2) est convergente.
Décrivons en effet une infinité de cercles ayant pour centre commun lorigine et dont les E croissent en progression aritlnnctique. Soient K^, K^, K„, ... ces cercles, et soit nr le R du cercle K„.
Ecrivons la série (2) sous la forme suivante:
(2 bis) 2: =l\ + V, + l\ + + r„ +
On. obtient le terme U„ de la série (2 bis) en groupant tous les termes de la série (2) qui correspondent à des points "''^ '^ '^ compris dans la
couronne circulaire située entre les deux cercles K„^ et K„.
Comme les termes de la série (2) sont positifs, un pareil groupement est licite et la convergence de la série (2 bis) entraine celle de la série (2).
Le nombre des termes de (2) groupés ensemble dans le terme U„ est, en vertu du Lemme IV, plus petit que
iL(e2('"-+;.) ^ e-2(ni-+/.) 2) < -Ile^ '■"■+'■'
Chacun deux est, en vertu du Lemme V plus petit que / e2.i+e-'-^+2 Y"^ U"-* + e-" + 2y
206 H. Poineard.
On a donc
Posons :
on aura:
(3) f^» < ^ïï<âï)7
K sera une constante indépendante de n et le second membre de l'inégalité (3) sera, puisque m > 1, le w™" terme d'une progression géométrique décroissante. La série (2 bis), et par conséquent la série (2), est donc
convergente.
Voyons quelle erreur on commet quand on se restreint dans la série (2) aux termes qui correspondent aux points "'" ' ^ intérieurs à un cercle
ayant pour centre l'origine et dont le R est (« — 1);-. -La somme des termes négligés est égale à
et par conséquent plus petite que
]£gnO—m)r 1 e(m-l)r
Théorème. La somme I de la série (2) est une fonction continue des paramètres ii.
En effet soit 2' la valeur de cette somme pour certaines valeurs
de ces paramètres u.
Soit 2" + A 2" la valeur de cette même somme pour des valeurs voisines
«, + A M, , Mj + A «j , Mp + A Wp
de ces mêmes paramètres. Je dis qu'on peut prendre les A M assez petits pour que:
Mdmoire sur les Fonctions Fuclisiennes. 207
A2'< £ e étant une quantité donnée.
Soit i; la somme des n — 1 premiers termes de la série (2 bis)
Soit
Soit do même r„ + A 2'„, i", + A JT^, la somme des termes correspondants de la série 2" + A i"; de telle sorte que
2 + A 2- = (2; + A 2; ) + (2; + A 2;) On aura:
ir„nCl-m)r BJe"^^-'"'''
Nous pourrons donc prendre n assez grand pour que:
Or, une fois n choisi, 2; sera fonction continue des m; on pourra donc prendre les A u assez petits pour que
et par conséquent pour que
Considérons maintenant la série suivante
Je suppose:
1° que l'algorithme E{3) représente une fonction rationnelle de 2 dont aucun infinr n'est situé sur le cercle fondamental, mais qui est d'ailleurs quelconque.
208 H. Poincaré.
2° que le nombre m est vin entier plus grand que 1. La fonction H{z) aura un certain nombre d'infinis
Si le point z se confond avec un des points
l'un des termes de la série est infini et par conséquent la série ne peut être convergente.
Supposons au contraire que cela n'ait pas lieu. Nous pourrons trouver un nombre positif M tel que l'on ait, quel que soit /
lr.« + 'Il
on pourra même choisir M assez grand pour que cette inégalité subsiste quand on fait varier les paramètres u entre certaines limites.
Je dis maintenant que la série 6{s) que j'appellerai série fkéfafuchsienne est convergente. En effet nous aurons
mod. [nh' "^'^'lO'.g + o-)-""l < M mod. (?-.» + o,)-'^'"
Le module de chaque terme de la série (4) est donc plus petit qxie le terme correspondant d'une série convergente à termes positifs. C'est à dire que la série (4) est convergente et que sa somme est indépendante de l'ordre des termes.
D'ailleiu's on démontrerait, comme pour la. somme de la série (2) que la somme de la série (4) est une fonction continue des paramètres n.
% 2. Classification et Propriétés Générales,
Ainsi la série (4) est convergente sauf pour certains points singuliers; dans ces conditions elle définit une fonction fi{z) holomorphe. La fonction d{z) est essentiellement uniforme, mais elle cesse d'être holomorphe aux points singuliers ])()ur lesquels la série (4) cesse d'être convergente.
Mémoire sur les Fonctions Fnclisipnnes.
Ces points singuliers sont:
1" Les points
c'est à dire les divers transformés des infinis de //(.r). Ces points sont des pôles dans le voisinage desquels H{z] est inéromorphe.
2" Les points — '—, c'est \\ dire les divers transformés du point oc.
Ces points sont cneore des pôles dans le voisinage desquels (^{z) est méromorphe.
On démontrerait oe double fait en renuuNjuant (jue dans le voisinage de ces points un des termes de la série (4) devient infini et que si l'on supprime ce terme, la série reste convergente.
3° Nous avons enfin les points singuliers essentiels du groupe 6-', c'est à dire les points du cercle fondamental qui n'appartiennent pas à un côté de la 2" sorte de l'un des polygones 7?. Ce sont aussi pour la fonction 9{z) des points singuliers essentiels.
\'i)iei maintenant la propriété fondamentale de cette fonction. Considérons une substitution quelconque du groupe G, par exemple:
cherchons quelle relation il y a entre
\;'<« + "< / Le système des substitutions
formant un groupe dont fait partie la substitution (')) sera identique au système des substitutions:
Afta Mafhematica I.
210 H. Poincaré.
en posant pot;r abréger:
ce qui permet d'écrire:
ou:
On a d'ailleurs:
On a donc:
ou bien:
Nous appellerons fonction thétafuc'h sienne toute fonction uniforme de 4; jouissant de la propriété (G). Nous classerons les fonctions thétafuchsiennes de la même façon que les groupes fuchsiens, à l'aide des propriétés du polygone normal B^ correspondant.
On a vu que les polygones B^ pouvaient se distribuer en 7 familles et que la l'"', la 2"^ la 4"", la G'"'^ et la 7""= de ces fan)illes se subdivisent en deux ordres. Mais tout groupe du 2'' ordre de la 2™, de la 4°"% de la 6'"" et de la 7'"" familles est identique à un groupe de la .S"' ou de la 5"" familles, on à un groupe du 1" ordre de la C""' ou de la 7"'" familles. (Voir § 9 et 1 1 du mémoire sur les groupes fuchsiens.) Nous pouvons donc toujoiu's supposer que le groupe O n'appartient i)as au 2^ ordre de la 2"'^ de la 4"^ de la 6'"" ou de la 7"^ familles.
Cela posé, je dirai que la fonction B{z) fait partie de la 1'", de la 3""" et de la 5"" familles si le groupe G fait partie de l'une de ces familles et que lu fonction R{z) fait jiartie de la 2"", de la 4™"", de la
Mémoire sur les Fonctions Fuchsiennes. -'1
6°'° on de la 7'"' familles si le groupe (V a]>i.artirnt au 1" nnliv de 1 une de CCS tamilles.
De mcine je dirai ([u'iiiie fonction tliétafiichsienne est du geinx- }>, si le groupe G correspondant est de ce gem-e.
Je puis également étendre aux fonctions tliétafuclisiennes la classification des groupes fuchsiens en classes dont j';ii parlé dans le paranraplic
précédent.
Envisageons d'abord les fonctions de la 1'", de la 2""' et de la ô"" familles. Les polygones 7? correspondants n'ont .pas de côtés de la 2""° sorte, de telle manière cjue tous les points du cercle fondamental sont des points singuliers essentiels. Le plan se trouve divisé en deux parties, à savoir l'intérieur et l'extérieur de ce cercle, par une ligne singulière essentielle; il faut en conclure, conformément aux principes actuellement admis dans la théorie des fonctions, et mis en lumière par les travaux de M. WE1EKSTUA8S, quc le développement (4) représente deux fonctions distinctes, selon c^ue z est intérieur on extérieur au cercle fondamental. La première de ces fonctions n'existera qu'à l'intérieur de ce cercle et admettra comme espace lacunaire toute la partie du plan ({ui lui est extérieure; la seconde au contraire n'existera qu'à l'extérieur du cercle fondamental. Dans ce qui va suivre nous n'envisagerons jamais que la première de ces fonctions; en eft'et la seconde d'entre elles, c'est à dire celle qui n'existe qu'à l'extérieur du cercle fondamental, peut aisément par un chano-cment de z en - se ramener à une fonction tlu'tafuchsienne
n'existant qu'à l'intérieur du cercle fondamental.
Considérons donc une fonction thétafuchsienne n'existant qu'il l'intérieur du cercle fondamental et définie par une série telle que (4); nous pouvons faire deux hypothèses:
Nous pouvons supposer ([u'un ou plusieurs des infinis de H{z) sont intérieurs au cercle fondamental; alors la fonction 8{z) aura des infinis (sauf dans certains cas exceptionnels où plusieurs infinis de cette fonction se détruisent mutuellement) et nous dirons qu'elle est de la r' espèce; nous serons certains alors que la somme de la série (4) n'est pas identiquement nulle puisque cette somme peut croître indéfiniment.
On peut supposer au contraire que tous les infinis de H{z)^ sont extérieurs au cercle fondamental; alors la fonction 9{z) n'a pas d'infinis
212 H. Poincaré.
et nous dirons qu'elle est de la 2"^' espèce. La f(Jiietioii (-^(z) peut alors se développer en une série ordonnée suivant les puissanees croissantes de z et qui reste convergente tant que z reste intérieur au cercle fondamental, c'est à dire tant que la fonction 8{z) existe.
Rien n'empêche dans ce cas que la somme de la série (-i) ne soit identiquement nulle et nous démontrerons en eft'et plus loin que toutes les fonctions H de 2'" espèce s'expriment linéairement à l'aide d'un nombre iini d'entre elles.
Passons maintenant aux fonctions de la 3^ de la -t^ de la 6' et de la 7° familles; les polygones R ont alors des côtés de la 2''^ sorte, tous les points du cercle fondamental ne sont plus des points singuliers essentiels; nous n'avons plus tme ligne singulière essentielle, mais une inlinité de points singuliers isolés. Il résulte de là (pie la série (■!) au lieu de représenter deux fonctions distinctes selon que z est intérieur ou extérieur au cercle fondamental, représente une seule et même transcendante qui est partout holomorphe, sauf en certains points isolés. La fonction 6{z) est donc une transcendante uniforme existant dans toute l'étendue du plan et présentant une infinité de points singuliers essentiels.
On peut se demander cruelle place elle occupe dans la classification c|ue M. Mittag-Lefflek a donné de pareilles fonctions dans sa communication du 3 Avril 1882 aux Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris.
Les points singuliers essentiels étant en nombre infini seront infiniment rapprochés dans le voisinage de certains points singuliers de 2''° espèce; ceux-ci à leur tour s'ils sont en nombre infini seront infiniment rapprochés dans le voisinage de certains points singuliers de 3"" espèce, et ainsi de suite.
Je dis que nous ne serons jamais arrêtés et que nous trouverons ainsi une infinité de points singuliers de toutes les espèces. En eft'et si nous avons une infinité de points singuliers de la n — V espèce; il y aura au moins un point singulier de la }f espèce; mais s'il y en a un, il y en aura une infinité, car tous ses transformés par les diverses substitutions du groupe G devront aussi être des points singuliers de la m" espèce.
MéiimiiT sur li's Fcmclions riicli^iciincs. 213
Nous avi)ii> (loiic affaire à une de ces i()ii(tiiin> ijur M. MniAii- Lefflek a appelées du 2" genre.
Il semble d"abord que toutes les fonctions aient des infinis, car elles existent dans tout le plan et elles doivent avoir pour pôles ceux de la fonction rationnelle H{£) ({ui d(jit devenir infinie en (juehjue point du plan. Mais il peut arriver que plusieurs des infinis de la fonction H{z) se détruisent mutuellement; de sorte (|u"on peut construire comme dans le cas précédent des fonctions thétafuchsiennes de la 2' espèce; on en verra un exemple au § 8.
Parmi les points singuliers de nos fonctions thétafuchsiennes, il. en est qui doivent particulièrement attirer notre attention; ce sont les sommets des polyg(jnes iî qui sont de la 2'^" catégorie et (pii appartiennent Il un cycle de la 3'"'' sous-catégorie. (\'oir le § 0 du mémoire >ur les groupes fuclisiens).
Soit c( un pareil sommet, il y aura parmi les sub>titution> du groupe (r une sub>tirutioii parabolique de la forme:
C'est là la définition même des cycles de la o"' sous-catégorie. Posons:
en conservant pour le symbole f\{z) la signification (ju'oii lui a donnée plus haut, c'est à dire:
Définissons maintenant \m symbole i/, de la fa^'on suivante:
Il est clair que if, sera l'algorithme d'une fonction rationnelle. On trouvera alors identiquement:
214 H- Poincaré.
Mais la série ft{z) étant absdluiiiciit coiivergeiite on peut en ordonner les termes comme on le veut. Voiei comment nous allons les ordonner: Parmi les fonctions ç-,{t) on peut en choisir luie infinité
ff„{t) = t, w.(o, tt^u)
de telle façoti que toute fonction ^^,{t) [)uisse se mettre d'une manière et d'une seule sous la forme:
<f,(t) - m + 2hin)
Il étant un entier positif ou négatif; ce qui permet d'écrire:-
Considérons un nouvel algoritlime ll\{() défini comme il suit: d'où :
it' = oo /( = -f oo
\in)
Il faut d'abord cftéctuer la sommation par rapport à /;; or H\{t) est une fonction rationnelle de t cjui tend vers 0 quand t tend vers l'infini. On aura donc:
;i= + co
^ff,(< + 2M=7n(e':
H"Jie') désignant une fonction rationelle de e' qui tend vers 0 rpiand t tend vers l'infini. Il vient donc:
La convergence de cette série est évidente, puisqu'on la obtenue en groupant d'une certaine manière les termes de la série (4) qui est uni-
Mémoire sur les Fonctions Fuchsiennes. 215
formément convergente. De plus les termes sont rationnels en e et leurs infinis ne sont pas infiniment rapprochés dans le voisinage de
e' ^ 0 ou de e' = cx)
de telle sorte que l'on peut trouver une limite supérieure et inférieure
des modules des valeurs de é qui rendent infinie l'une des fonctions Jl'\.
Il suit de là que dans le voisinage du point singulier ^ = o( la fonc-
tion i-i\z){z — a)'"' est liolomorphe en e-"'-"' ou en e*'*""" selon que l'on approche du point a par l'intérieur ou par l'extérieur du cercle fondamental.
En d'autres termes, i est pour la fonction W un imnt singulier logarithmique.
Ainsi, si l'on envisage les différents sommets des polvgones 7?, on reconnaîtra :
1° que les sommets qui font ])artie d'un cj'cle de la l""'' et de la S""" catégorie sont pour la fonction H dis points ordinaires on des pôles.
2° que les sommets cpii font partie d'un cycle de la 3""" sous-catégorie sont des points singuliers logarithmiques.
3° f[ue les sommets qui font partie d'un cycle de la -i"" sou.s-catégorie sont des points singuliers d'une nature plus élevée.
§ 3. Zéros et Infinis.
Nous allons maintenant étudier la distribution des zéros et des infinis de la fonction H. Il est clair que si un point z est pour cette fonction un zéro ou un infini, il en .sera de même de tous les points correspondants h z, c'est à dire de tous les i)oints "'^ ' ' . De cette façon à tout
zéro contenu à l'intérieur du polygone i?„, correspondra un zéro contenu dans chacun des polygones B, et que nous ne regarderons pas comme réellement distinct du premier. De sorte que le nombre des zéros et des infinis réellement distincts de la fonction 0 sera le nombre des zéros et des infinis contenus h l'intérieur de R^, si la fonction n'existe que dans le cercle fondamental, et h l'intérieur de R^ + ^'o ^' ^^^^ existe dans tout
211') H. Pdincan'i.
le plan. Je rappelle que i?'„ est le polj-gone syiiiéfriqnc de 7?,, par rapport au cercle fondamental.
Cependant quelques conventions spéciales sont nécessaires, si l'on veut pouvoir énoncer simplement le résultat auquel nous allons arriver au sifjet du nombre des zéros et des infinis. Il est d'abord évident qu'un zéro double ou un infini double doit compter pour deux zéros ou pour deux infinis; de même pour les zéros et les infinis multiples. Mais outre les zéros contenus à l'intérieur de i?„ , il peut y en avoir qui se trouvent sur le périmètre de ce polygone. Supposons qu'il y en ait un sur un côté ah de la 1*"" sorte, il y en aura un autre, correspondant au premier sur le côté conjugué de ah. Ces deux zéros ne seront pas réellement distincts et on ne devra les compter cpie pour un seul zéro, ou, si l'on veut, on devra compter chacun d'eux pour un demi zéro. Supposons maintenant qu'un sommet de la 1""' catégorie soit un zéro d'ordre j)'i l^s sommets qui font partie du même cycle seront au nombre de n par exemple et chacun d'eux sera un zéro d'ordre p comme le premier. Supposons que la somme des angles qui correspondent ii ces sommets
soit ^; chacun d'eux appartiendra' à n . K polygones différents, de manière
qu'on devra en quelque sorte le partager entre ces n . K polygones et
que la part du polygone i?„ sera un zéro d'ordre ^' . Il résulte de là
que les différents sommets du cvcle représenteront seulement ^ zéros
distincts.
Il est facile d'étendre cette convention au cas où l'un des zéros est un des sommets de la 2''' catégorie et appartenant h un cycle de la 3""" sous-catégorie. Nous avons vu que si ot est un pareil sommet, la fonction 0 peut se mettre sous la forme:
</> étant une fonction holomorphe de e''<"~'"' s'annulnnt pour
z = a c'est M diri- pour:
Hz
Mémoire sur les Fonctions Fuchsîcnnes. 217
Il = 0 sera alois un zéro de la fonction ratiDinielle 0{u). Supposons que ce soit un zéro d'ordre p. Nous dirons alors (jue les diflerents sommets du cycle auquel appartient et représentent jj zéros distincts de la fonction 8.
Ce qui précède s'applique évidemment aux infinis.
Occupons-nous d'abord des infinis. La série (4) devient infinie quand jjl ii-,z + / . \ ,-m devient infini. Supposons d'a})f)rd que la fonc-
tion 9 n'existe qu'à l'intérieur du cercle fondamental. Alors
ne peut devenir infini; de plus à chaque infini de Tl{i) intérieur au cercle
fondamental correspondra en général un infini de l'un des Ill~ — ^|
^ ° Ir.^ +.à.)
qui sera intérieur à E^ .
Donc:
Le nombre des infinis distincts de 6 est égal au nombre des infinis de H intérieurs au cercle fondamental.
Supposons maintenant r[ue 0 existe dans tout le plan.
A tout infini de H{z) intérieur au cei'cle fondamental correspond un infini de l'un des H{ "'^ ^ ' | intéi'ieur ai?...
A tout infini de H{z) extérieur au cercle fondamental correspond un infini de l'un des Hi "'^ ' '\ intérieur à R'..
A l'intérieur de chacun des polygones i?', et par conséquent à l'intérieur de R\ , nous trouverons un des points — — qui sont pour 6 des
infinis d'ordre 2ni. Il y a cependant une exception: les points — — sont
les différents points correspondants de l'infini; la surface de l'un des
polygones R' contient le point oo et ne contient pas de point — — ; le
point co n'est pas en général un infini de G. Nous supposerons, pour éviter cette difficulté, que le polygone R\ ne contient pas le point co et nous pourrons énoncer le résultat suivant:
Le nombre des infinis de 6 contenus à l'intérieur de R^ + ^'o' *2^** à dire le nombre des infinis distincts de 8 est égal au nombre des infinis de H augmenté de 2m.
Passons à la recherche des zéros. Parmi eux il y en a qui doivent
Actn ilathtmatica. I. 28
H. Poincaré.
d'aboi'd attirer l'attention; je veux parler des sommets de la 1^" catégorie qui dans certains cas sont forcément des zéros d'ordre déterminé.
Soit a un sommet de la l'^'* catégorie et a son symétrique par rapport au cercle fondamental. Supposons que a fasse partie d'un cycle et que
la somme des angles de ce cycle soit ~ . L'une des substitutions de G sera:
Nous aurons:
ou
^a.)(/,-«T'" = Q{z)(z-dr-
Mais:
Remarqiions de plus que nous pouvons développer B[i){^z — a')" suivant les puissances de \ ; de façon à poser :
L'équation (.5) devient alors:
Cette identité exige que l'on ait:
ou bien :
2miff R
Mémoire sur les Fonctions Fuchsicnnes. -•"
c'est à dire:
Donc k' développement de l-l^ ne contient que des termes dont l'ordre 2) satisfait à la congruence (6). Si donc K ne divise pas vi, x = a. est uu zéro pour 8^^ et par conséquent pour B.
Ce zéro est d'ordre au moins égal au reste de la division de m{K — 1) par K; et si l'ordre de ce zéro diffère de ce reste c'est d'un multiple de K. Il y a exception évidemment si a est un infini de 6.
De même nous avons vu que les sommets ([ui appartiennent à un cycle de la 3°" sous-catégorie sont en général des zéros de la fonction 8.
Nous allons maintenant chercher quel est le nombre des zéros réellement distincts de notre fonction 8 et pour fixer les idées nous supposerons qu'il s'agit d'une fonction de la 1'"'= famille. Soit q le nombre des infinis distincts, soit p le nombre des zéros réellement distincts, c'est à dire le nombre cherché ; soit maintenant ^„ le nombre des zéros situés à l'intérieur de Rg en laissant de côté les zéros qui pourraient se trouver sur le périmètre et sur les sommets. Nous supposerons, ce qui arrivera en général, qu'il n'y a pas de zéro sur le périmètre en dehors de ceux qui sont sur les sommets; s'il y en avait, on n'aurait qu'cà considérer les zéros situés sur les côtés comme des sommets séparant deux côtés consécutifs du polygone situés dans le prolongement l'un de l'autre. Supposons maintenant que les sommets se répartissent en un certain nombre de
cycles de la 1'" catégorie C^, C,, C\, Supposons ([ue tous
les sommets du cycle C\ soient des zéros d'ordre p, et que la somme des
ano-les de ce cycle soit — de telle sorte que l'ensemble de ces zéros
° •' Ki
doivent être comptés, d'après la convention faite plus haut pour -— zéros distincts. On devra avoir:
Pi + m = 0 rnod. -BT,
Le problème consiste à évaluer i^^. Pour cela il faut prendre l'intégrale:
re'{z)dz J 0(^)
22rt H. Poincaré.
le long du périmètre de 2?^, . Ln partie réelle de cette intégrale sera nulle et la partie imaginaire s'écrira:
L'évaluation de l'intégrale (7) présente ici une difficulté spéciale.
En effet la fonction sous le signe f devient infinie en divers points du contour d'intégration puisc^ue nous avons vu qu'un certain nombre de sommets de B^ étaient des zéros de 9. On tournera cette difficulté en décrivant autour de chacun de ces sommets comme centre des arcs de cercle infiniment petits, raccordant les deux côtés qui aboutissent au sommet considéré; il faudra décrire ces arcs de cercle à l'intérieur de i?^, de façon à laisser les sommets en dehors du contour, puisque nous voulons évaluer p^, c'est à dire le nombre des zéros intérieurs à R^.
Il faudra donc évaluer l'intégrale (7):
1° le long des arcs de cercle infiniment petits décrits autour des sommets.
2° le lono; des côtés de la l'"'' sorte.
3° le long des côtés de la 2"^° sorte.
Il suffira d'ailleurs de calculer la partie imaginaire de l'intégrale, car nous savons .d'avance que la partie réelle est nulle, et cette partie imaginaire n'est autre chose que la variation de l'argument de B.
Supposons d'abord qu'il s'agisse d'une fonction de la P" famille, de telle façon c[ue nous n'ayons que des sommets de la P" catégorie et des côtés de la P" sorte. Soit 2u le nombre de ces côtés.
Considérons d'abord un des petits arcs de cercle décrit autour d'un sommet; supposons que ce sommet appartienne au cycle C, dont la somme
des angles est —et dont tous les sommets sont des zéros d'ordre p^.
Soit / l'angle du sommet considéré. L'intégrale prise le long du petit arc de cercle correspondant sera — p^X\ prise le long de tous les arcs de cercle décrits autour des divers sommets du cycle, elle sera:
Enfin l'intégrale (7) prise le long de tous les arcs infiniment petits décrits autour des sommets de R^ sera:
Mémoire sur les Fonctions Fuchsiennes. 221
Il reste à évaluer notre intégrale le long des côtés de la V" sorte. Soient donc ah^ a'V deux côtés conjugués de 7?„. Il faut calculer:
&dz I ffih i ffjh / ffdz
Soit {z, f,{z)) cell(! des suhstitutioiis du groupe ''/ (jui change a'I/ en (d/. Nous aurons, d'après ce qu'on a vu plus liaut:
Oifô = ^ï)'
ou:
Le{f.) = Le
dz
Donc ;
Il reste donc à chercher comment varie la
df,
dfi
