VI. — L'équation D« = o

Je nie propose d'intégrer l'éqii.ition

où II est la fonction inconnue qui doit être finie et continue ainsi cjue ses dérivées des deux premiers ordres, et la fonction o qui est donnée. C'est comme si l'on demandait la température finale de chaque point de la surface, en supposant cju'elle ne cède pas de chaleur au dehors par rayonnement, mais que chaque élément r/w de la surface est le siège d'une source de chaleur produisant dans l'unité de temps une (juantité de chaleur — o r/co.

Pour que le problème soit possible, il faut d'abord que

(2) /"of/w

l'intégrale étant étendue à la surface entière. En effet, nous avons trouvé plus haut

dto = G

fHii,

et, d'ailleurs, réf|uilibre thermique n'est évidemment possible que si la quantité totale de chaleur fournie par les sources est nulle.

Supposons cette condition ren)plie. Pour résoudre notre problème, nous allons introduire une fonction qui jouera le même rôle que la fonction de Green dans la théorie du potentiel.

Reprenons la courbe algébrique

(|ui est la même que la courbe (2) des paragraphes précédents.

LES bONCTlONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUXTION ll( = c". xG"]

Considérons l'intégrale abélicnne (1) .] = f\{(Z,Z')dZ,

où 11 esl une loiictiDi) ralionni'llL- de Z et de Z'. Soient alors

quatre points analyticjues pris sur la courbe (3). Les deux premiers (Z„,Z'„), (Z,,Z' ) seront les limites inférieure et supérieure de Tintégrale(4).

Cette intégrale elle-même sera une intégrale abélienne de la troisième espèce admettant pour points singuliers logarithmiques les deux points analytiques (U„,U;), (U,,U;).

Donc, sauf aux points analytiques (Uo, L'^), (U,, U,), la fonction .1 sera holomorphe; dans le voisinage de (U„, U^), la dilTérence

J + log(Z,-U„)-log(Z„-U„)

el, dans le voisinage de (U,, U',), la différence

J-log(Z,-U,) + log(Z„-U.)

seront holomorphes en Z, et Z„.

Pour achever de définir l'intégrale (4\ nous supposerons que les parties réelles de ses o,p périodes cycliques sont nulles.

L'intégrale J ne change pas quand on permute les deux points analytiques

avec les deux points analytiques

(U„,ir), (u,,u;).

Cest le résultat bien connu dans la théorie des fonctions abéliennes sous le nom de Vci-taitscliung von Pairiinrter and ArgUDii'nt.

l68 II. POINCARt:.

Je désignerai par M, P, M,, P, les points de la surface de Klein qui correspondent aux quatre points analytiques

et par

la partie réelle de l'intégrale J.

On voit que

G, G + log'|i:^|, G

' I ^0 — Uj I

lOO'

seront des fonctions harmoniques de X et Y (si Ton poseZ, = X -t- /^ ), la première pour tous les points analytiques sauf pour Uo et U,, la seconde dans le voisinage de U;,, la troisième dans le voisinage de U,. Observons enfin que la définition précédente devrait être modifiée si l'un de nos quatre points analytiques venail en un point de la courbe (3) où

il conviendrait de remplacer alors par la fonction Z' la fonction Z (jui joue le rùle prépondérant dans notre définition ; ou bien encore si l'un des quatre points analytiques venait en un point double de la courbe (3); il faudrait remplacer Z par

P et Q étant deux polynômes entiers s'annulant tous deux au point douille.

Soient rhû ct^/co, deux éléments quelconques de la surface de Klein; soient M et M, les centres de gravité de ces éléments; soient P et P, deux points fi.ves quelconques sur la surface de Klein. Soit o, une fonction quelconque des coordonnées du point M,.

Considérons l'intégrale

(5) ('^y"G(M,P;M,,P,)o,rfo,,

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET 1,'ÉQLATION lu=^r". 1 ()r)

clondue à tous les éléments doi, de la surface de Klein. C'est une fonction des coordonnées du point M.

Je dis d'abord que celle intégrale est fuiie, si la foncliou o, est linie elle-même. El, en effet, la fonction G ne peut devenir infinie que si le point M, vient en M ou eu P (elle s'annule si M se confond avec P et. par conséquent aussi, à cause de la Vertauschuug, si M, se confond avec P, ); mais si M, vient eu M ou en P la fonction G devient inlinie lojjarithmiquement, de sorte que notre intégrale resle finie et déterminée.

Pour pousser l'élude plus loin, je divise la surface de Klein en deux régions, l'une S' réduite à une petite calotte entourant le point M, l'autre S " comprenant le resle de la surface et je pose

t' et f" représentant la même intégrale étendue respectivement à S' et S".

Je su|)pose que le point M ne se confond ni avec P ni avec P,.

Considérons d'abord rinlce-rale c"; si M, reste dans la résfion S" qui ne contient pas le point M, les trois distances MM,, MP, MP, restent finies et l'on peut assigner une limite supérieure à la fonction G et à chacune de ses dérivées.

L'intégrale

où H est une dérivée quelconque de G est non seulement finie, mais uniformément convergente. Nous pouvons donc appliquer le procédé

de la différentiation sous le signe / et nous voyons d'abord que toutes les dérivées de v" sont finies.

Il vient ensuite

Dp"= rDG9,f/w,=ro, puisque