PRÉFACE DU TRADUCTEUR

On sait que les théories ordinaires du calcul intégral sont en général impuissantes, lorsque l'expression à intégrer renferme un radical sous lequel se trouve un polynome d'un degré supérieur au second. On ne peut, dans la plupart des cas, ramener ces intégrales à une forme normale connue.

Legendre, le premier, a traité des expressions de cette espèce, pour des irrationnelles renfermant des racines carrées de polynomes du troisième et du quatrième degré. Il les réduisit à trois formes simples, auxquelles il donna le nom de fonctions elliptiques : il a formé des tables pour le calcul numérique de ces fonctions. Plus tard, seulement, grâce aux travaux remarquables d’Abel et de Jacobi, et surtout de leurs successeurs, on reconnut que Legendre avait pris la question à un point de vue très-désavantageux. Abel montra l'utilité de la considération des fonctions inverses des intégrales de Legendre. Il fit voir la possibilité d'établir une théorie de ces fonctions inverses analogue à celle des fonctions trigonométriques. C'est à ces nouvelles fonctions qu'il a donné, et que l’on donne encore

aujourd'hui, le nom de fonctions elliptiques. Quant aux fonctions de Legendre, on les désigne maintenant sous la dénomination d'intégrales elliptiques. Le point de départ du géomètre suédois est la double périodicité des fonctions elliptiques, propriété que Legendre n'avait pu découvrir dans ses intégrales. La voie toute nouvelle, ouverte par Abel, fut suivie par la plupart de ses successeurs. On abandonna complètement le terrain exploré par Legendre. De nombreux travaux dûs particulièrement à M. Hecrmite et aux géomètres allemands, donnèrent à la théorie un développement considérable : elle est devenue une des parties les plus importantes de l'analyse. Ses applications à la mécanique, à la physique mathématique, à la théorie des nombres sont si nombreuses qu'il est nécessaire de la rendre classique. | Cependant, la théorie des fonctions elliptiques est peu répandue : quelques géomètres seulement s'en occupent avec ardeur. A quoi attribuer cet abandon d'unc partic des mathématiques, si féconde en résultats remarquables, sinon au peu de soin que l’on attache à son enseignement. Il est regrettable que M. Liouville, qui a traité plusieurs fois ce sujet au collège de France, n'ait pas publié ses belles leçons. Il est étonnant qu'aucun géomètre français n'ait fait pour la nouvelle théorie le travail que Legendre avait exécuté pour les intégrales elliptiques. La Théorie des fonctions doublement périodiques de MM. Briot et Bouquet, dans laquelle on reconnait les lecons de M. Liouville, est le seul ouvrage publié en France sur cet objet. En Allemagne, au contraire, plusieurs auteurs ont publié des traités sur cette matière. 11 nous suffira de citer les noms de MM. Durège, Schellbach et Schloemilch. Ces ouvrages ont eu un succès complet. Nous avons pensé que la traduction de l’un d’entre eux pourrait rendre quelque service pour l'étude de cette science. Nous avons préféré le traité de M. Schloemilch, parce que l’on y trouve les deux théories bien séparées : dans la première partie,