I.ES FONCTIONS FUCHSIENNES ET I.'ÉQIATION A« := fi". 2)f

Alors le rapport j toiulra vers iiiir limilc liiiic cl diiïércnte di; o dans le voisinage des sommets et ron aura

I 9, c/oj > o.

Donc on trouvera des fonctions v et w (jui satisferont à

!)«• = Ofi%'" — 9,.

La l'ouclion

satisfait alors à Fccpialion (i).

Donc l'équation est inlégrable aux conditions suivantes : i"^ Si la iialeur moyenne de 9 est positive ;

2° Si le rapport ^j tend vers une limite positive finie et différent)-

de o quand on se rapproche d'un sommet de deuxième ou de tioisième espèce.

Il subsiste encore une restriction dont je voudrais me débarrasser.

Le rapport ^^ doit être lini aux sommets de deuxième et de troisième

espèce, et, de plus, en ces sommets, il ne doit pas s'annuler. Cette restriction est essentielle en ce qui concerne les sommets de troisième espèce, mais elle doit disparaître en ce qui concerne ceux de deuxième espèce.

Soit, en effet, ■\i une fonction quelconque assujettie aux conditions suivantes :

1" Sa valeur moyenne sera nulle; 2° elle est liuie piutout, sauf aux sommets de deuxième espèce; 3° aux sommets de deuxième espèce,

le rapport ^ sera positif et différent de zéro; on pourra alors, en vertu

des principes du § VI, intégrer l'équation

Dr = 'f On ne le pourrait pas si nous avions supposé que le rapport ^ était

220 H. POINCARE.

différent de o aux sommets de troisième espèce. L'intégrale

('■];,G(M,P;M,,P,)f/co.

ne serait pas alors restée finie quand M serait venu en un de ces sommets.

Soit, d'autre part, l'équation

(i) DM = Oe"— 9

et supposons que cp satisfasse aux conditions suivantes : 1° On a

/ cp f/w > o ;

2° Le rapport ? a partout une valeur finie et déterminée;

'3° Aux sommets de deuxième espèce, cette valeur peut être positive, négative ou nulle;

4° Aux sommets de troisième espèce, elle sera positive et différente de zéro.

Si nous posons

u — Xt' = «',

il viendra

( 9 ) Dfv = 0 e" c"- — 9 - A'!- .

Nous pourrons prendre la constante positive X assez grande poin^ (pie. aux sommets de deuxième espèce, les rapports

Oe^"

est hmite.

soient positifs, et, en effet, ^ est positif,

Aux sommets de troisième espèce, ces rapports sont égaux à

o' Oe^-"

et, par conséquent, positifs d'après l'hypothèse.

LES FONCTIONS FUCIISIENNES ET l'ÉQUATION Am = t'". 221

On pourra donc intégrer l'équation (9) rt, par conséquent, Téqualion (i).

En résume, voici les conditions pour qui- V équation {\) soit iiitrgrable :

i" Ou doit avoir

1° Le rapport -^ doit avoir partout une valeur Unie cl clélenuiuée;

3" Celte valeur, <[ui peut être ipielcouquc aux sommets de deuxième espèce, doit être positive et diirérentc de zéro aux sommets de troisième espèce.