V: io
Faisons d'abord une hypothèse particuHère sur y] et supposons qu'à rintérieur de la petite courbe vj se réduise à
- A 1= log'
cIm
.l'appellerai y],, cette fonction ■/] particulière satisfaisant à cette condition.
Il est clair alors ([u'on aura, à Tinlérieur do la petite courbe,
SI l on suppose
Je puis donc poser
Dt.''' = AY]„r'
■j/ étant nul à l'intérieur de la petite courbe et restant fini à rextérieur de cette courbe, sauf aux sommets de troisième espèce, où le rapport
— et, par conséquent, le rapport -;; restent linis. Supposons donc que l'on ait l'équation
(8 bis) Du = K'r^o ?/ -t- ç. -f- |j.'|i,
ou
est limité et où ■]> est la fonction que nous venons de définir.
Dans cette équation, [t. est une constante indéterminée de sorte que l'équation est de même forme que l'équation (8). Mais nous devons faire plusieurs remarques :
1" L'intégrale hldiM ne peut être nulle; on a, en eflet,
et r,o et r sont essentiellement positifs.
2" La fonction '^ dépend de A; elle est même développable suivant les puissances de A; en effet, on trouve aisément
Dr'' = /m-^-' De ^ /i{/i - i)v'-' L(c, r).
LES FONCTIONS FICIISIENNES ET I.'ÉQr.VTION \u ^= n" . I g3
On voit que h est développablc suivant les puissances de X, et qu'il en est de même do t'* à Vcxtcrirur di- la polilc courbe, puisqu(* dans celte région c ne devient ni nul ni infini ; il en est donc aussi de iiirini' deDt^
A rintéiieur de la petite courbe '^ est nul, el à lextérieur
Dr''-/.r.„r'
sera développablc suivant les puissances de \.
On pourra alors résoudre l'équation (8 bis) de telle façon (juc a s'annule au poinl K, pourvu que
Dans cette inégalité, a ne dépend que de la position du poinl K, elle ne dépend donc pas de A; il en est de niènie de la quantité t'
définie plus haut ; mais il n'en est pas de même de a' et de —, •
En effet, a' doit être plus grand que le maximum de ^ et ^ est
égal à / i]; ofco .
Or nous avons
'I == /h-*-'Dc -I- A(A - i)p*-=E(c.', ç) - Ar^or\
A l'intérieur de la petite courbe •-{; est nul; à l'extérieur -^ est limité.
Nous avons
cette équation, considérée comme déterminant //, admet deux racines, l'une négative, l'autre positive (puisque nous supposons A positif). Nous prendrons la racine négative ; cette racine est plus petite que X en valeur absolue.
Si alors t'„ est la plus petite valeur à l'extérieur de la petite courbe, on pourra trouver une constante A telle que
<AXr:.
Jour», de Malh. {'>' série), tome IV. — Fasc. H, 16
ig4 "• POINCARÉ.
Si maintenant nous envisageons
/ •]; dto = — A / -ri^i--'' (ko,
nous voyons que celle expression est plus grande en valeur absolue que
rintégrale étant étendue, non plus h la surface de Klein tout entière, mais à l'extérieur de la petite courbe, et, en effet, les éléments de l'intégrale supprimés sont essentiellement positifs.
Si (', est la plus grande valeur de v à l'extérieur de la petite courbe, on aura, puisque /i est négatif,
et, par conséquent,
ou
B étant une constante.
La condition à laquelle doit satisfaire — p est
Si, en effet, celte condition est remplie, on aura certainement
a' > max. de f
où /î„ est la valeur de h qui correspond à 'kg de telle sorte <|ue
Nous supposerons X„ étant une constante et
LES FONCTIONS fl'CIlSIENNES ET I.''ÉQV\TION ^U = e". I g?
Alors la coiulitioii imposée à -p- sera !)rmi remplie, cf crf/r quan-
tilr csl devenue indépendante de A.
Alors oïl poui'ra salisl'aire à ri'(|iiati()n (8 bis), pourvu que
Supposons donc ([ue nous a}oiis à la lois
el soil a la solution de Fcqualion (8 bis)-^ on aui-a, puisque nous supposons A ^ A',
D u' = Xy]o a' -\- o -¥- u.'j',
et la valeur de [o. ne sera pas infinie. On a, d'ailleurs,
Dp* = Xyi „(''' + •}.
Si donc nous posons
« = «' — [xv'\ il viendra
D'ailleurs u ne devient pas infini au point K, mais, au contraire, s'y annule; car u' el r'^ (Texposanl // étant négatif) s'y annulent l'un et l'autre.
On peut donc résoudre l'équation (9), pourvu ipic ^ soil liinilé.
Nous avons, il est vrai, fait une hypothèse toule particulière sur la fonction v), supposée égale à Vjo; posons donc l'équation plus généiale
je dis qu'on saura également l'intégrer. Posons, en effet,
en attribuant à A une valeur assez petite pour qu'on ait
'k<i\, Aa<i,
I ()6 II. POIXCAHÉ.
l't que, par conséqueiU, on puisse inlégrcr réquation (9). Envisageons l'équation
(11) Di/ = (X-^„ +[/•/)')« + '^,
On peut assimiler cette équation à Téquation (6) du paragraphe précédent, réquation (9) étant elle-même assimilée à l'équation (5) (lu même paragraphe.
Le rapport y^ est, d'ailleurs, limité.
On voit donc, parle raisonnement du paragraplie précédent, que l'on saura intégrer (i i) pourvu c|ue \j. soit assez petit; et ensuite, en répétant le raisonnement applicjué à l'équation (9) à la fin du même paragraphe, (pic l'on sait encore intégrer (11), cjuclle que soit la valeui' atlrihuée à ijl, et en particulier pour i;l ^ i .
On sait donc intégrer l'équation (10).
Le théorème une fois étahli pour le cas où il n'y a qu'un sommet de troisième espèce, la méthode de M. Picard permettrait facilement de le généraliser quel que soit le nomhre de ces sommets.
Mais je préfère arriver directement au résultat; je suivrai une voie peu diflérente de celle qui m'a servi dans le cas particulier traité d'abord et que je pourrais suivre encore, si je ne craignais de trop me répéter.
Je supposerai deux sommets de troisième espèce Iv et Iv,.
La fonction y] sera partout positive; elle ne deviendra infinie (pi'aux sommets de deuxième et de troisième espèce; aux sommets de
deuxième espèce, elle sera infinie de l'ordre 2 — -; en K elle sera ^ Il
infinie de l'ordre
MKMog^-MK'
et, de plus, développable suivant les puissances de MK et de et de même en K, .
La fonction '( sera partout positive et le rapport
ïllogMKlogMK, I
losMK
LES FONCTIONS FLCHSIENNES ET l'ÉQVATION SiI = I'" . 1 f j^
sera limité, di' ti'llc façon qirati [loiiil K, par exemple, Ç sera de
l'ordre de
MK-log^Mk"
On verrait alors, comme [)lus haut, «pion peut trouver une cuiistante !>' telle cpie
J:,./«.!G(M,K: M,.P,)i<//||g|Ji
j:,./o..|Cx(M,K,:M„P,:,|<^i;^;
Soit ensuite o une fonction satisfaisant au\ conditions (i2) /wÇ.f/co = o; /o,'^, G(K,, K; M,, Pi^c/w, = o
et soil
./=Jo,r.G(M,K;M,,P,)f/co,.
A cause des relations (12), on aura également
//^-y9.(:.G(M,K,;M,,P,)f/co, = Jo,r,G(M, K; M.,P,)f/a.. =yo,(:.G(M,K.:M,J>,),/co„
Po étant un autre point arbitraire de la surface de Klein. On pourra donc trouver une constanle b' telle que l'on ait à la fois
, . ,, IlosMP, I , I . , ,
' loirMK 1 11"^ I
lo^MP,
iosMl^,
loiîMIv
logMk, logMt^,
[log-MK,
En d'autres termes, u est fini même dans le voisinage de P, el de i\
•s petit de Tordre de ,-j — rrrH' n — ... ,' dans et K.
et très petit de Tordre de ,-j — rrrH' n — ... ,' dans le voisinai^e dr Iv
On aura donc, en choisissant convenablement la constante h",
logMK. logMK, I Posons
soit y' If maximum de Iqp'i': et -tti celui de ^rn — nr^ — ïtf-t- Nous ' IT I' /," ^ I logMK logMK. I
aurons
(i3) Y'<aT
inégalité analogue à (5).
Cela posé, envisageons l'équation
(i4) Dw = A-/] i/ -f- 9 + [j.'| -4- tx''j/',
où cp, vp, ']/' sont des fonctions données ; \j, cl iji.' des constantes indéterminées.
Peut- on l'intégrer de façon que u soit toujours fini?
Nous supposerons :
1° Que les rapports |^, 'tij sont limités; 2'' Que les intégrales
f'i^'di.o, y'|,G(K,K,,M.,P,)f/co,
sont diflérentes de zéro ;
J'écrirai, pour abréger, g au lieu de G(K, K,, M,, P, ); 3° Que
Nous supposerons «, [a et jj.' développés suivant les puissances de X. ;/ = i/o -f-X«, +..., |j.= [j.„-f-X[J., -H..., a' = [j.;, -f- Au.; + . . . .
LES FONCTIONS FVCHSIENNES ET l'ÉQIATION Am = C".
Nous aurons la suite d'équations
[x; = O, jo,gd(M, 4- Lt.^jl^,gdbi, = o,
jo\gdoy, + a, l'\',gd(^, = o,
Y] W„ 4- U., -^ + L«.; •]/' = "Cçé J Dj/, = 'Co'„ ,
f Y] u,doi -+- [ji!, / 'j/' rfco = o , Tj «, -+- al 'i' = o", jo'[gd<.o, -h a., j ■\i,gd(M, = o,
Y] «, + u., •]/ + u.; f = ^ç; , D//, = "Co;.
Bien entendu, 'ji,, ç',, !p',', . .. l'eprésentcnt les valeurs (jue |iiiiiiiciil les fonctions ']/, ç', 9", . . . quand le point M vient en M,.
On voit que spo, ÇÔ? ?o5 ■•• n'ont aucun rapport avec 9,, 9,) 9^ ■•• ou avec 9, 9', 9", . . .
Soient Y„, y,, y^, . . ., les maxima de 9», 9'^, 9°, ....
J'aurai d'abord
logMK.logMK,
d'où je conclus que je puis trouver une constante c telle que
< cyo
et comme / '\i'd(o est une constante différente de zéro, je puis trouver une constante c' telle que
Si alors j3 et P' sont les maxiuia de
Ç|logMKlogMK,|
et
on aura
H. POIKCARE.
Or l'intégrale A= jCg^dw, est une conslanlc finie, el l'intégral //'= / '^/f^dco, est une constante différcnlc de zéro. On a donc
el
Or
><\<C^ + (^'ii')i-r{..
fj-,
Si [3" est le maximum de y
, il viendra
ou, en posant
on trouverait de méuie ou, plus généralement, Nous voyons que la série
converge pour et comme
Ya< a-v,.
Aa< I,
logMK. logMIv, l'
il en sera de même de la série
LES FONCTIONS FUCIISIENNES ET l'ÉQI\TI<)N A» = t'". 20 1
Traçons niaiiilcnanl luilour de K et de K, deux petites courbes fermées. Soit daillcurs r une fonction définie comme il suit.
Je désifïne par A et A, les valeurs de Z correspondant aux deux points K et K,.
A l'intérieur i\i' la petite courbe entourant K, on aura
log
A l'intérieur île la seconde peliti' courbe, e est partout nul. A l'extérieur des deux courbes, r ne peut s'annuler ni devenir inlini. Kntin e est partout fini ainsi cjue ses dérivées des trois premiers ordres. Nous poserons ensuite
CA = h(h — r);
C étant la valeur que prend •/] | Z — A |^ log' | Z — A | au point K et /> étant la racine négative de cette équation du second degré; soit
.le dis que la fonction - est limitée.
En effet, c'est seulement au point K que le rapport - pourrait devenir infini.
Or, dans le voisinage du point K, la fonction /], par bypothèse, est développable suivant les puissances entières croissantes (positives ou négatives) de
(Z--A), (Z„-A.,) et rV
log
il en est de même de
^,/> log-''
f" loo-
et, par conséquent, de
Ô log-^
Dans le développement de 0, les termes qui sont de Tordre le plus
Journ. de Math. ( î' série), tome IV. — Fasc. II. 1S98. 20
202 II. POINCARE.
élevé, c'est-à-dire de Tordre de
Z - A l-Moi?-^-''
se détruisent, et les termes de Tordre immédiatement inférieur, c'està-dire de Tordre de
|Z- Aj-Mog-'^''
seront très petits [)ar rapport à 'Q (puiscjue li est négatif); donc -
reste fini. c. y. f. h.
Soit maintenant r' une fonction engendrée comme p, mais de telle façon que le point K, joue le rôle du point K et inversement, c'està-dire que l'on ait à l'intérieur de la première petite courbe
H à l'intérieur de la seconde
V = loi
Soit C la quantité qui joue, par rapport à K,, le même rùle (jue C par rapport à K; soit enfin //' la racine négative de Téqualion
et posons
nous verrons encore cpic y est limite.
Soient maintenaul .j; et 'i;' deux combinaisons linéaires de 0 et 0'
•| =aO -H cO',
Je dis cpTon peut choisir les coefficients constants a, b, c, cl de Irlli façon que
LES FONCTIONS FLCHSIENNES ET l'ÉQUATION Su = t'" . 2o3
Four (jue ccl.i fût impossible il lauclrail en effet qiio l'on eiil : ou bien
ou bien
Af/w = Çh'dto = o
Comme f cl c' sont arbitraires sur une partie de la surface de Klein, on pourra toujours s'arran^^er de façon que cela n'ait pas lieu.
Seulement il importe de remarquer que •i> et 'l' dépendent de A; le
rapport entre le maximum de ^ ^M / '|io ^'«^i » ^^ '*-' rapp"i't entre le
%r et l'\i'd(ii dépendent aussi de >..
Il importe de rechercher si ces rapports ne deviennent [)as infinis (|uand A s'annule.
Cherchons donc les limites de - et y pour X ^ o.
Pour cela nous nous servirons de la formule
Di-''=/a^'-' Dr + h(h - iji-^- E(v, t'). Si Ion tient compte alors de
De-'' = AT, r^ + 0 ; C'a = /i{/i -i ).
il viendra, en divisant par A et faisant tendre A vers o, — C h C . ' = n -f- hni ^ •
Si nous appelons 0^ et 0|, les limites de r- et -> nous voyons que les fonctions -;? et -^ sont limitées: en effet, dans le voisinage des points K et K,, Dr s'annule et la différence
