E(G4+ 92 K1+ 40BA+K
mod # <K.
La différentiation ou l'intégration par rapport à # permettent de déduire des séries précédentes beaucoup d'autres développements; ainsi,
par exemple, .
2 2 4 1+k 1+18h+ks ……, (50)
— À __ 2 cos am w À am w — 1 12 w? + 1.2.5.4
À + 4k° 4 +44 k3+16kt : œmums rentree ä me ——— CR sin am w À am w — w 1.3.3 +-1.9.3.4.5 % » (51)
y kæ+ks 16+ 4484, 59 Sin am 40 COS AM 4 — 193% +—19.5.4.5 +, (52)
où l’on doit toujours avoir mod w < K’. Si l’on observe encore que
dam w .
—Aamw, oubien amw—\ Aamwdw,
dw 0
il vient :
am w = w —- CR FH) (16 + 44 k3 + kt) = 1.2.3 1.2.3.4.5% — 1.9.3.4.8.6.7 Ÿ Ra (64+ 912 48 + 408 +R) (53) TT 12:3.4:3.6.7.8.9 mod w < K’.
Il est facile de voir comment l'on peut développer en séries, au moyen de ces formules fondamentales, des fonctions plus compliquées, telles que sin’ amw, tgam w, et d'autres analogues. Nous allons en donner un exemple.
La fonction
(lu) = sin am w prerid, pour w—0, la valeur f(0) —1; elle reste synectique depuis w —0, jusqu’à ce que sin am w s’annule pour la première fois. Or, on a sin amw=—0, pour w—?K, et pour w —1:2K’. Le développement en série, si K < K’, sera possible sous la condition modw < 2K; dans le cas contraire, si K’< K, on devra prendre mod w << 2K’. Ces deux cas
sont faciles à séparer. En effet, si k?< . ou 24? € 1, il s’en suit :
k<k1,, Afk,7)>A(k, 0), TES ç) HS
| Pour k?> g’ °na, par des considérations analogues, K’< K.
et K<K'.
La fonction précédente jouit encore de la propriété que f(— w)= f(w); c’est donc une fonction paire, et elle donne, par suite, un développement en série de la forme suivante :
w —— = À + au! + avt + aswé + -...
sin am w
Si l’on multiplie cette équation par (47), et si l’on égale les coefficients de w!, wt, wf, etc., des deux membres, on obtient successivement les
valeurs de &s, &, üe, etc. On arrive facilement au résultat suivant :
1 1 4 + k 7—922k2+7k w snamw w 1-2.3 5:1-2.-3.4.5
31— 154 — ASK 4 GIE (54) 3.1.2...7 mr
où les conditions suivantes doivent être satisfaites :
pour k < 7 mod w < 2XK,
» RD —; mod w > 2K’.
Dans le cas particulier de k — 0, on retrouve le développement connu +,
de coséc w; pour k = 1, on a le développement de =
B. On peut encore exprimer les fonctions elliptiques d'une autre manière par des quotients de deux séries. On y arrive de la manière suivante :
De ((. indéfinie
on tire NE !
{ | ne I.
2VU— 2) (A — ka) VU — = à — 2°) et, pour z — sin am w, K K 1 dw (ue sin? am w — us) dw = ]. sin am w.
w D sin? am # | On a, en outre, K w k? sin? am w dw — k? sin? am w dw — k? sin? am w dw 0 0 t0 KE | k* sin? am w dw,
(1) Les séries précédentes sont dues à Jacobi, qui n’a pas déterminé les limites entre lesquelles elles subsistent (Fundamenta nova Theoriae funct. ellipt., p. 114). M. Hermite a maintenu dans sa théorie des fonctions elliptiques, que les développements en séries de sin am w, cos am w, À am w sont liés à la condition que w soit compris entre — 1 et + 1.
M. Schloemilch observe que c'est une erreur, comme le prouvent les cas particuliers k=0,k—=1.
où l’on trouve la valeur K — E au moyen de la substitution am w — p;il s'en suit :
K K K w \ dw k? sin? am w dw —(K — E)(K —w) — duw ( k3 sin? am w dw to
ww w 0
—=(K—E)(K —w) — [ dw (
Li t k?sin? am w diw + ( dw k? sin? am w dw.
La première intégrale double du second membre a une valeur constante
G, dont nous ne nous occupons pas maintenant; nous la comptons avec (K — E) (K — w), en posant :
(K—E)K—G—a, K—E— — b, et il vient :
L w K K dw 1. sinamw—u+bw+ ( du | Bsintam do — | dw | ————. (55)
1n2 do 0 D /,, sin*am w
D'un autre côté, de l'intégrale
(er 1— Ta) zV1— Ke + 7 OC VAEAT
on tire facilement l’équation
z dz z A — f71 TT ——— —— — = LV — 73:
rer : Fe) 1— 2:
pour z—= sin am w, cette équation se change en la suivante :
twÙ t e “E cos am w — du | Kio am w du — | du | Manu, (56)
0 0 0 cos” am w
Enfin la formule
… zV1— 2
[Ce is) 7 eu er
nous donne :
'z dz 7 TE —— fe SA) 7 tr 0 /(1—2?) (1 — k2z1) |, (es F Ts TR) a — 24) (1 — K2!) 4 °
pour z=—=sin am #,°il vicnt :
wÙ LA wÙ Ù La a I. am w= | dv | k? sin? am w dw — dv | F' cos’ em w dw. (57) 0 0 do po A'amw
Si l'on pose, pour abréger,
K K to w .
