VII. — L'équation D« = yj « — -p

Considérons l'équation

( I ) D;< = A-/j « — cp — A'|.

.le su[)poserai la solution développable suivant les puissances de "a et je la mettrai sous la forme

u = (u„-h Cp) -i-l(u, + c, ) 4- A-("oH- c.) -+-....

Les Ck sont des constantes et les «* s'annulent au point 1\ J'aurai la suite d'équations

(2) j D«, = ri(i<, + c,),

f D;<3 = Y](^^,-+-Co),

Pour que la solution soit possible, nous devrons avoir

ce qui nous donne la suite d'équations

C(, / Y] f/o) ^ / 'I r/co — / Y] ?/o f^w,

Co / Y] f/w ^ — / Y] «o f/co,

Si ces conditions sont supposées remplies, la formule (6) du jiaragraplie précédent nous permettra de calculer ?/,,, «,, .... Ainsi, pourvu que l'on ait

I (fdco = o,

nous pourrons calculer successivement, par les équations (2') et (3), d'abord u„, puis c^, u,, c,, u.,, c.,,

Soient y,, y,, ... les maxima de \u,\,\u.^\, . . ..

Si la fonction y] est supposée toujours positiie, on aura

I c I I I -q cIm <^ / Y] I ;/ 1 I d(x> <C Y 1 1 y; dto ,

LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQUATION lu = e". I7J

d'où

|c,|<T.' et, de même,

k,|<Y2, IC3KY3, ••••

L'inégalité (8) du paragraphe précédent nous donnera ensuite

Y,<!3(max. deU/, + c, \) <i'.i''^-{, et, de même,

Y3<2?Y2> Y><2?Y3, ■••• La série

converge donc, pourvu que

et par conséquent, à cette condition, la série (4) ^^XHu.-^c,)

converge uniformément.

Si a est la somme de cette série, u sera donc une fonction finie el continue des coordonnées de M.

Nous aurons, d'autre part (puisque la série converge uniformément),

/ r, U f/co = / Y](«,, -h Cf,) du> -h '/^ I r^(u, -h c,) dw -+-... = o.

Nous pourrons alors, par la formule (6) du paragraphe précédent,. trouver une fonction c qui satisfasse à l'équation

Df = ATjW — ç> — A'^.

Je dis que cette fonction r est identique à a. Posons, en effet,

il viendra

DS„=AyiR„.

La série (4) convergeant uniformément, nous aurons

Iv étant une constante assignable; on conclut

|SJ<K(2X[4)«-.

Quand n croit indéfiniment (2 AÎii)" et, par consécjuent, | R„ | et | S„| tendent vers zéro. La différence u — v est égale à

Elle tend donc vers zéro cjuand n croît indéfiniment et, comme elle

ne dépend pas de «, elle est nulle. Donc u = p. Donc u satisfait à

l'équation

D?<=Xy]« — ç — "A'^i. c. q. F. n.

Cette démonsti'alion suppose que r], cp, '} restent finis ou ne peuvent devenir infinis qu'en certains points (qui correspondraient aux sommets de la deuxième espèce) et sculenicnt infinis d'ordre 2 — - < 2.

Je terminerai par la remarque suivante :

Si, dans une certaine région de la surface de Klein, y], 9 et ■\i sont finies ainsi que toutes leurs dérivées, il en sera de même de u.

Soit, en effet. Dp = 0, équation qu'on peut intégrer par la formule (6) du paragraphe précédent.

Nous avons vu que, si dans une certaine région 0 est finie ainsi que ses dérivées des K premiers ordres, v sera finie ainsi que ses dérivées des K -+- 1 premiers ordres.

Appliquons ce résultat à l'équation

D« = Àvj u — Aç — A|.

Comme u est fini, le second membre est fini; donc u est fini ainsi

LES FONCTIONS FUCIISIENNES ET l'kQIATION 1u = c". I 77

(lui- SOS dérivées du premier ordre; donc le second membre osl Uni ainsi que ses dérivées dn premier ordre; donc u esl Uni ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres, et ainsi de suite... c. q. f. d. Supposons maintenant que l'on sache intégrer Téquation

Du = T u

et proposons-nous d'intégrer

(<i) Du ~(r^-hh-q')u — o.

Les deux fonctions •/] et y]' sont supposées toujours positives. Soit

Il = u 0 -h "k 1/ , -h \'- u., -h . . . \

l'équation (6) nous donnera la suite d'équations

' Du„ = r;U,-o, Dm,= /,?/, + r]'u„, Du., = r^u., -+- r^' u,,

Les équations (7) étant de la forme (5), nous saurons les inléjirer

et elles nous donneront successivement u^, u,, u.,,

Les principes du paragraphe V nous donnent les inégalités suivantes :

I ?/o I -< ma\. de I «/, I < max. de [ f/o I < max. de

Soient alors y^ le maximum de | «^ | et ^ celui de

Joiirn. de Math. (5' série), tome IV. — Fasc. II, iS()8.

> il viendra

Donc la série

H. POINCARE.

converge uniformément pourvu que

J'ai supposé plus haut que nous savions intégrer l'équation (5); je précise cette liypothèse en disant que nous savons l'intégrer quelle

que soit la fonction z>^ pourvu que le rapport

soit limité. J'ai su

posé aussi plus haut que le rapport

a une limite supérieure, et c'est

cette limite supérieure que j'ai appelée p.

Soit alors a la somme de la série (8); cette somme est finie ; nous savons alors intégrer l'équation

puisque le rapport

est limité.

Je dis que l'intégrale f de cette équation est précisément égale à a. Soient, en ell'et,

u = ii^-i- A w , + ... + À" a„ -+- l{„ ,

P' = «„ -t- X a, 4- . . . -h A"^ ' «„^, + S„, on aura

DS„ = TjS„+ Ar;'R„.

1 1^« I <! 1^ C'*^?/'; ^ étant une constante. Les principes du paragraphe V donnent ensuite

Xr/K„

S„ I <^ ma\. de