rr- + 2-//log
et cela quel que soit Ro ; en prenant, par exemple, R» = y/') on voit que notre intégrale est de Tordre de grandeur de
|log/-| |logMK|
Supposons maintenant M très voisin de ï\.
Nous pouvons trouver une quantité positive H telle que Ton ait constamment
I G I < IlogMM, I 4- I logMP, ! 4- log I KM, I + H,
et, en elTet, si Tune des distances MM,, MP,, KM, est très petite (par exemple MM,), G est égal à ± logMM, + une quantité finie.
Si deux de ces distances sont très petites, par exemple MP, et KM,, nous pouvons ramener au cas précédent en introduisant un point auxiliaire K' et écrivant
Pour chacune des fonctions G qui entrent dans le second membre, une seule des distances est très petite. Or les intégrales
fu l , dio , j] log M M , 1 r , iko , . /^log i KM , 1 î: , rfw ,
sont Unies; l'intégrale
n. POINCARE.
f\ logMP, l 'C, doj, = I log-MP, I f'Ç, (ko,
est de l'ordre de | logMP, |.
D'où celte conséquence : l'intégrale
/ 1 G l 'Cl rfoj,
est finie, sauf dans le voisinage du point k où elle est de Tordre de et dans le voisinage du point P, où elle est de l'ordre de
|losMK I logMP, |.
Il existe donc une quantité b' telle que
r|G!'C,f/co,<//
et, par conséquent, telle que
(3) |;/,|<ay^'
Si nous posons maintenant
logMP, losrMIv
logMP,
logMR
■/] u = 'Co' et si nous observons qu'on peut trouver une quantité c telle que
•f, I iogMK
il viendra
(A) |?'l<aY (« = //£).
Soit donc y' le maximum de | o' |, nous pourrons trouver une quantité a ne dépendant que des points K et P, et telle que l'on ait toujours
LES FONCTIONS FUCHSIENNES ET i/kQLATION \u = r". 1 89
Considérons maintenant l'équation
(6) Du = '/.r^a -\- 0
et proposons-nous de trouver une solution a de eclte équation qui s'annule au point K et puisse devenir au point P, infinie comme logMP,.
Proposons-nous de développer celte solution suivant les puissances de X et soit
Nous aurons, en introduisant une série de fonctions o„, cp,, ..., la série d'équations suivantes :
Du, = 'Çz,,;
D/., = rç,;
que Ton traitera comme l'équation (i).
Si alors |9o| est limité et que y, soit sou maximum, si y^ est 1( maximum de | o^ ! on aura, en vertu des inégalités (5) et (3),
Ta < «Ta - , < y'- ïo ; I «A I < ?^>;a M K | log M P , j .
La série (7) est donc convergente pourvu que
Xa < I
et elle nous fournit la solution de l'équation (G). Si l'on avait eu
pÇo, (ko = jlo,dM = ... = J rcp*
(Im
les fonctions u^, w,, ■•• auraient été indépendantes de la position du point P, ainsi que je l'ai expliqué dans le § VI; nous aurions doue pu
igO H. POINCARE.
affirmer que ces fonctions, et par conséquent la fonction «, demeurent finies, même au point P, . C'est le raisonnement de la fin du § ^ I. Prenons maintenant l'équation
(8) D?/ = Arj?/ + 9 4- a.|/;
s et '\i sont deux fonctions données; (ji est une constante indéterminée que je supposerai développée suivant les puissances de A,
IJL = tJL(, + AUL, + A- U^ + . . . ,
et il s'agit de déterminer u et a de façon que u soit partout fini et s'annule en K.
Je suppose que / ■]; dio ne soit pas nul . Nous avons la suite d'équations
I 9 (h') -+- u.„ I ■ic/to = o: Io„ =0 -f- Lt„i ; D i/„ = "Ci),,:
j yi„(lM -h ij., j 'l^/fo = o; r^, = r,;/„+ u,|; 1)//, = lo,;
Ir^ii^dt'i + [j.. I'\i(l<!i = o; '^92= "T'i -+- IJ"--}: Dwo = To.;
que l'on traitera comme l'équation (i); les propriétés de l'équation ( i) subsisteront, mais il y a plus; à cause de la relation
/C<pAf^w = o,
la fonction Uf, ne dépendra pas de la position du point I*,, de telle façon qu'en choisissant convenablement la constante b , l'inégalité (2) pourra être remplacée par la suivante
"''l ^ |logMk|' ce qui nous permet d'écrire
j r^i//,(ko
LES FONCTIONS FUCHSIENNES KT LÉQUATION lu = C"
i' étant une nouvelle constante, et enfin
I [A*^, 1< £"Ya,
en désignant par — la valeur de j / If/w •
Soit a' une quantité plus grande que le maximum de
) nous
avons
r. Ut
el nous pouvons trouver une quantité a ne dépendant que du point K. telle que
Il viendra alors
^ = ajlog.MK I
TA<(5'--+-a'£")YA,.
La série (7) converge donc pourvu que
Enonçons le résultat obtenu.
O/i peut satisfaife à l'équalion (8) et cela de telle J'açoit que u s'annule en K et soit toujours fini, pourvu que les rapports
soient limités.
Soit maintenant r une fonction définie de la façon suivante : Traçons autour de K une petite courbe fermée, el soit A la valeur
de Z qui correspond au sommet de deuxième espèce K.
A l'intérieur de la petite courbe, r sera égal à log ^ r- •
A l'extérieur v ne pourra s'annuler ni devenir infini. Enfin partout, sauf au point K, i' est fini ainsi que ses dérivées des trois premiers ordres.
Soit h un exposant constant quelconque.
A l'intérieur de la petite courbe, on aura
Dr^ = At'''
du
Av"
Al-
