C. Q. V. II

On démontrerait ensuite comme plus haut que si, dans une certaine région, y], ç et y]' sont finies ainsi que toutes leurs dérivées, il en est de même de u.

Considérons maintenant l'équation

(9) Dm = y]m — ç,

et posons

Les X sont des constantes positives; la fonction cp, est assujettie à la condition unique

/ Ç/| diii = 0,

mais elle est d'ailleurs arbitraire.

Nous allons intégrer successivement les équations

Du = A, Y] 1/ -h \.,riu — !p, ('o) ^. D« = (A, + Ao)-/];/ + A.,r,H — 9,

Dm = (A, + X^ +. . .+ A,,, )y]if -h ApTiU — 9.

La première équation (10) est de la forme (i); nous saurons donc "intégrer, pourvu cjtie

l8o H. POI^•CARÉ.

p élaiiL la quanlilé qui figure dans l'inégalilo (8) du paragraphe précédent.

Les autres équations (lo) sont de la forme (6); on les rend identiques à l'c-quation (6) en changeant

"A|Tj en •/], r, en ■/]', "k.. en X, pour la i^ équation (lo), (X, + Aa)^] en Y), •/] en y]', A, en X, pour la 3* équation (lo),

(a, -h Aj -H. . . 4- A/,i j-^ en Y); -/jeu-/]', A^, en A, pour la /j"'"" équation (^lo).

Nous saurons donc intégrer successivement ces équations (lo), pourvu que

m;\\ (le r-^ max de -^

ou

Or, nous pouvons toujours satisfaire à ces conditions et aux relations

en choisissant rentier/? assez grand.

Donc nous saurons intégrer l'cqualion (()), pourvu que :

1° Le rapport - soit limité ;

2" Que Y] soit toujours positif et ne s' annule pas ; 3° Que Y) soit partout fini ou ne puisse devenir infini qu'en un nombre iimilé r/^' y^om/.s (correspondant aux sommets de deuxième

espèce) et seulement cVordre 2 — - <^ 2.

L'intégrale u est partout finie et continue.

Si, dans une certaine région, les fonctions données y] et cp sont finies ainsi que toutes leurs dérivées, il en sera de même de u.