X. — L'équation DU
Nous allons maintenant donner de ce résultat une démonstration rigoureuse.
Envisageons d'abord l'équation
supposons qu'on sache l'intégrer et qu'elle admette comme intégrale
Envisageons ensuite l'équation
(2) D« = Gt^"— 9 - A'|.
Je me propose de chercher à quelles conditions celte nouvelle équation sera intégrable.
Pour cela, je suppose u développé suivant les puissances de A et
j'écris
Alors e"'"" sera également développable suivant les puissances de 'k, et je pourrai écrire
C"'"., =r I -4- X ;/ I + A-' f/^ -J- X' llj -h. . .,
J'aurai évidemment
II', ni II-, II.,
En général, les w seront des polynômes entiers peu- rapport aux iif, et les coefficients de ces polynômes seront tous positifs.
Alors «/„, W|, ... nous seront donnés successivement par les équa-
LES FONCTIONS FLCHSIENXES ET l'ÉQVATION lll ^= f" . 211
tiens
(l) D^/„ = Or".-ç,
Nous avons supposé' qu'on savait intogrer loijuation (i). D'autre part, d'après les paragraphes VU et A III, on sait intégrer les équations (3).
Dans la première équation (3), 0, ;/„ ci'i^ sont connues, et «, est la fonction inconnue; dans la seconde, 0, ii„ et vi\, sont connues et u., est la fonction inconnue et ainsi de suite.
Voyons maintenant à quelles inégalités satisfont les fonctions «< ainsi formées.
Quand ii., atteint son maximum, Du., doit être négatif; donc
Au contraire, quand «, atteint son minimum, on doil avoir
Donc le maximum de u.^ est plus petit que celui de (— a.,) et le minimum de u., plus grand que celui de (— n\).
Donc le maximum de | u.^ \ est plus petit que celui de | w.;, \.
On verrait de même que le maximum de | «3 1 est plus petit que celui de \w^\ et, en général, que le maximum de | a* 1 est plus petit que celui de \w^\.
Pour la même raison, le maximum de | u^ \ est plus petit que celui de
6e"o (^Rappelons que 6 et e"« sont essentiellement positifs).
Donc
H. POINCARE.
max de I w , I -^ — -. L .
Mais Uo satisfait à l'équation
Dw„ = Of'""-o.
(juand Ug atteint son minimum, on doit donc avoir
Oe"»- 9>o et, par conséquent, si cp est toujours positif,
min de «"■> min
d'où enfin
max I «, I <C
Soit u\, u.,, ..., i/\, ... une suite de constantes positives, soit w',. un polynôme formé avec les Uj comme «'* Test avec les Uj.
Comme les polynômes iv/, ont tous leurs coefficients positifs, si Ton suppose
ïf\ > max I u, [, II, > max | u., |,
«);,> ma x|;/
on aura
w'i^ max |a'
et SI 1 on suppose
on aura
w^> max|ivv|> maxl^/^l, de sorte cjue, de proche en proche, on aura (4) "a=«'Â> ir;>max|iVAJ, ;/', > max | W;;
LES FONCTIONS FICIISIENNES ET LÉQIATION lu = c" . 21 3
l'osons niaintoiiant
( ) ) t.' = A ii\ -+- 1- u,-h...\
il viendra, dapivs la déliailion des polynômes a- et «•',
(-'' = I + A i/\ -+- X' it'., -+- X' u.^ -(-... + A"-'(r'^4- X'a-', -f-.. .
cm, à cause de régalité U/.= «'^,
Gomme u\ n'est assujetti qu'à être plus i^nand (pic le maximum de u,, je prendrai
max
min
De l'équation (G), je tirerai r en série ordonnée suisanl les puissances de "k, et la limite de convergence de cette série correspondra à la valeur de X pour laquelle l'équation ((3) a une racine double.
Or, en difîérentiant l'équation (G), je trouve
r = lo"' 2.
lu, = \ogi - I
Donc, la série (j) converge, pourvu que
lA^/,I<log4-'.
Donc, en vertu des inégalités (/i),
converge absolument et uniformément.
Il en est de même de la série
(-" = e"« ( I -H X w, -+- X- u„-+-. . .-h 1" Kv.,
2l4 H. POINCARÉ.
En effet, les termes de cette série sont respectivement plus petits que ceux de la série convergente (à termes positifs et constants)
Formons donc les deux séries
0 c" - tp - X'I = V„ + À V, + A- V, + . . . et
fwiGdM, + X Tv; Gf/w, + r- fY!X' dco, +...,
où j'ai écrit, pour abréger. G, au lieu de
et où VJl est la valeur de la fonction V/t au point M, .
La première de ces séries sera uniformément convergente, de sorte que la seconde représentera l'intégrale
J = ('(de" - 9 - A'I), G (/w, ,
ou
(Ge«(p--À4.), représente la valeur au point M, de la fonction
Oe"— o — À'|.
On a donc
DJ = Ge"- cp - À'|.
D'autre part, on a
D ("v; G ^/w, = V, = Ot'"»«, - <]>,
LES FONCrrON'S FUCnSIENNES ET l'ÉQU.VTION lu = C" . 21 5
En résumé, si nous posons, pour abréger,
J V;Grfcu, = c;i,
on aura
cl, par conséquent,
C^ étant une constante. Les deux séries
w = V >/ a^ et y^ XSvi = ,[
sont convergentes et la convergence est uniforme, pourvu que M reste en dehors d'une petite courbe entourant le point P,.
Soit donc «la somme de la première série et J celle de la deuxième;
soit c celle de la série y X*C^, on aura
C = J + c et, par conséquent.
Notre équation est donc satisfaite
)sitif etnne les rannnrts
Cela suppose que 9 est toujours positif et que les rapports | et ^ sont
limités et partout bien déterminés.
L'équation
(7) DM = Oe«-aO
admet-elle une solution quelle que soit la constante positive a? Oui, car elle admet pour intégrale
a = loga.
Soit maintenant l'équation
(8) D« = Oe"-aO- u|,
où t]/ est une fonction toujours positive et telle que ^ soit limité.
2lG H. POINC\RÉ.
Est-elle toujours intégrable quelles que soient les constantes positives a cl [j.?
Changeons [j. en ij. + 1, l'équation devient
(8 bis) Bit = Oc" -^yJ) - u.'| - A'I,
qui se ramène à la forme (2) en posant
Comme u.'\/ est essentiellement positif, nous avons
min ae
Si donc l'équation (8) est intégrable, il en sera de même de ( 8 hi.s-) pourvu que
max
> log 1 - I
Si donc l'équation ((S) est intégrable pour
elle le sera encore pour
[j-u < p- <!-»•«-<- (log 4 - 1)
et, par conséquent, pour
[J; <[>■< !^u + ^ ^( log \ - i),
et comme le nombre « peut être pris aussi grand que l'on veut, elle sera intégrable pour toutes les valeurs de [x supérieures à [/„.
Or l'équation (8) est intégrable pour jj. = o, puisqu'elle se réduit alors à l'écjuation (7); elle est donc intégrable pour toutes les valeurs positives de [x. c. o. v. u.
LES FONCTIONS FUCHSIENXES ET l'ÉQI \TION lu = r" . 217
On peut conclure do là que l'équation (0 DM = Oe"— o
est toujours intograble pourvu :
I" Que la fonction o soit toujours positive et ne puisse s'annuler;
a° Que cette fonction reste finie, sauf aux sommets de deuxi«''me et de troisième espèces où 0 devient iufini;
3° Pourvu, enfin, que le rapport | tende vers une limite déterminée
quand on se rapproche de l'un de ces sommets et que celle limite ne soit ni nulli\ ni infinie.
Dans ces conditions, en elTel, le rapport | restera constamment compris entre deux limites positives, de telle façon que
Nous pourrons poser
9 = aO H- '|.
Alors ■]/ sera toujours positif et le rapport ~ sera limité. L'équation
B 11 = fie"- aO — ul|
sera donc intégrable pour toutes les valeurs positives de a et, en particulier, pour la valeur i . c. q f d
Dans le cas particulier des fonctions fuchsiennes de la première espèce, il n'y a pas de sommets de deuxième el de troisième espèce, la fonction ô est toujours finie, et l'équation (i) est intég-rable si la fonction o e.st toujours positive et toujours finie. Elle l'est, en particulier, si o est une constante positive.
Supposons maintenant que o soit toujours finie, mais ne soit pas toujours positive. Soit o» la valeur moyenne de o. de telle sorte que
Joiirn. de Math. {5' série), lomc IV. — Fasc. II, i8q8. 28
21 s n. poiNCAitii.
11 cxislera alors une fonclion c qui satisfera à
Dt' = ç/„ — o,
puisque j(0o — 9) f/w = o. (Cf § VI). 11 cxislera une fonclion a- satisfaisant à
Dn- = 0
pourvu que la constante 9„ soit positive.
La fonction
satisfera alors à
Donc, </a«s le cas des fondions fuchsiennes de première espèce, c'est-à-dire dans le cas où 0 est toujours fini, si, d'ailleurs, la fonction 9 est toujours finie, la condition nécessairr et suffisante pour que l'équation ( 1 ) soit intégrable, c'est que la valeur inoyenne de o soit positive.
On peut généraliser ce résultat pour le cas où il y a des sommets de deuxième et de troisième espèce.
Supposons, en effet, que la fonclion 0 soit loujours finie, saut aux
sommels de deuxième et de troisième espèce, où le rajiport '- tend
vers une limite positive déterminée qui nV'sl ni nulle, ni inlinie. Supposons de plus que
/ o (/oj ^ o.
11 est évident qu'on pcul poser
? = ?> + ?^ et cela de telle façon :
1° Que cp, soit toujours positive;
2" Que c&o soil toujours finie;
;3" Que '
/ 9. dw ^=
