IX. — Application du calcul des variations
J'arrive à l'étude de l'équation (1) Dl] = (ie^-^
dont, nous l'avons vu, dépend le problème de la forinatiou des l'onctions fuchsiennes.
Mais, avant de démontrer par des procédés rigoureux l'inlégrabilite de cette équation, je veux d'abord la faire pressentir par un de ces aperçus fondés sur le calcul des variations dont on fait quelquefois usage en Physique mathématique.
Pour cela, je suppose d'abord que $ soit toujours positif, et je donne à la fonction L un accroissement infiniment petit oL .
J'envisage l'intégrale
( 2 ) To i: cko ( 0 e^ - $ - D l ) .
étendue à la surface de Klein tout entière. L'intégration par parties donne
foi: DL rfw = - /'E(U, oU ) dco,
2o8 H. POINCARÉ.
de sorte que lintégrale (2) devient
fd(a[(fie' — (p)oV + E(U, SU)].
Or
(Oe^ — $)âU = o(Oe'^ — $U); E(U, SU) = ^ âE(U, U).
Notre intégrale (2) n'est donc autre chose (juc la variation oJ, en posant
.1= j'doj r^E(U, U) -f- OfL - tI>U I-
La variation oi ne peut donc s'annuler sans que l'équation (i) soit satisfaite.
L'intégrale J admet-elle un minimum"? E(U, U) est essentiellement positif; quant à l'expression
Ôe^ — $U,
elle atteint son minimum pour
écjuation à lacjuelle on peut satisfaire, puisque *I» et 0 sont toujours positifs.
Le minimum atteint est
$ ( T — log
Donc on a toujours
J>yf/w$(^i — log*
Donc J a un minimum.
Donc on peut satisfaire à l'équation (i).
Supposons maintenant que $ ne soit plus toujours positif, et soit $(, la valeur moyenne de $, de telle façon que
*„ Tf/w = TOf/co.
LES FONCTIONS H ClISIENNES ET l'ÉQIATION lu = f" . 20{)
Nous pourrons poser alors
(M l'on aura
/ <I>, t/to = o.
.le dis qu'on jkhiI satisfaire à léquation (i), pourvu (|ue <!>„ soil positif.
En effet, ]iuis(pi()u a
on peut trouver une fonction it telle que
Dj/ = — cl),.
Posons alors
U = V + r; l'équation (i) devient
{\Ih.s) DV = 0c'r''-4)„.
()a pourra résoudre réc|uation (i Lti.s) qui est de même forme que (^i), car ô<?''est toujours positif et cPu est une constante positive. Peut-on maintenant résoudre récjuation (i) quand
l<Pd(ii <o"?
Non ; en effet, on a
/bu (ko = o et, par conséquent,
/(p^/to = /0«-%/co>o.
Donc, la condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse résoudre l'équation (i), c'est que
Aprfco >o.
Journ. de Malli. (3' série), lomc IV. — Fasc. II, 189S. 2^
2IO H. POIMCARE.
