VIII. — Extension aux sommets de troisième espèce

Les résultats précédents s'appliquent, pourvu cpu» la fonction r, ne tlevieniu' infinie qu'en un noiubre liniili' de points el seulenieni

d'ordre 2 — - ■< 2.

C'est la condition à laquelle satisfait la fonction 0^'', s'il n'y a pas de sommets de troisième espèce. Mais aux sommets de troisième espèce, cette fonction Oe'^^ devient infinie de la même manière que

j:-log-.Z-

devient infini pour x = o.

Nous sommes donc conduits à examiner ce qui se passe quand, en certains points (sommets de troisième espèce), la fonction ■/; devient infinie et cela de telle sorte que le produit

r,\Ilv log-MK

tende vers une limite finie et déterminée quand le point M se rapproche indéfiniment du sommet de troisième espèce K. Dans ce cas, lintégrale

G I ï, , dm I

considérée à la fin du paragraphe VI, n'est pas finie quand le point M vient en K; on ne peut donc pas lui assigner une limite supérieure 3 : on ne peut donc plus écrire Tinégalité (8) du paragraphe ^ I.

Si alors nous reprenons les équations (1), (2) et (3) du paragraphe VII, nous pouvons encore former les fonctions «„, », , u.,, etc. ; mais nous ne pouvons plus écrire les inégalités

ni, par conséquent, affirmer que la série

lH-2 II. POINCARÉ.

D'ailleurs, il est aisé de voir que

deviennent infinies au sommet de troisième espèce K et infinies respectivement du même ordre de grandeur que

loglogMK, log-logMK, logMogMK,

Néanmoins, nous verrons plus lard que la série S converge en tous les points de la surface de Klein, sauf aux sommets de troisième espèce, et que la somme de celte série tend vers une limite finie et déterminée quand le point M se rapproche de l'un de ces sommets.

On pourrait dire, dans un langage abrégé mais peu correct, qu'aux sommets de troisième espèce la somme de la série est finie, bien que chacun des termes soit infini.

Un exemple simple fera mieux comprendre ma pensée.

Soil X un nombre positif, et considérons la fonction x' ; nous pouvons la développer suivant les puissances de X et écrire

, X lo".r À-loir-j' ),"lo£r".r

Chacun des termes devient infini pour x = o, mais la somme de la série ,/:■'• reste finie.

On pourra donc encore intégrer l'équation (i) du paragraphe ^ II.

Mais, pour établir toutes ces propositions, nous rencontrerons bien des difficullés. Ces mêmes difficultés, non encore surmontées, se retrouvent dans la méthode de M. Picard et dans toutes les méthodes d'approximations successives.

l*()ur en triompher, nous allons procéder par étapes.

Supposons d'abord qu'il n'y ail qu'un seul sommet de troisième espèce, que nous apprllcrons K, cl proposons-nous d'intégrer l'équalion

(i) l^u=lo.

Dans celle équation, "C et 9 sont deux fonctions données et la der-

LES FONCTIONS FVCIISIENNES ET L'ÉQUATION Am=''". iHÎ

nièro esl partout finie. Quanta "C elle est pailoul i)<)silivc cl .lie rsl finie, sauf au point K où elle est infinie comme

MKMoir^MIv

aux sommets de deuxième espèce, s'il y eu a, où elle devient infinie comme y] et au point P, où elle pourra devenir infinie comme log MP, . La solution de Técpiation (i) nous sera donnée par la formule

analogue à la formule (6) du paragraphe \'l.

Cela sY-tablirait par des raisonnements tout à fait analogues à ceux du paragraphe \'l, mais qu'il esl inutile de répéter ici.

Remarquons toutefois que la condition

/ Z'^doi = o

n'est plus ici nécessaire puis(iue la fonction « peut devenir infinie pour M = P,.

Cela posé, on a évidemment

|,/|<Yrr,|(;(M,K;M.,l',;U/co,.

Étudions rinlégrale / 'C, ICOI, Iv; M,, l',)/Ao,.

C'est une fonction des coordonnées du point M (pii ne peul présenter de singularité que quand le point M vient en K ou en P,.

Qu'arrive-l-il d'ahord quand M est voisin de K? Partageons la surface de Klein en deux parties par une petite courbe fermée entourant le point Iv.

Nous aurons d'abord la région S extérieure à la petite courbe fermée; la portion correspondante de l'intégrale sera très petite de l'ordre de Mlv.

Considérons maintenant la région S' intérieure à celle petite courbe:

l84 H. POINCARÈ.

si les deux points M et M, sont dans cette région, G sera de même ordre de grandeur que

loff .../ ,../