partie imaoinaire de Lifi ou l'argument de 1 ^ dz dz

quand z varie de a' à b'.

Je rappelle que les côtés de R^, ah, a'h' sont des arcs de cercle; je vais mener aux points a, h, a', h' les tangentes aux arcs de cercle ah, a'h'; soient ac, bc; a'c', b'c' ces tangentes. Soient maintenant w^ , w, , o>.^ , co^ les arguments des quantités imaginaires (c — a), {b — c), (c' — a'), {b' — c').

Supposons qu'on opère de la même manière pour tous les côtés du polygone curviligne i?„; on obtiendra un polygone rectiligne P^ de in côtés, dont les côtés seront les tangentes menées aux côtés de R^ par les sommets de B^ et dont les sommets seront ceux de R„ et les points tels que c, c'; je désignerai simplement par les lettres c et c' les angles du

222 H. Poincaré.

polygone P^ qui correspondent aux sommets c et c'. Outre les sommets tels que c, le polygone P^ admet 2n angles qui lui sont communs avec

iî„ et dont la somme est >— , d'où la relation:

Nous pouvons écrire maintenant:

arg. -p = Wj — W3 pour ^ = a

arg. -li = oj^ — Wj poiu' z = h'

J = m{co,^ — w, — (o^ + (o^)

c = 0),, (O^ -^ TT

L'intégrale (7) prise le long de tous les côtés de la 1'" sorte aura donc pour partie imaginaire > J ou bien:

2ftm;T

ou

{in — 2)m;r— 27r > -^ — 2n«)7r = (h — \)2m7z — 2- > ;^ L'intégrale (7) se réduit alors à: