DG

Considérons maintenant r'; la portion S' de la surface étant très

Journ. de Math. (5* série), tome I\ . — Fasc. II, itigS. 22

l'JO H. POINCARÉ.

petite pourra être représentée d'une façon univoque sur le plan des Z

et nous aurons

dû, étant l'aire de l'élément du plan des Z correspondant à l'élément ir/co, de la surface de Klein et l'intégration étant étendue à tous les éléments^O, de la portion du plan des Z qui correspond à la région S'. Mais on a

G = log|Z, — U, I + H,

H étant une fonction harmonique de X et de V. Nous aurons alors

.■,=/log|Z,-U.|?,g«?i2,,

Nous voyons d'abord que l'on peut appliquer à l'intégrale p', le procédé de la différentiation sous le signe / , de sorte que toutes les dérivées de i-\, sont finies; d'ailleurs on a

Ar;=yAHo.^rfO, = o,

d'où

Di', = o.

Ensuite les propriétés du potentiel logarithmicjue nous apprennent: 1° Que v\ est fini ainsi, que ses dérivées des K premiers ordres, si o, est fini ainsi que ses dérivées des K — i premiers ordres; 2° Que

o et -7-^ représentant les valeurs que prennent cp, et -jy (juand w

LF.S FONCTIONS FLCIISIENNES ET l'ÉQU.VTION Ak^c". I ■■ I

|ii)liil !\I, vient on M. On en conclut

Dt' =

En résumé, v est fini ainsi que ses dérivées des K premiers ordres si cp est fini ainsi cjue ses dérivées des K — i premiers ordres, et l'on a

Di=2-9.

J'ai supposé que M ne se confondait ni avec P, ni avec P,.

Si M se confond avec P, G et p s'annulent.

Il me reste à faire voir qu'aucune singularité ne se présente quand M se confond avec P,, et pour cola je vais montrer que l'intéiirale r no dépend pas de la j)Osition du point P, .

Si nous remplaçons P, par un autre point Pj, c se change en

Puisque

je vois que p a augmenté de

J"G(M, P; P,, P,)?, '/eu, = G(M, P; P., P,)J 9, ./co,.

Or, cette expression est nulle à cause de la relation (2). Donc, r n'a pas changé. c. q. v. d.

En résumé, la solution de l'équation (1) nous est donnée par la formule

(()) « = -^y"G(M,P;M,,P,)9,f/co..

La solution donnée par l'équation (0) n'est pas unique; on peut évidemment y ajouter une constante arhitraire; à part cela, il n'y on a pas d'autre.

1^2 H. POINCARE.

Ce qui caractérise la solution particulière (6), c'est qu'elle s'annule au point P.

La solution (6) satisfait à une inégalité qui nous sera utile dans la suite.

Soient yj une fonction quelconque, toujours positive, et r, , la valeur de cette fonction au point M,. Soient

On aura évidemment

L'intégrale

?/|<(max.de|'}|) n

est une fonction de M; la fonction sous le signe /ne peut devenir infinie

cjue dans trois cas : i" si le point M vient en M, ; 2° si la fonction r^^ devient infinie ; 3" si le point M A-ient en P, .

Afin d'exclure ce troisième cas, je décrirai autour de P, une petite courbe fermée et je supposerai que le point M ne pénètre pas à l'intérieur de cette courbe fermée.

Lorsque le point M est voisin de M,, la fonction G devient infinie de l'ordre de logMM, ; en outre, je supposerai que la fonction •/], devient infinie en certains points A qui correspondront aux sommets de

la deuxième espèce, et cela infinie de l'ordre de M, A " ; je suppose qu'il n'v ait pas de sommets de la troisième espèce et qu'en tous les autri's points la fonction y], soit finie.

Alors l'intégrale

iGIr.if/w,

est finie et même converge uniformément. El, en effet, dans le cas le plus défavorable, c'est-à-dire si le point M coïncide avec un point A et

si M, est très voisin de INI, la fonction sous le signe / sera infinie de

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQTATION lu^c". 1-3

Didrc (lo

MM~logMM,,

et riiilégralc ne deviendra pas infinie. Nons p(jnv()ns donc assigner à celle inh'grale une limite ^' et écrire

(7) l"l<?X"'"^-ci'-lll)-

Celte inégalité est vraie pourvu que M ne pénètre pas à l'intérieiudelà courbe qui entoure le point P,.

Mais nous avons vu (pu: a m- dépend pas de la position du poliil !', el ne ciiange pas quand P, vient en P^; nous aurons donc

(:/'?>) IwK^S'ïniax.del'l ),

pourvu (pie M ne jiéuètre pas à l'intérieur (Fune pelile courl)e entourant Pj.

Si, alors, ^ est le plus grand des deux nombres |3' et ^", nous aurons

(8) |«|<;i(max. de|||),

quelle que soit la position du point M.

Ce résultat est vrai pourvu que la fonction r^ ne devienne jamais

infinie riue d'ordre 2 — - <^ 2.

C'est une condilioii à laquelle satisfail la Jonction f)e^ qaa/u! il

n'y a pas de sommet de troisième espèce.