M MT
Ces deux régions seront séparées l'une de Taulre par la droili' -, perpendiculaire au milieu de MK.
L'intégrale, étendue à la première région, est plus grande (pic l'in-
tégrale étendue à la seconde région.
En premier lieu, le champ d'intégration est plus grand ; en second lieu, si nous envisageons deux points M, symétriques l'un de l'autre, par rapport à -, et situés, l'un dans la première région, l'autre dans la seconde, nous remarquerons que la valeur de
)loç^?
est plus grande pour le premier de ces points que pour le second, tandis que la valeur de
est la même pour les deux.
Notre intégrale est donc plus petite (pie
ih I \ log -
dodt
los
l'intégration étant étendue à la première région seulement. Mais dans cette région on a
log
, 0 , MM, ^, KM. + MK
KM
loq:( 1 -h
KM
km;
iog(^r H-^y
Journ. de Math, (h' série), lome IV. — Fnsc. II, i8i)S.
l86 H. POINCARÉ.
Donc notre intégrale est plus petite que
r \ dpdt
■ib jlog
log'f
ou a fortiori ^lu?, petite que la même intégrale étendue au cercle de rayon R tout entier, c'est-à-dire que
l\Td> \ log( I -1- - , Décomposons l'intégrale de la façon suivante
r'- ^Ro /."
La lettre R„ désigne une quantité que nous déterminerons plus complètement plus tard, mais qui doit être ]> /•.
Considérons d'abord la troisième intégrale prise de Ko à H : entre ces limites on a
L'intégrale est donc plus petite que
/• dp rd?^ r
Envisageons maintenant la seconde intégrale prise de /• à H„ ; entre ces limites on a
'•<?, Iog(^i + '-j <log2, et l'intégrale est plus petite que
'^^-Jp|l0gV| ~ 2 V'og-^i^O log'/-;^ 2l0g'-R/
Venons enfin à la troisième intégrale prise deoà /•; entre ces liiuiies
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET l'ÉQXJATION Au = e". 187
on a
c</-; log(i + 7) = 'o8(' -+- ,-) + log7<log2 + lo& L'inlégrale est donc plus petite que
1 f ^P Tl ^ <^p log2 '
Notre intégrale est donc plus petite que
,• I 4Ti6l0g2 , 9.r.b
