A ET
sin? am w cos? am w a w w 0 0 w © 2 cos? am w w w r=— | du | rs du, s—— | du | k3 sin? am w dw, 0 0 am w 0 0
les formules (55), (56) et (57) nous donnent les suivantes :
. eP ef e” sinamw——; cosamw— -; Aamw— —. (58) e° e° e’
D’après cela, les trois fonctions elliptiques principales peuvent être considérées comme des: fonctions fractionnaires à dénominateurs égaux. Nous nous otcuperons d’abord de ce dénominateur.
Si le chemin d'intégration de w est tel que sin am w reste synectique le long de ce chemin, alors, comme on sait, s est aussi une fonction synectique de w; il en est de même de e’. Si, au contraire, le chemin d'intégration passe par des points pour lesquels sin? am w devient infinie, on peut remplacer ce chemin d'intégration par un autre chemin qui ne passe pas par ces points, pourvu que l’on ajoute les valeurs de l'intégrale qui correspondent aux circuits des points d'exception qui en résultent. Alors s se subdivise en une partie synectique et une autre asynectique.
Or, sin? am w devient infinie pour
w —2mK+1(2n + 1)K,
m et n étant des nombres entiers quelconques. Désignons, pour abréger, cette valeur par c, et supposons que le point d'exception en question soit entouré d'un contour quelconque très-petit; pour tous les points de ce contour, w est de la forme w = c+ x + 1y = c + z.
On a alors : |
. 1 k* sin° amw = K* sin* am (c+z) — 4? sin? am (iK/+ z) — —— ee sin? am z
Pour un contour suffisamment petit, mod z reste compris à l’intérieur
des limites requises pour l’existence de l'équation (54), ct il vient :
ksintamw—=-, + —— + 5% — +...
ou bien, en vertu de la valeur de z, | : 1 A+k 1—K+k:
* sin° = D, ——— ——— 2 .….
k? sin° am w Go — 0) + + 15 (0 — +
Il suit de là un résultat de la forme suivante :
t wÙ du | k? sin? am w dw = —1.(c—w) + W, 0 0 où W représente la somme d'une série convergente qui s’annule pourw—c. Si l’on suppose ce calcul effectué pour tous les points d'exception ci, ce, etc., et si l’on désigne par f (w) la partie synectique de s, il vient : | 8 —=f({w) + l(ca— 10) + L(ca— 0) +
Wii Wa—Ws— ct et — (cs — w) (ce — w) cc. QD) Wa—-Wa—,
Quoique 8 ne soit pas synectique, et devienne infinie, à cause des logarithmes, pour w& = C1, W = Ca, etc., cependant la fonction e’ s'annule en ces points, et elle est synectique. Il s’en suit que e’ peut être développée pour toute valeur de w, en une série procédant suivant les puissances croissantes de w.
Comme on l'aura remarqué, les conclusions précédentes reposent sur cette circonstance que la fonction &? sin? am w prend, dans le voisinage d’une valeur particulière w — c, pour laquelle elle est infinie, la forme
= * + Pwt+ Le
en d’autres termes, k? sin? am w devient, pour w — c, une quantité infinie
du même ordre que = La même propriété a lieu pour les trois
&w—9 fonctions suivantes :
| A? am w k? cos? am w Le D num an? 72 nu a? TTAS an as ?
sintam?#w cos? am w A? am w
seulement ici les valeurs de c sont outres que ci-dessus. La suite des raisonnements reste la même, c'est-à-dire que p, q, r, deviennent infinis à cause des logarithmes qu'ils renferment; mais eP, e?, e” restent synectiques, et peuvent être développés en séries.
La détermination des coefficients des séries ne présente aucune difficulté. On trouve d’abord, d’après (47),
Le a +, 2+13k+ 94 Sin° am W—=w0 TZ F7 89 .…..,
ensuite, par deux intégrations successives, on a :
kb +R 2 + 15k + 2k0 3.4 5.5.6 B.7.8.9
Enfin, la série exponentielle donne :
Et Fitro "post"
ke + k 8k2 + 17k4 + 8h = Tu + 6
De (58) il résulte en outre, que les développements de er, e7, er, s’obtiennent en multipliant e‘’ successivement par les développements de sin am #%, cos am w, À am w. On trouve ainsi les résultats suivants. Au lieu des équations (58), écrivons :
. 20 — À + ÀsS — | SIN AM Ù = ———— , (59) À — avt + 40 — 000 À — pou? + prarvt — cos am WE TEA TT, (60) À — xa00! + How — À — veut + vaut — À am w —
À — ao + x 600$ — -...
ces formules doivent exister pour toutes les valeurs de w; les coefficients se déterminent par les équations suivantes, dans lesquelles, pour abréger, nous désignons par m! le produit 4-2-3:-.. m:
Olxs —= 8 (k?+k1),
8txs — 392 (k?+k6) + 68k5,
10!x10 — 128 (k? +45) +480 (k1+k56), Axis = 512 (K3+-k10) 43008 (ki+k8) + 540088, 3!À3s —1+41, Ds —1+kt+481, 7 = 1+h8+9 (k+k), Do —=1+848+16 (k7+45) — 6kt, Alu 1+k10+ 25 (k2+k8) — 494 (k5+kS), 2lua —=1, klus —1+92k1, 6lue — 1+6k1+8k1, 8lus —1+12k7+60k1+392k5, AO! p0 = 1 +2047+348kt+448k5+ 19885, AQtua = 1 +30k%+2372k4 + 4600k5 + 288048 + 512410,
9!va = ka, klvs —2k1+kt, Glvs —=8k1+4-6kt+k5, Bus — 524% +60k1+19k5 +48, 1010 = 12842 +448kt+ 348k5+ 2048 + k10, AQlvis — 51241-28808 + 46006 +-2372k8 + 30410 +12,
Si l’on fait, en particulier, k — 1, il vient :
e— e7" 2 res? (Cosam (w, 1) = À am(w, 1) —
sin am (w, 1) —
—1w Lot
e—e 2 , é—=s("+er) e % , et d’après la deuxième formule (58), —1ws cos am (w, 4) —
5 (ev+ev)e"s
ce.qui correspond au développement en série (60).
Dans la première intégrale faisonsw—u, dansla deuxième t—2K + iv, dans la troisième w—u+1-.2K', dans la quatrième w — iv, il viendra
F (u) e#* du + 1eï?1x F (2K+1v) e# du 0 0 2K
— e—?rK
F(u+:-92K’) eff" du — à F (iv) e-# du+ S —0, 0 0
ou bien, en vertu des propriétés de F,
(1 — ese-*#2") F(u) ef#v du + 1 (cse#x — 1) F (iv)e-# du+S—0.
La quantité S s'obtient en introduisant dans I (PoP1P2) l'angle P,DP—8, au moyen de la formule w=—1iK’+ re, et dans la seconde intégrale 1 (QoQ:1Q2), l'angle QDEQ=—8, au moyen de la relation w—2K+1K'— re'0,
En posant, pour abréger, re‘ — p, on a :
1] °F (2R’ + p) ent +e) pd0
us
J {PoP:1P3) + I (Q0Q1Q:) —= 1
ir — i Ÿ F(2K + iK/— p)eintrHe"-p)0dB,
îr Si l’on fait décroître p indéfiniment, il vicnt, à cause de la relation F (2K+w) = € F (w),
S — lim ; — ie F PF (R"+ p) ef? d0 + ise- rt #irux F . PFOK'"— p) e Fe? df
Si l’on remarque encore que ef*#K = ef"7 = cos nt, on a finalement l'équation suivante :
2K 2K’ (4 — ese-°#K) F (u) eff du — à(1 — €, cos nr) F (iv) el dv = 0 ‘ 0 us (62 = te- MK lim p [F (ëK'+ p)e#f — €, cos nn F (iK'— p) e#?] d9, ir
laquelle conduit immédiatement aux intégrales cherchées, comme nous allons le voir.
a. Prenons d’abord F (w)—sinsmw;ona
Es — À, Ea = + À, F(iv) = t tg am (v, l), lim [oF (:K’+ p)}] = lim | 1 P P k sin amp k lim [oF (ëK'— p}}= lim | ——°— | = — 1, k sin amp k l’équation (62) se transforme alors en la suivante : 2K 2K’ (1— e-1#K) sin am w e#* du +(1+ cos nt) tgam (v,k’)e-#dv= 0. 0 SL (1 — cos NT) per
En égalant les parties imaginaires des deux membres, et remplaçant par sa valeur, on a :
nTRK/ %K TK’
. . nTru rm(i— COSNT) —— (1e r) sin am u sin —— du — r(l— cosnr), 2K »
si l’on pose, pour abréger,
on obtient facilement l'équation
( m u sin + du — rU— cosnr) Va x} XX KE rer
dont le premier membre est le coefficient B,, si sin am w peut être déve-
loppé suivant les sinus des multiples de — La série cherchée est
| 9 41 TU V/q . SU gÿ . ÿTu
sinamu—;e ETAT TN 1— — ÿ 2K 1— @ 2K st,
et elle subsiste pour toute valeur réelle de u.
En remplaçant w par K — w, on obtient encore la formule
. nu Vs L cos CC cos TU 4 VE os T4 Ga Aamu kXK\1— 1 qi SR 1 cos x — | ( ) b. Soit ensuite f (w) — cos am w; par suite,
Esm—4, e——1, F(iv)=—séc am (v, F),
lim [pF (EK'+ p)]= lim} — mr = lim (F (K"—4)]= lim | + Oe. ECTS +,
la formule générale (62) donne alors 2K 2K | (A+ e—2mx) ( cos am % ef" du —?(1+ cos nt) séc am (v, k”) e#° dv — 0 0 T(— cos nr) ex.
k En égalant les parties réelles des deux membres, on obtient la formule
XK 2 tr (1— cos nr) V/q" SK [ cos am % cos. À DE Eu — — EK 1+q ,
qui détermine le coefficient À, du développement de cos am v en fonction
des cosinus des multiples de = DE D'après cela, on a la série suivante : cos amu== LE 112 .VY cos 7% .VT ; COS ru. (65) K(1+Q 4° T1+ q° K F1+ qgÿ 2K “h
qui subsiste pour toutes les valeurs réelles de uw. Si l'on remplace w par K— u, il vient :
qSinamu 2 sin 8 Va. ALLER va. Dru (66)
A am 1+q 2K. 149 TK T1+9° 2K
c. Posons en troisième lieu F'(w) — À am w; par conséquent,
A am (v, k’)
EE = + 4, Es — — À, EG) Sosa (0, F)’
lim [pF (K’+ p)] = lim — | c08 am p° sal din [pF (iK'— p}} = lim + à cos am pe —L— | — +;
sin am p
l'équation générale (62) se change alors en la suivante :
2K 2K’ , À am u és du — i(t— eosnr) | Aam (v, #) el dv = p ‘osam (v,F)°
(4 + e-2ur') [
= 1 (1+ cos nr) e-#K,
L'égalité des parties réelles des deux membres nous donne :
RL am (VE 2K XK K 4 + q"?
par suite, on a le développement en série
RAR EE APP LL ONE RPC | Aamu= + eg SR À reg K* (67)
En outre, si l’on remplace w par K — u, il vient :
k’ Tr 2r{ 9q cos 7 q° 2ru Aamu 2K KÜ1+q9 K i+9q' K
ne 2 n ——
À cause de la relation
u mu — | À am w du,
on tire encore de la formule (67)
TU af Tin 2 au SE + |: Ip Uk +3 D gin K*t (69)
d. La fonction paire F (w) — sin° am w peut être développée de la même manière par la méthode précédente, si l’on pose
 27Tu anu 3 = — — ST sin? am % 5 A0 A1 COS DE + As 005 D 2K + Às cos K +. On a :
} 1 2%K À= — sin? am uw du,
ou bien, en posant am u = 9,
1 1 (sing K—E x) A PER
De la relation sin am (2K — w) = sin amu, on déduit facilement A1 = A3= As—...—0, ct l'on pourra, dans la recherche de A,, supposer n un nombre pair. On a alors
u=+t, a+, F(v)=—tgtam(e, #) lim {p[F (iK'+p)ef#P — es cos nr F (iK’ —p)e-i#?]}
co 2 À im | (mé) sin pp sin am p
k*sin* am p
. nn RE pK
et la formule (62) donne
2K x (4— ex") sin” am # eirs du = — DE CA
En égalant les parties réelles des deux membres, on trouve :
2K, 2 1, C nu fT \ nq* x), sin am u cos © KE du — ( —1__,
et À, est déterminé. Faisons successivement n — 2, 4, 6, etc., on a :
sin? am u —
He cs + 24 ’ cos + (70) et cette équation subsiste pour toutes les valeurs réelles de u.
Avant de nous occuper d'autres séries de cette espèce, nous allons examiner les substitutions au moyen desquelles tout développement d’une fonction elliptique permet d'obtenir les développements d’autres fonctions elliptiques. Nous avons déjà employé une telle substitution dans les calculs précédents : elle consiste à remplacer w par K — uw. D'autres substitutions reposent sur les remarques suivantes :
L'intégrale ?
U — ____dp 0 pk? + k sin? @
peut se ramener de deux manières différentes à la forme normale des intégrales elliptiques. On peut, en effet, ou bien lécrire sous la forme
Ware = = néon (1)
ou bien employer la substitution
Ku —
k sin k’ dy
Sin E — TT ? do = 1 F sin Q° V/1— BR sint Ÿ
laquelle donne
Ÿ dy | Uu=\ ——————; d'ou Ÿ = am (u, k).
0ÿ/1— É sin? à
En vertu de la relation entre o et “+ on a :
sin am | £’u, — — Fsin 5 ? Aamu | Aamu et il en résulte pour les autres fonctions elliptiques des formules analo-
gues à celles que nous avons déjà trouvées. Dans le cas particulier,
À P—ÿSTOna d — F #, et la comparaison des deux valeurs de w donne
En outre, on a immédiatement
(À) à] d kde C 0 V k'3 — sin? o
ou bien, pour sinp=—=2, Î d F| (5) À =k | = —k 2 op — 2) (K1— 7°)
+) ——— dz +1 dz VA — 21) (61 — 5 ya"
Si l’on fait dans la première intégrale du second membre z= K’sinr, et dans la deuxième z=—y/ 1 — À! sin° w, on obtient facilement
r| 1 — 5): | K (RE).
Ces remarques se résument de la manière suivante :
Si l’on remplace k par u » ct en même temps w par K’u, alors
K se change en K’K, K’en £’ (K'—:iK),
7 TA=i) k sin am u e “—qene L —=—4, Sinamu en , cos am w cos am w en , Aamuen .
Aamu Aamu
D'après cette règle, on obtient, par un simple changement de k sin am w Aamu laquelle se change en la série de cos am u, si l’on remplace u por K— (formules 63, 66 et 65).
La substitution de Landen fournit un deuxième moyen pour trouver de nouvelles séries. Soient, en cffet, les amplitudes ® et W, liées par l'équation
signe de q dans la série de sin am u, la série relative à ,
au lieu de laquelle on peut encore poser :
RE
4 1+h—2sin 4 1+h (Li * sint Q sin Ÿ cos
1+h ’ \ / 2 R\., (5 sin Ÿ
