CK

204 H. POINCARE.

est, au plus, de Tordre de

1 Z - A |- log^'

t est-à-dire de l'ordre de l.

D'autre part, comme v et r' sont arbitraires sur une partie de la surface de Klein, nous pourrons nous arranger pour que l'on n'ait pas

I ô„ cIm A;, , g- (ko , — / o;, r/w ^ o„, , - d^ , = o,

c'est-à-dire que l'on peut s'arranger pour que les rapports dont il a été question plus haut ne deviennent pas infinis quand X s'annule. Formons alors l'équation

{l5) Du = A't, « -{- o -h U'^ -r Ui.''J/ .

C'est l'équation (i4)) sauf cju'on a changé A en A': elle est donc intégrable pourvu que

La cjuantité a a été définie plus haut; elle est seulement assujettie à avoir une limite inférieure. ^lais cette limite inférieure dépend de a puisque ']^ et '\i' dépendent de A.

Toutefois, elle ne deviendra pas infinie pour A = o, puisqu'il en est ainsi des deux rapports dont il a été question plus haut.

Donc, si nous faisons varier X de o à X„, cette limite inférieure restera plus petite qu'une certaine quantité j3, et il suffira de prendre a indépendant de X et [)lus grand que p, pour que nous puissions affirmer que notre équation (i j) est intégrable toutes les fois que

aX' < I .

Soit //„ la solution de cette équation (i5), et soit maintenant ré(piation

(iG) Du = 7cqu -h ^, jod(3i = o.

LES FONCTIONS FLCIISIKNNES ET l/ÉQUATION \tt = c" . 2o5

On résoudra celle cqiialioii en l'iusanl

i, =:= u„ - aiav'' -h cv "■') — uJ'{bv'' -+- di--"''),

en avanl soin de faire

et cela sera permis pourvu que

On remarquera quelques difTôrences enlre la démonslralion que j'ai donnée daus le cas d'un seul sommet de troisième espèce et celle que j'ai donnée dans le cas de deux sommets.

Dans la première, j'ai employé un détour en me servant de la fonction auxiliaire yjo; dans la seconde, j'ai évité ce détour, mais j ai dû supposer que •/; était d'une forme particulière, c'est-à-dire développahle

suivant les puissances croissantes de Z — A, Z„ — Aq, . „| 7 > i • Celle

coudilion esl d'ailleurs remplie dans les applications que nous aurons à faire.

.l'aurais pu louL aussi bien faire le contraire, mais j'ai voulu donner un exemple de deux procédés différents de démonstration.

Si l'équation (16) est inlégrable pour / ocho = o, elle le sera également quand celle condition ne sera pas remplie, car nous pouvons trouver une fonction r telle Cjue

Nous pouvons ensuite choisir la constante a de telle sorte que

UL / (Di- — ATj r) dw = — \a r, r dto = f o do

Nous pourrons alors intégrer l'équation (16) Bif = lr,u -h[o — iJ.(Dr — Ar,r )|.

/OJ.

2o6 II. POINCARÉ.

qui satisfait à la condition

j [o — [^(Dc — ATj t')J f/oj = o.

L'intégrale de (iG) est alors égale à l'intégrale de (17) augmentée de pif.

En résumé, ce que nous avons dit au paragraphe précédent de l'équation (i) reste vrai quand il y a des sommets de troisième espèce ; ce que nous avons dit dans ce même paragraphe des équations (5), (6) et (9) reste donc vrai également.

Nous pouvons nous résumer en disant que l'équation

(17) Du = TjW — 9

est susceptible d'être intégrée. Ce résultat n'est établi jusqu'ici qu on supposant que le rapport J est limité.

Je dis maintenant qu'il sera vrai encore pourvu que le rapport ^ soit limité et partout bien déterminé.

Nous avons, en effet,

Le rapport ^ est fini, sauf aux sommets de troisième espèce; nous

n'avons donc qu'à examiner ce qui se passe dans le voisinage de l'un de ces sommets.

Nous avons supposé plus haut que, dans ce voisinage, -q est développable suivant les puissances croissantes de

Z — A, Z„— Ao

^»' log|Z-A| Nous supposerons qu'il en est de même de '^.

Si, alors, nous ap|)i'lons a la valeur du rapport - au sommet d< troisième espèce K et (pie nous posions

le rapport^' restera lini au point K.

LKS FONCTIONS KICIISIENNES ET l'ÉQLATION \u = >'" . 20^

Supposons donc, pour fixer les idées, deux sommets de lioisiiMne

espèce K et K, ; soient a cl a, les valeurs de ^ aux points K et K, .

Soit V une fonction quelconque, linie et continue ainsi que ses dérivées des trois premiers ordres et prenant les valeurs a et rz, aux points K et K, ; on aura

(18) D(« — i') — r^u — f) — (? — •'ji'-i- Df).

Ccjinme le rapport

3 — T, (• -4- Dl'

reste lini aux points K et K,, on saura intégrer ré([uatioii (18^ et, par conséquent, l'équation (17).