DU < G

ol, [)ar conséquent,

ou a fortiori.

l'our le minimum, on aura

DU > o,

doù

ou a fortiori

La fonction U satisfera donc toujours aux inégalités

(i) lo^^«I>„ - log 0, < U < logO», - log 0„.

On peut obtenir des limites plus rapprochées en considérant le ra[)port -; les inégalités

Oc"'— (p<o, Oe'^'-(I»>o

moulrcul ([ue c^ reste toujours compris entre le minimum et le maxi-

1 * mum de - •

Ce résultat serait illusoire si $ n'était pas toujours positif. Supposons maintenant que $ soit toujours positif, mais quon puisse trouver une fonction t], telle que

(I) + Dv] soit toujours positif.

Posons alors

l()4 H. POINCARÉ.

l'équation devient alors

DV = Oe^e'-a>-DYi.

Les fonctions 6e^, cp + Drj étant toujours finies et positives, les résultats précédents peuvent s'appliquer, et l'on voit que e^ reste toujours compris entre le maximum et le minimum de

* -t- Dr,

Oc-1

Si donc y]u et y], sont le minimum et le maximum de •/], et si '(„ et 'Ç, sont le minimum et le maximum de

<!> + Dr, on aura

(2) (:„e1»-^<r>^■<(:,rA-'^».

Si 0 et $pcuvcnl devenir infinis, les résultats précédents subsistentils? Dans les cas dont nous aurons à nous occuper, G ne pourra devenir infini qu'aux sommets de deuxième et de troisième espèces et (I> aux sommets de troisième espèce.

Dans tous les cas, l'expression

restera finie et déterminée ; cette expression devra être négative pour les maxima (sans quoi DU ne pourrait devenir négatif dans le voisinage du point correspondant au maximum) et positive pour les nîinima.

Si donc $ est toujours positif, casera toujours compris entre le

maximum et le minimum de - •

Si $ n'est pas toujours positif, mais si $ -t- Dy] est toujours positif, les inégalités (2) subsisteront.

Envisageons maintenant l'équation

(4) . DV = Oe'^V-|.

LKS FONCTIONS FLCIISIENNES ET L'ÉQLATION Aff = n". 1 1);")

Soient V, et \ „ le maximum et le minimum de V ; on devra avoii

ce (|ui montre que V reste compris entre le maximum et le mininiuin du lapport

Comme Oc'^ est essentiellement positif et ne peut s'annuler, ce résultat reste vrai, soit que ^ soit constamment positif, soit que ■]/ puisse changer de signe.

Il reste vrai encore et n'est pas illusoire, quand 0 et même quand -L

peuvent devenir infinis pourvu que le rapport ^ demeure fini.

Je dis maintenant (jue l'équation (4) ne peut admettre deux solutions ; si elle en admettait deux, V et V, la différence V — V satisferait à l'équation

D(V- V') = Oe"^(V- V).

Cette équation est de même forme que (4), mais ^ est nul. Sont donc également nulles la limite supérieure et la limite inférieure entre lesquelles peut varier V — V, d'après ce (jue nous venons de voir. Donc

De même, l'équation

DL =Oc^-(I>

ne peut admettre deux solutions, car si elle en admettait deux, L' et U -I- ^ , on aurait

Si \ , et \ „ sont le maximum et le minimum de V, on devrait avoir

d'où

l()6 H. POINCARÉ.

ce qui entraine